2016年惠州三调数学(理科)试题及答案讲解

1、惠州市2016届高三第三次调研考试数学（理科）注意事项：1 .本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2 .回答第I卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。3 .回答第n卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合M=5,a23a+5,N=1,3,若M0|N#0,

2、则实数a的值为(A.1B.2C.4D.1或22i32,复数z=+i3(为虚数单位)的共轲复数为()1 -1A.1+2iB,i-1C.1-iD.1-2i3,若函数y=f(x)的定义域是b,2，则函数g(x)=*2x)的定义域是()x-1A. 0,1)U(1,2B.0,1)U(1,4C.0,1)D.(1,44一.二4.已知sin日+cos日=一(0<0<),则sin8-cos的值为(34数学试题（理科）第3页共17页A.、23B.C.D.5.已知圆O :则a的取值范围为（A. （-372,372）C. （-2 石2丘）x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,)B

3、. (*,-3扬口(3乏)D.-3石,3回6 .甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（）种。A.24B.48C.72D.1207 .已知向量m=(sinA,与向量n=(3,sinA+J3cosA)共线，其中A是AABC的内角,则角A的大小为（）JIJIJIA.-B.-C.D.一8 .某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A.1007B,2015C.2016D.3024229.若双曲线三匕=1但>0,b>0）与直线y=2x无交ab点，则离心率e的取值范围是（）A.（1,2）B.（1,2C.（1

4、,75）D.（1,拘10.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中最大面积是（）正视图侧视图A.2衣B.4C.2出D.2nfx-y+2>0>11.设实数x,y满足条件3x-y-6<0,若目标函数俯视图x-0,y-0z=ax+by（aA0,b>0）的最大值为12,则3+2的最小值为（abA.256B.C.D.412.若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数X0,使得f(Xo+1)=f(Xo)+f成立,数学试题(理科)第7页共17页则称函数f(x)为“1的饱和函数”O给出下列四个函数:_1f(x)=

5、；Xf(X)=2x；2_f(x)=lg(x+2)；f(x)=cos(兀x).其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为()A.B.C.D.第n卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二.填空题：本大题共4小题，每小题的。f513 .已知a=2/sinxdx,则二项式1x2+a)1的展开式中x的系数为0IxJL34414 .已知向量a=(1,j3),向量b=(3,m).若向量b在向量a方向上的投影为3,则实数m=.15 .设数列an的前n项和为S,且a1=a2=1,nSn+(n+2)an)为等差数列，则数列an的通项

6、公式an=.1x16 .设点P在曲线y=-e上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|的最小值为2三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 .(本小题满分12分)如图所示，在四边形ABCD中，/D=2/B,且AD=1,(I)求ACD的面积；(n)若BC=2百，求AB的长.18 .(本小题满分12分)某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠。已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的。(I)求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(n)用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望。19 .(本小题满分12分)如图，

7、已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA_L平面ABCD,/ABC=60、E,F分别是BC,PC的中点。(I)证明：AE_L平面PAD；(II)取AB=2,若H为PD上的动点，EH与面PAD6所成最大角的正切值为上6,求二面角E-AF-C2的余弦值。20 .(本小题满分12分)22已知中心在原点的椭圆C:x2+*=1(aA0,bA0)的一个焦点为F1(3,0),ab3点M(4,y)(y>0)为椭圆上一点，&MOF1的面积为一.2(I)求椭圆C的方程；(n)是否存在平行于OM的直线l,使得直线l与椭圆C相交于AB两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l的方

8、程，若不存在，说明理由。21 .(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+x2xlna(a>0,a=1).(I)求函数f(x)的单调区间；(n)若存在k,x2wI1,1，使得f(x1)f(x2)至e1(e是自然对数的底数)求实数a的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。22 .(本小题满分10分)【选修4-1:几何证明选讲】如图，正方形ABCD边长为2,以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F,连结CF并延长交AB于点E.(I)求证：AE=EB;(n)求|EF|.FC|的值。23 .(本小题满分10分)【选修4-4:

