向量五心终极版本

1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心、旁心知识的交汇、五心的概念介绍(1)重心中线的交点：重心将中线长度分成2： 1；【命题3】 P是 ABC所在平面上一点，若PA PB【解析】由pA pB pB pC，得pB （pA pC）乍C丄aB，PA丄bC . P是厶ABC的垂心.PB PC PC PA，则P是厶ABC的垂心.0,即0 ,所以.同理可证如图.垂心 高线的交点：高线与对应边垂直;(3)内心角平分线的交点（内切圆的圆心）:角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4)外心中垂线的交点（外接圆的圆心）:外心到三角形各顶点的距离相等。旁心三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点【命题图.“重心”

2、的向量风采1】 已知G是厶ABC所在平面上的一点,gA GB GC 0，则G是厶ABC的重心.如图【命题4】已知O是平面上一定点，A B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足图【命题2】A'oP oAcosB图即A已知0是平面上一定点（ABB，C是平面上不共线的三个点，动点P满足AC），（0,【解析】由题意aP （AB，当P的轨迹一定通过 ABC的重心.aC）表示BC边上的中线所（0，）时，由于（弗在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过 ABC的重心，如图.二、"垂心”的向量风采， (0,【解析】由题意AB cos BcosC），则动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心.cosC

3、"bc 0，0,所以aP表示垂直于"bc的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，如图三、“内心”的向量风采【命题5】 已知|为 ABC所在平面上的一点，且ABc , AC b , BC a .若cIC 0，则I是 ABC的内心.图图【解析】- IB1A AC，则由题意得(a b c)M图 bAB cAC AC aB AB AC【解析】的外心,如图。OB? oC则 oA222 ，二0分别为AB和AC方向上的单位向量,【命题7】已知O是平面上的一定点,I与/ BAC平分线共线，即AI平分BAC cosB同理可证：BI平分 ABC ,

4、CI平分 ACB 从而I是厶ABC的内心，如图外心。【命题6】 已知0是平面上一定点，A B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足Op OAAA【解析】(0,)，则动点P的轨迹一定通过 ABC的内心.【解析】 由题意得APAAEIAB -AC '(0,)时，AP表示 BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点 P的轨迹一定通过 ABC的内心，如图四、"外心”的向量风采【命题7】 已知0是 ABC所在平面上一点，若，则0是厶ABC的外心.图，则O是厶ABCA B, C是平面上不共线的三个点，动点,(0,),则动点P的轨迹一定通过cosCoB oC由于ob oc过bc的中点，当(0

5、,)时,AccosB aCcosCP满足 ABC 的表示垂直于BC的向量(注意：理由见二、 ABC的外心，如图。三、三角形性质总结1 . O是ABC的重心OA若0是ABC的重心，则(TA "pB "pC )4条解释。OB OCS BOCS AOC),所以0；S AOBP在BC垂直平分线上，动点 P的轨迹一定通过Esabc 故 0A Ob 0C 0;G为ABC的重心.2. O是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA AD AB , CD BC.又垂心为 H, AH BC , CH AB ,若O是ABC (非直角三角形)的垂心，则Sboc : S aoc : S

6、aob tan A : tan B : tan C AH/ CD CH/ AD四边形AHC为平行四边形,故tan AOA tan BOB tan COC 02 2 O 是 ABC 的外心 |OA | |OB | |OC |(或 OA OB OC若 O是 ABC 的外心则 S boc： S aoc： S aob sin BOCsin AOC-sin故 sin 2AOA sin 2BOB sin 2COCO是内心 ABC的充要条件是竺)OB (-BA£)AC| BA |BC |引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CAABC内心的充要条件可 , * .OA (e e3) OB

7、 (ee2)OC(e2e3)ABC内心的充要条件也可以是aOAbOBcOCABC的内心，贝V S boc : S,AOC : SAOBa:b : cLI”*I以0的单位向量为 6(2金，则刚才 O是AB (-| ABOA故 aOA bOB cOC 0或 sinAOA sin BOB| ABI PC | Bc |PA |CA|PB 0 P 是 ABC 的内心;向量三、经典例题训练题AOB sin2A:sin2B: sin2COC (仝江)0ICA | |CB |sin COC 0； AH DC DO OC ,故 OH OA AH OA OB OC .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一

8、一外心、重心、垂心的位置关系：(1) 三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2) 三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离 是重心到外心距离的 2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题。若o是，O是C0)所在直线过 ABC的内心(是 BAC的角平分线所在直线)；例10 .若O、H分别是 ABC的外心和垂心.求证OH OA OB OC .证明 若厶ABC的垂心为H,外心为 O如图连BO并延长交外接圆于 D,连结AD CD例11.设O G H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证 OG - OH3证明按重心定理6是厶AB

