2019年高考—圆锥曲线知识点总结

1、-2019 年高考专题 -圆锥曲线的方程与性质1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数2a（大于2| F1 F |）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有|MF1 |MF2|2a。椭圆的标准方程为：x2y21（ab 0）（焦点在x 轴上）或y 2x 21a2b2a 2b2（ a b 0 ）（焦点在 y 轴上）。注：以上方程中 a, b 的大小 ab0，其中 b2a2c2；x2y21y2x21ab0在 a2b2和 a2b2两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看x2和y2的分母的大小。 例如

2、椭圆x2y21m0 n0，mn ）当mnmn（，时表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 mn 时表示焦点在 y 轴上的椭圆。（2）椭圆的性质范围：由标准方程x2y21知| x | a | y | b，说明椭圆位于直线xa yba2b2，所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以y 代替 y 方程不变，所以若点( x, y) 在曲线上时，点 ( x,y) 也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x 代替 x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。若同时以x 代替 x ， y 代替 y 方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心

3、，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x0 ，得 yb ，则 B1 (0,b) ， B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令y0 得 xa ，即 A1 (a,0) ， A2 (a,0)是椭圆与 x 轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段 A1 A2 、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和 2b ，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在 RtOB2 F2 中，|OB2

4、 |b ， | OF2 |c ， | B2 F2 |a ，且 | OF2 |2 | B2 F2 |2| OB2 |2 ，即 c2a2b2 ；离心率：椭圆的焦距与长轴的比ec 叫椭圆的离心率。ac0 ，a0e1，且 e 越接近 1， c 就越接近 a ，从而 b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e-越接近于 0 ， c 就越接近于 0 ，从而 b 越接近于 a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a b 时， c 0 ，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2 。2双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（ | PF1 | | PF2 | 2a ）。注意：式中

5、是差的绝对值，在0 2a | F1F2 |条件下； | PF1 | | PF2 |2a 时为双曲线的一支； | PF2 | | PF1 | 2a 时为双曲线的另一支 （含 F1 的一支）；当 2a| F1F2 |时，| PF1 | | PF2 | 2a 表示两条射线； 当 2a | F1F2 |时，| PF1 | PF2 | 2a 不表示任何图形；两定点 F1, F2 叫做双曲线的焦点， | F1 F2 | 叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义方程焦点| PF1 | PF2 |2a(2a| F1 F2 |)| PF1 | PF2 |2a(2 a| F1F2 |)x2y21x 2y21x

6、2y21y2x21a2b 2b 2a 2a 2b 2a 2b 2F (c,0)F (0,c)F ( c,0)F (0,c)注意：如何用方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质范围：从标准方程x2y21，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两a2b2条直线 xa 的外侧。即 x2a 2 ， xa 即双曲线在两条直线 xa 的外侧。对称性：双曲线x 2y21关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐a2b 2x2y2标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线1的对称中心，双曲线的对称中a2b2心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线x 2y21的a 2b2方程里，对称轴是x, y

7、 轴，所以令y0 得 xa ，因此双曲线和x 轴有两个交点-A ( a,0) A2(a,0) ，他们是双曲线 x 2y 21的顶点。令a 2b2x，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。01）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段 A A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 B B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线与这两条直线逐渐接近。等轴双曲

8、线：x 2y21的各支向外延伸时，a 2b 21）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab ；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： yx；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3 ） 注 意 到 等 轴 双 曲 线 的 特 征 ab ， 则 等 轴 双 曲 线 可 以 设 为 ：x2y 2(0)，当0 时交点在 x 轴，当0 时焦点在 y 轴上。注意 x2y 21 与 y2x21 的区别：三个量 a, b, c 中 a, b 不同（互换） c 相同，169916还有焦点所在的坐标轴

9、也变了。3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程 y 22 pxp0 叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（ p ,0 ），2它的准线方程是xp；2（ 2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 22 px ， x22 py ， x22 py .-这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程图形焦点坐

10、标y22 pxy22 pxx22 pyx22 py( p0)( p0)( p0)( p0)yyyllFo FxFoxlox( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )2222准线方程ppppxxyy2222范围x 0x 0y 0y 0对称性x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e 1e 1e 1e 1说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径； （2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线； （3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与

11、两个定点F1 、 F2 的距离之和等于定长（大于| F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点F1 、 F2 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离| F1F2 |叫做椭圆的焦距。对椭圆定义的几点说明：（ 1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面） ；（ 2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（ 3）作为到这两个定点的距离的和的“常数” ，必须满足大于 | F 1F2 | 这个条件。若不然，当这个“常数”等于 | F 1F2 | 时，我们得到的是线段 F1F2；当这个“常数”小于 | F 1 F2| 时，无轨迹。这两种特殊情况，

