加菲尔德勾股定理

1、总统思考的思考【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人 正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。 他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论 着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个 小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树 枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小 男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为 3和4, 那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7

2、,那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔 德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小 男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？ ”伽菲尔德一时语塞，无法解 释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩 给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给 出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志 上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总 统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这 一证法称为“总统。”证法。例1:如图所示，这是美国第20任总

3、统加菲尔德证明勾股定理时所采用的图形，是用 两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出一个梯形.借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？例2：如图，直线I上有三个正方形a, b, c,若a, c的面积分别为5和11,则b的面积为.例3：（ 2010?望城县模拟）在直线I上依次摆放着 七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1 , 2, 3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,贝 US+S2+S3+S4=.(1) 证明： ABC是等腰直角三角形， AB=BC，/ ABC=90, AD 丄l, CE丄l,/ ADB= / BEC= / ABC=90 ,/ DAB+ /

4、 DBA=90。，/ DBA+ / CBE=90,/ DAB= / CBE, ADBBEC, AD=BE , DB=EC , 又 DE=DB+BE , DE=AD+CE ;GrGzH/OKf口k图(2) 解：过G、H作y轴的垂线段GG 、KK ，垂足为G、K,- G (3, 3), H (0,1), GG =3 , G 0=3 , HO=1 , G H=3-1=2 ,根据(1)同理可得 KK =G H=2 , K H=GG =3, K O=K H-H0=3-仁2 ,点K在第四象限.点K的坐标为(2, -2);(3) 点Q的坐标为(-1-b, 3+a).例5:如图， ABC中，AG丄BC于点G,

5、以A为直角顶点，分别以 AB、 AC为直角边，向 ABC外作等腰RtAABE和等腰RtAACF，过点E、F作射 线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证 明你的结论.图2中的 ABC与 AEF的面积相等吗？(不用证明)拓展延伸1 如图4,厶ABC中，AG丄BC于点G,分别以AB、AC为一边向厶ABC外 作矩形ABME和矩形ACNF ,射线GA交EF于点H .若AB=kAE , AC=kAF ,试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.22、（山东菏泽2012）如图，一次函数y= x 2的图像分别与x轴、y轴交于3点A、B ,以线段AB为边在第一象限内作等腰 Rt

6、ABC, BAC 90 .求过B、C两点直线的解析式备用1. 直角三角形ABC的直角顶点C置于直线I上，AC=BC，现过A、B两点分别作直线I的垂线，垂足分别为D、E ,（1）请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程；（2）若 BE=3，DE=5，求出 AD 的长.解：（1） ACD CBE .理由如下： AD 丄 CE，BE 丄 CE，/ ADC= / CEB=90 又 / ACB=90 ，:丄 ACD= / CBE=90 - / ECB .在厶 ACD 与厶 CBE 中，/ ADC = / CEB, / ACD = / CBE, ACD CBE ( AAS );(2) : ACD CBE , CD=BE=3 , AD=CE ,又 CE=CD+DE=3+5=8, AD=8 .2、如图，铁路上 A, B两点相距25km, C, D为两村庄，DA丄AB于A, CB丄AB于B,已知DA=15km , CB=10km,现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站E，使得C, D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？第2题图16 .下列图、中阴影分别三所作正多形；图中阴影分别三直径所