9、C的重心1OG(OA3OBOC)按垂心定理OHOA OB OC由此可得OG-OH .3补充练习1.已知A B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点 P满足111一OP = ( OA+ OB+2OC ),则点 P一定为三角形 ABC的( B )3 22边中线的中点边中线的三等分点(非重心)C.重心边的中点一 一 一 111 - 一1. B取 AB边的中点 M 则 OA OB 2OM，由 OP = ( OA +OB+2OC)可得 3 223OP 3OM 2MC , MP 2mc，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P3不过重心，故选 B.2 2 2 2 22 .在同一

10、个平面上有abc及一点o满足关系式：°a + BC = OB + CA = OC +，则 o 为 ABC 的( D )A 外心B 内心重心 D 垂心9点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 OA OB OB OCOC OA，则点O是 ABC的(B2 .已知 ABC的三个顶点A、B C及平面内一点 P满足：PA PB PC 0,贝U P为 ABC的)(A三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点A 外心B 内心重心 D 垂心(C)三条中线的交点(D)三条高的交点3 .已知0是平面上一 定点,A B、C是平面上不共线的三个点,动点满足:10.如图1,已知点G是ABC的重心，

11、过G作直线与AB AC两边分别交于 MN两点，且OP OA (AB AC)，则P的轨迹一定通过厶ABC的A 外心B 内心 C重心 D 垂心4 .已知 ABC P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足:pa?pC pa?Pb pB?pC 0,贝p点为三角形的点G是ABC的重心，知(鼻 G)叭G) O,有刘)。又M N, G三点共线(A不在直线A 外心B 内心 C 重心 DMN上),垂心5.已知 ABCP为三角形所在平面上的一点,且点P满足：ab PBc?PC 0P点为于是存在，使得低G(且1)，三角形的TC),3A 外心B 内心 C重心垂心6 在三角形ABC中，动点满足:.2CA2CB2AB?C

12、P，则P点轨迹一定通过厶 ABC的:111，于是得 yx3A 外心B 内心 C重心垂心7.已知非零向量AB与 AC满足(t t|AB| |AC|AB-BC=0且|AB|AC |AC|则厶ABC为()A.三边均不相等的三角形B. 直角三角形 C.等腰非等边三角形D.等边三角形cosA1| AB | | AC |=2 'AC解析：非零向量与满足(I |AC|)=0,即角A的平分线垂直于BC, AB=AC,又/ d，所以 ABC为等边三角形，选 D.38. ABC的外接圆的圆心为 Q两条边上的高的交点为 H, OH m(OA OB OC)，则实数m=例讲三角形中与向量有关的问题教学目标：1、

13、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法、向量的加法、数量积等性质3 、利用向量处理三角形中与向量有关的问题4 、数形结合教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：1、课前练习2 2 2已知0是厶ABC内的一点，若 OA OB OC，则0是厶ABC的A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、内心在厶 ABC中,有命题 AB AC BC : AB BC CA 0 ；若 AB AC ? AB AC 0，贝仏ABC为等腰三角形；若 AB?AC 0,则厶ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是A、B 、 C

14、 、 D、例2、已知O是厶ABC所在平面内的一点，满足 列 |bc |°b |ac |oc则0是厶ABC的 CA重心5、运用向量等式图形化、垂心C 、外心、内心解与三角形有关的向量问题例3、已知P是厶ABC所在平面内的一动点,且点P满足0P0AAB ACAB AC '一 2AB ,0,2、知识回顾三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法向量的有关性质上述两者间的关联3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例1、已知 ABC中，有ABABAC ?BCAC武0和 AB ? AC 和 AB-AC-,试判断 ABC的形状。2练习-已知 ABC中, AB a , B

15、C b , B是厶ABC中的最大角，若 a?b 0 ,试判断 ABC的形状。A重心B、垂心C、外心练习2、已知0为平面内-一-占八、：A、B、OP OAAB1 尹，0,，则动点A、重心B、垂心C、外心例 4、 已知0 是ABC所在平OP OAABAC, 0,ABcosB ACcosCA重心B、垂心C、外心练习 3、已知 0是 ABC所在OP 0B2OCABACaB cosB AC cosCA重心B、垂心C、外心CP平则动点P 一定过 ABC的、内心平面上不共线的三点，的轨迹一定通过厶ABC的 CD 、内心面内的占八、，则动点P 一定过 ABC的0,、内心点，动点P满足，则动点P 一定过 ABC的、内心4、运用向量等式实数互化 解与三角形有关的向量问题例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点， 11AM x?AB, AN y?AC，求证：3x y6、小结处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合 理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。7、作业1、已知0是厶ABC内的一点，若 OA OB OC 0 ,贝U 0是厶ABC的A、重心B、垂心C、外心D、内心2、若厶ABC的外接圆的圆心为 O,半径为1,且OAOBOC 0 ,贝y OA?OB 等于A、-B、0C、1D1、 223、已