12、同学们必须注意。（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2 ， B1，-B2，于是我们易得| A1A2| 的值就是那个“常数”，且|B 2F2|+|B 2F1| 、 |B 1 F2|+|B 1F1| 也等于那个“常数” 。同学们想一想其中的道理。（ 5）中心在原点、焦点分别在x 轴上， y轴上的椭圆标准方程分别为：x 2y2y 2x2a2b21 (ab 0), a2b21 (a b 0),相同点是：形状相同、大小相同；都有a > b > 0 ， a2c2b2 。不同点是：两种椭圆相对于坐

13、标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同 （第一个椭圆的焦点坐标为（c ，0）和（ c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0， c ）和（ 0， c ）。椭圆的焦点在x 轴上标准方程中 x2 项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中 y2 项的分母较大。（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质，只要x 2y 21(a b 0) 的有关性质中横坐标x 和纵坐标a2b2y 互换，就可以得出 y2x2221(ab0) 的有关性质。总结如下：ab几点说明：（1）长轴：线

14、段 A1 A2 ，长为 2a ；短轴：线段 B1B2 ，长为 2b ；焦点在长轴上。-（2）对于离心率 e ，因为 a>c>0，所以 0<e<1 ，离心率反映了椭圆的扁平程度。由于 eca2b2b2，所以e越趋近于 1，b越趋近于0，椭圆越扁平；aa1a2e越趋近于0， b 越趋近于 a ，椭圆越圆。（3）观察下图， | OB2 | b,| OF2 | c ，所以 | B2 F2 | a ，所以椭圆的离心率e = cos OF2B2知识点一：椭圆的定义第一定义：平面内一个动点P 到两个定点F1 、 F2 的距离之和为定值( PF1PF 22aF1 F2 ),这个动点 P

15、 的轨迹叫椭圆 .这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若若( PF1PF2F1 F2) ，则动点 P 的轨迹为线段 F1F2 ；( PF1PF2F1 F2) ，则动点 P 的轨迹不存在 .知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程：x2y21 (a b 0)，其中 c2a2b 2a2b 22当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：y2x21 ( a b 0)，其中c 2a 2b2.a2b2注意：只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；在椭圆的两种标准方程中，都有 (ab0) 和 c 2a 2b2 ；椭圆的焦点总在长

16、轴上 .-当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0) ， ( c,0) ；当焦点在 y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0, c) ， (0, c) ；知识点三：椭圆的第二方程1. 椭圆 x2y21的参数方程22abx a cos （ 为参数）y bsin2. 椭圆的第二定义到 F（c ，0）的距离和到直线 l ： xa2的距离之比为常数c （ a c0 ）的22ca点的轨迹为 x 2y 21。abx2y23. 焦半径 P（ x0，y0 ）在椭圆1上， F1（c， 0）、F2（， 0）为焦点a2b2cPF1a ex0PF2a ex0例题讲解（三）直线与椭圆：直线 l ： AxByC 0（ A、

17、B不同时为0）22椭圆 C ： x 2y21 (a b 0)ab那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：AxByC0x2y2消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，化简后形式如下a2b21mx2nx p 0( m 0) ，n24 m p（1）当0时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；（2）当0时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）；（3）当0时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为 A( x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) ，那么线段 AB的长度（即弦

18、长）为 | AB |( x1x2 )2( y1y2 )2，设直线的斜率为 k ，可得： | AB | ( x1 x2 )2 k( x1x2 ) 21 k2| x1 x2 | ，然后我们可通过求出方程的-根或用韦达定理求出。例 1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（ 1）两个焦点的坐标分别是（ 4，0），（ 4，0），椭圆上一点 P 到两焦点的距离的和等于 10 ；（ 2）两个焦点的坐标分别是（ 0， 2），（0，2），并且椭圆经过点（ 3 ，25 ）；2（3）焦点在坐标轴上，且经过点A （3 ， 2）和 B（ 2 3 ，1）分析：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的

19、a 、b 即可。若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式。解析：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 b 0） 2a 10 ，2c 8， a 5，c 4b 2 a 2c 2 52 429x2 y2 1（a a 2 b2所以所求的椭圆的标准方程为yx2 1259x2（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 y 1（ a b 0）a2b2由椭圆的定义知，2a ( 3)( 52) 2( 3)2( 52) 2310110 210222222又c 2， b 2 a 2 c 210 4 6所以所求的椭圆的标准方程为y 2x2 1106x2（3）解法一：若焦点在 x轴上，设