9、坐标系与参数方程】x=1+coS-已知曲线C的参数方程是(日为参数)，直线l的极坐标方程为j=2+sin8Psin日+一|=)2.(其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角4坐标系x轴正半轴重合，单位长度相同。)(I)将曲线C的参数方程化为普通方程，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程;(n)设M是直线l与x轴的交点，N是曲线C上一动点，求MN的最大值。24.(本小题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】已知函数f(x)=|x+22|x11(I)求不等式f(x)A-2的解集；(n)对任意xwa,+望)，都有f(x)Wx-a成立，求实数a的取值范围。惠州市2016届高三第三次调研

10、考试数学（理科）参考答案与评分标准选择题：本大题共12小题，每小题5分。题号123456789101112答案DACBABCDDCDB1【解析】由题意得，a2-3a+5=1或3,解得a=1或2,故选D.2.【解析】因为z=-2i+i3=2(2i=i+1i=12i,所以由共轲复数的定义i-1(i-1)(i1)知，其共轲复数为1+2i,故应选A.0_2x_20_x_1_3【解析】根据题意有：i，所以<,所以定义域为0,1）.故选C.x-1=0x=11 2sin【cos 1一-9，4"二、4.【解析】因为sine+cose=；（0<），两边平方可得:34一一.7一.2.72一.

11、二即sin6cosQ=一,所以(sin6-cos日)=1-2sinCcos6=1一一二一，又因为0<8一，18994一一.一一.一.2所以sin日<cos日,所以sin日-cos9<0,所以sin日_cos0=,故应选B.5【解析】由圆的方程可知圆心为（0,0）,半径为2.因为圆上的点到直线l的距离等于1-a|a|的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离dcr+d0=2+1,即d=-=*<3,斤？金解得a乏（3夜3后.故A正确.33sin2A -一 二 06【解析】甲乙相邻用捆绑法，所以A2A4=48,故应选B.7 .【解析】'；m/n,.sinAL(sinA+“

12、cosA)-3=0,1cos2A十22,3111二、一sin2Acos2A=1,sin(2A-一)=1,A(0,),2A一二(一二，一226666所以2A-=,A=,故应选C.6238 .【解析】此程序框图表示的算法功能为求和，用分组方式，常数项1共2016个，和为2016；余弦值四个一组，每组和为2,共504组，S=2016+504父2=3024,故选D.b-9解析】由题意可得，一<2,故$=aw娓，再根据e> 1,可得e的取值范围，故选 D.10【解析】如图，该几何体是正方体中的NBCQ,正方体的棱长为2,四面体NBCQ的四个面的面积分别为2,2万2乏2£,最大的为2

13、g故应选C.11【解析】画出不等式表示的平面区域，当直线Qz=ax+by(a>0,b>0)过直线xy+2=0与直线3xy_6=0的交点(4,6)时，目标一一一一322a 3b 2a 3b2a 3b=2 + 3b + 2a之4。当且仅当 2a 3b3a =3时取等号。故选b =1D.函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,即2a+3b=6,则鼻+b1112.【解析】对于，若存在实数X。，满足f(X0+1)=f(%)+f(1),则一=一十1所X01X02以X0+X0+1=0(X0#0,且X001),显然该方程无实根，因此不是1的饱和函数；对于，若存在实数X0,满足

14、f(X0+1)=f(X0)+f(1),则2%/=2、+2,解得X0=1,因此是“1的饱和函数”；对于，若存在实数%,满足f(%+1)=f(%)+f(1),则lg(X0+1)2+2=lg(X02+2)+lg(12+2)，化简得2x022%+3=0,显然该方程无实,一一一一一，,、一1,'4n1根，因此不是1的饱和函数；对于，注意到f.+1l=cos=13J32111、f(1)=cos+cosn=，即f(+1)=f()+f(1)因此是“1的饱和函数3233综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是，故选B二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。13.-64014.於15.2nl16

15、.“5(1ln2)JI13.【解析】因为 a = -2 (0 sin xdx = -4 ,Tr5 .r05(3,数学试题(理科)第11页共17页令10-3r=1,解得r=3,则展开式中x的系数为C；(Y)=-640.14 .【解析】根据投影的定义可知 3 =3 3m-二 3 二m = 315.【解析】当n=1时，nSn+(n+2居=S +3ai =4 ；当 n =2时，nSn +(n +2间=2S2 +4a2 =2(a +a2) +4 = 8 ,所以数列 储& +(n+2)an是以4为首项，4为公差的等差数列， 所以nSn+(n+2)an =4n即Sn +(n 2)an ,-=40,