20、所求椭圆方程为 y1（a b 0）a 2b2由A （3 ， 2）和 B（ 23 ，1）两点在椭圆上可得：( 3)2( 2)212a2b2解之得a15(23)2121b25a 2b2-a 2b 2若焦点在 y 轴上，设所求椭圆方程为yx 2 1（ a b 0），同上可解得a2b25 ，不合题意，舍去。15故所求的椭圆方程为x2y2 155解法二：设所求椭圆方程为 mx 2 ny 2 1（m 0，n 0 且m n ）。由A（ 3 ， 2）和 B（ 2 3 ，1）两点在椭圆上可得m (3) 2n ( 2)21m ( 2 3 )2n 121即 3m4n1 ，解得m11512mn1n15故所求的椭圆方程

21、为x2y 2 1155点评：（1）求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求 a 、 b 。（2）第（ 3）小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为 mx 2 ny 2 1（m 0，n 0），不必考虑焦点位置，直接可求得方程想一想，为什么？例 2已知 B、C 是两个定点， |BC|6，且 ABC 的周长等于16，求顶点 A 的轨迹方程。分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。如图所示，由ABC 的周长等于 16，|BC|6 可知，点A 到B、C 两点的距离的和是常数， 即|AB|AC| 16 6

22、10 ，因此，点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图。-解析：如图所示，建立坐标系，使x 轴经过点 B、，原点与 BC 的中点重合。由已知 |AB| |AC| |BC| 16 ，|BC| 6，有 |AB|AC|10，即点 A 的轨迹是以 B、 C 为焦点的椭圆，且 2c 6，2a 10， c 3， a 5，b 2 52 3216 。由于点 A 在直线 BC 上时，即 y 0 时，A 、B、C 三点不能构成三角形，所以点 A 的轨迹方程是 x 2 y 2 1（ y0）。2516点评：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用，另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点

23、是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明。例 3一动圆与已知圆O 1：（x3）2 y2 1 外切，与圆O 2：（ x3）2y2 81 内切，试求动圆圆心的轨迹方程。分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件。解析：两定圆的圆心和半径分别为O 1 （ 3， 0），r1 1； O 2 （3， 0），r2 9设动圆圆心为 M （ x，y ），半径为 R，则由题设条件可得|MO1| 1 R，-|MO2| 9R |MO 1| |MO 2| 10由椭圆的定义知：M 在以 O 1 、O 2 为焦点的椭圆上，且a 5，c 3。 b 2 a 2c

24、 2 25 916故动圆圆心的轨迹方程为x2y2 1。2516点评：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量 R，运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。例 4已知 P是椭圆 x2y 2 1 上的一点，F1 、F2 是两个焦点，且 F1PF2 30 °，2516求 PF1 F2 的面积。分析：如图所示，已知 P 30 °，要求 PF1F2 的面积，如用 1 |F 1F2| ·|y P| ，2因为求 P点坐标较繁，所以用S 1 |PF 1| ·|PF 2| ·sin30 °较好，为此必须先2求出 |PF 1

25、| · |PF 2| ，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹 30 °角的两边的乘积。解析：由方程x2y2 1，得 a 5，b 4，25 16 c 3， |F 1 F2| 2c 6|PF 1 | |PF 2| 2a 10 F1PF230°在F1PF2 中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|2 2|PF 1| ·|PF 2 | ·cos30 °-即 62 |PF 1|2 2|PF 1| · |PF2| |PF 2| 2 2|PF 1| · |PF 2|3 ·|PF 1|·|PF 2 |

26、 · |PF 2| （ |PF 1| |PF 2| ）236100 36 64，（23 ）|PF 1|PF 1| ·|PF 2| 64 64（23 ）23 S F1PF2 1 |PF 1| · |PF 2|· sin30 ° 1 · 64（2 3 ）· 1 16（23 ）222例 5椭圆 ax 2 by 2 1 与直线 x y1 相交于 P、 Q 两点，若 |PQ|22 ，且 PQ的中点 C 与椭圆中心连线的斜率为2 ，求椭圆方程。2分析：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a 、b 之值即可-解析：由 ax2