16、n当 n 之2 时 Sn。 +(n +1)an n -1，-得并整理得:an _ n%2(n -1)an .所以有3 an/n -12(n -2)'a2 _ 2a1 2 父 1，所以ananan- J1 an A ann -12(n -1) 2(n -2)当n=1时，适合此式，所以_1x16.【解析】函数y=e和函数y=ln(2x)互为反函数图像关于y-x对称，则只有直线21VPQ与直线y=X垂直时|PQ|才能取得最小值。设P(x-ex),则点P到直线y=X的距2离为d =1 x e -x2人1x1x.,令g（x）=e-x,（x>0）,则g'（x）=qe-1,1x1x令g

17、'（x）=2e1A0得x>ln2；令g'（x）=e1<0得0cx<In2,则g（xjE（0,ln2）上单调递减，在（ln2,收）上单调递增。1ln21-ln2则x=ln2时g（xmin=2eln2=1-ln2>0,所以dmin=-°则PQ=2dmin=J2（1ln2）。（备注：也可以用平行于y=x的切线求最值）三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 .（本小题满分12分）21.斛：（I）cosD=cos2B=2cosB-1=一一（2分）3因为/Dw（0户），所以sinD=述，（4分）3所以4ACD的面积S=；ADCDsinD=

18、夜.（6分）（n）解法一：在4ACD中，AC2=AD2+DC2-2ADDCcosD=12,所以AC=23（8分）在AABC中，AC2=AB2+BC22ABBCcosB=12（10分）把已知条件代入并化简得：AB24AB=0因为AB#0,所以AB=4（12分）解法二：在4ACD中，在4ACD中，ac2=AD2+DC2-2adDCcosD=12,因为BC=2君'sACB = sn枭B'所以2.3sin BABsin 二-2B所以AC=2瓜（8分）（10 分）数学试题（理科）第13页共17页12分）得AB=4.18 .（本小题满分12分）解：（I）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下

19、电梯的事件为A,（2分）4分）由题意可得每位乘客在第2层下电梯的I率都是1,则 P（A） =1 -P（A） =1 -13谣3（n）X的可能取值为0,1,2,3,4,（5分）1由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为-,且每个人下电梯互不影响,31所以XB（4,）（6分）3X01234P163224818181818181（10分）14E（X）=4m=.（11分）334.所以所求的期望值为一（12分）319.（本小题满分12分）解：（I）证明：由四边形ABCD为菱形，/ABC=600,可得MBC为正三角形，因为E为BC的中点，所以AE1BC（1分）又BCAD,因此AE_LAD（2分）因为PA，平

20、面ABCD,AE仁平面ABCD,所以PA_LAE（3分）而PAU平面PAD,ADU平面PAD,PAnAD=A,所以AE_L平面PAD（5分）（n）（法1：H为PD上任意一点，连接AH,EH由（1）知AE_L平面PAD,则/EHA为EH与平面PAD所成的角（6分）在RTAEAH中，AE=m3,所以当AH最短时，即当AH_LPD时，/EHA最大，7分）此时匕包丁因此又AD=2,所以NADH=450,所以PA=2（8分）因为PA，平面ABCD,PAU平面PAC,所以平面PAC_L平面ABCD,过E作EO_LAC于O,则EO_L平面PAC,过O作OS_LAF于S,连接ES,则/ESO为二面角E-AFC

21、的平面角，（9分）B在RTMOE中，eo=aesin300=,AO=AEcos300=-22又F是PC的中点，在RTMSO中，so=AOsin450=2运4又se=Yeo2+SO2=30（10分）4在RTAESO中，cosZESO=SO=压,（11分）SE5f即所求二面角的余弦值为:5。（12分）5（2）法2：由（1）可知AE,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，以AE,AD,AP分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。设AP=a,（6分）31a、则A（0,0,0）,B（.3,-1,0）,C（-3,1,0）,D（0,2,0）,P（0,0,a）,E（.3,0,0）,F（，a）222数学

22、试题（理科）第15页共17页H(0，22九,a，J(其中Xo,1)AHE=(V3,2(X-1),-a%)2 .一- 2sin 1 一| cos 二 n, HE | 二面PAD的法向量为n=(1,0,0)34(-1)2a22一(a24)-2-876EH与平面PAD所成最大角的正切值为222_(a 4) -87的最大值为一， 5即 f(a) =(a2 +4)儿2 -8X + 7在 ”0,1的最小值为 5,4丁函数f(a)对称轴儿=2 w (0,1), a2 4,，4、 一所以f (a) min - f ( 2) =5,计算可得a 4(8分)3 1所以 AE -( ,3,0,0), AF =( ,-

23、,1)2 2设平面AEF的一个法向量为m = (x1,y12)J Tm* AE = 0，则3 Tm AF = 0因此3x1 =03 73. 1,八，取乙=一1，则 m = (0,2,1)2 Xi 2 yl z1 =0一一(9分)BD=(_J3,3,0)为平面AFC的一个法向量.(10 分)所以m BDcos 二 m, BD = |m|BD|15511分)所以，所求二面角的余弦值为 5512分)20.（本小题满分12分）333解：（1） , s加0% = ：._、=-得 y =1（ i分）1222,161.,M在椭圆上，a +=1（2分）a biL 22一F1是椭圆的焦点a =b+9 （3分）由

24、解得：a2=18,b2=9 （4分）22椭圆的方程为 =1 （5分）18911（2）0M的斜率k =- 设1的方程为y = - x +m ,44（6分）1y = x m4联立万程组2 22 整理得9y2 16my+8m2 9 = 0.Z L=1189229 '. 2=（16m ）4M9M（8m 9）0,解得 mu（7分）设A、B两点的坐标为（x1,y1）（x2, y2）,则y1+y2 =16m丁，0丫2 二一"99（8分）以AB为直径的圆的方程为（x_x）（x_x2）+（y_y）（y_y2）=0.该圆经过原点.x1x2y1y2=0.2x1x2=（4y1-4m）（4y24m）=

25、16yly2116m（y1y2）16m_1_，_J_、_!_/2_1_x1x2y1y2=16yly276m（y1y2）16my1y2解得m=+2/102w匚逑,£2j(11分)一444经检验，所求l的方程为y=1x±02(12分)44(备注：若消去的变量为y,按对应给分点给分即可)21.(本小题满分12分)解：(I)f(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.(1分)因为当a>1时，lna>0,(ax-1)lna在R上是增函数，因为当0<a<1时，lna<0,(ax-1)lna在R上也是增函数，所以当a>1或0<a

26、c1,总有f'(x)在R上是增函数，(2分)又f(0)=0,所以f(x)>0的解集为(0,+s),f'(x)<0的解集为S0),(3分)故函数f(x)的单调增区间为(0,+对，单调减区间为(°0,0).(4分)(n)因为存在不名句1,1,使得f(x1)f(x2)>e1成立，而当xW1,1时，|f(xjf(x2尸f(x)max-f(x)mm,所以只要f(x)maxf(x)min>e-1即可.(5分)又因为x,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:x(-°0,0)0(0,+°0)f(x)0+f(x)减函数极小值增函数

27、所以f(x)在-1,0上是减函数，在0,1上是增函数，所以当x-1,1时，f(x)的最小值f(xmin=f(0)=1,f(x)的最大值f(xmax为f(-1)和f(1)中的最大值.(7分)数学试题(理科)第19页共17页11因为f(1)一f(一1)=(a+1-Ina)-(+1+lna)=a-2lna,aa人11212令g(a)=a-2lna(aA0),因为g(a)=1+=(1)>0,aaaa1所以g(a)=a-2lna在a=(0,y)上是增函数.a而g(1)=0,故当a>1时，g(a)>0,即f(1)>f(-1)；当0<a<1时，g(a)<0,即f(1)<f(1).(9分)所以，当a>1时，f(1)-f(0)>e-1,即a-lna>e-1,函数y=a-lna在aw（1,y）上是增函数，解得a>e；（10分）1当0<a<d时，f（1）f（0）>e1,即一+lna>e1,a一、“，11函数y=_+lna在au