27、by21 得（ a b ）x2 2bx b 10x y1设P（x1，y1），Q （ x2， y2），则x1 x2 2b ，x1x2 b 1abab|PQ| 112(x1x2 )24x1 x22 · (2b)24b1a bab 22abab22ab a b ab a b又PQ 的中点 C （ b，1 b），即 C （ b， a）aaba bababa2由得 a 1 ， b 2kOC abbb233ab所求椭圆方程为 x 22y2 133例 6中心在原点的椭圆 C 的一个焦点是 F（ 0，50 ），又这个椭圆被直线 l：y 3x2 截得的弦的中点的横坐标是1 ，求该椭圆方程。2分析：本题

28、中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用 “平方差法”。-解析：据题意，此椭圆为焦点在 y轴上的标准形式的椭圆， 设其方程为 y2x2 1（a b 0）a 2b2设直线 l与椭圆 C 的交点分别为 A （x1， y1），B（x2 ，y 2），则有：2222y1x1 1， y2x2 1a 2b2a2b2两式相减得：( y1y2 )( y1 y2 )( x1x2 )( x1 x2 ) 0a 2 (x1a2b2 y1y2x2 )x1x2b2 ( y1y2 )即 3a 21a 2 3b 2b2( 1)又因为椭圆焦点为 F（0，50 ）c 50则a 2 b 250由解得： a 275 ，b 2 25

29、该椭圆方程为例 7设 P是椭圆y2x217525x2y21（a b 0）上的一点， F1 、F2 是椭圆的焦点，且a 2b2F1PF2 =90 °，求证：椭圆的离心率e 22.-证明：P是椭圆上的点， F1、F2 是焦点，由椭圆的定义，得|PF 1 |+|PF2|=2a在RtF1 PF2 中， | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 (2c) 2 4c 2 由 2 ，得 | PF1 |2 2 | PF1 | PF 2 | | PF2 |2 4a 2|PF 1 | ·|PF 2 |=2 （ a 2 c 2）由和，据韦达定理逆定理，知 |PF 1 | 

30、3;|PF 2| 是方程 z23az+2 （a 2 c 2） =0 的两根，则 =4a 28（a 2 c 2 ） 0，（ c ） 2 1a2，即 e 22一、选择题：1、到 x 轴和到 y 轴的距离之比等于 2的点的轨迹方程是（）A y = 2xB. y=2|x|C. |y| = 2 |x|D. |x| = 2 |y|2、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e 等于（）A 1B. 1C. 1D. 223443、椭圆的两个焦点是 F1 (0, 3) 和 F2 (0,3) ，一条准线方程是 y16 ，则此椭圆方程3是（）A C.x 2y 21B. x 2y21169167x2y 21

31、D. x2y21916716-4、直线 x = 2被椭圆 x2y 21(0) 截得弦长等于 2 3 ，则的值是（）6A2 2B.8C.10D.8 25、方程 y = |x|和 x 2y24 对应的两曲线围成的图形的面积等于（）A B. 3C.D. 34426、椭圆 a 2 x2ay 21的一个焦点是（-2， 0），则 a 等于（）2A 13B. 15C. 13D. 1544447、在直角坐标平面上，点集M = （x , y）| y =16 x 2,y0 ,N = ( x , y ) | y = x + b ,当MN时， b 的取值范围是（）A 42,42B.4,4 2C.4,42D. 0,42

32、二、填空题：1、由椭圆 x2y 21的四个顶点组成的菱形的高等于：。916和焦点在 x 轴的椭圆 x2y 22、不论 k 为何实数值，直线 y=kx+11总有公共点，5则 的取值范围是：。3、与椭圆x 2y 21轴长为 2 的椭圆方程是：。有相同的焦点 ，且短94三、解答题：1、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P（4，3 ），Q（ 2 2,3 ）两点的椭圆方程。2、已知圆 C 与直线 3x 4y 11 =0及 x 轴都相切并且经过点M（6，2），求圆 C 的方程。-3、经过点 A（ 2，4）的直线 l,被圆 x 2y 22x 2 y 14 0 截得弦长为23 ，求直线 l 的方程。4、已知椭圆 x 2y 21和抛物线 yx 2m 有四个不同的交点。49（1）试确定 m 的取值范围；（ 2）证明这四个交点都在同一圆上。5、点 P 在圆 x2( y2) 21 上运动，点 Q 在椭圆 x2 4 y2 4 上运动，求 PQ 最4大值。-6、 已知椭圆x 2y 2内部一点 A （4，）过 A 作弦 PQ，使 A 恰为 PQ114010中点， M 为椭圆上任一点，求S MPQ 的最大值