《方程的根与函数的零点》导学案

1、.第 1 课时方程的根与函数的零点1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题 .2.理解零点存在性定理 ,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围.3.能够运用函数思想、数形结合思想和化归思想解决方程的根的问题.一个小朋友画了两幅图:;.问题 1:上面的两幅图中哪一幅能说明图中的小朋友一定渡过河?显然 ,图 1 说明了此小朋友一定渡过河, 但对于图 2,则无法判断 ,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x 轴, 那么问题即转化为函数图象与x 轴是否存在交点.问题 2:(1) 什么是函数的零点, 零点是点吗 ?(2)二次函数的零点个数

2、如何判断?(1)对于函数y=f(x),我们把使的实数 x 叫作函数 y=f (x)的零点 .由定义可知零点是一个实数不是点.(2)在二次函数y=ax2+bx+c (a 0) 中,当时,有两个零点 ;当 =0 时 ,有零点 ;当时,没有零点 .问题 3:函数 y=f(x)的零点 ,方程 f(x) =0 的根 ,函数 y=f(x)与 x 轴交点的横坐标,这三者有什么关系?函数 y=f(x)的零点就是方程f(x)=0 的实数根 ,也就是函数y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 .事实上 ,方程 f(x)=0 有实数根 ?函数y=f(x)的图象与 x 轴有交点 ?函数 y=f(x)有零点 .问题

3、4:(1) 零点存在性定理的内容是什么?(2)如果函数y=f(x)在区间 a,b上满足零点存在性定理的条件,即存在零点 ,那么在 ( a,b)上到底有几个零点呢 ?(3)如果函数 y=f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间 (a,b)内有零点 ,那么你认为( ) ( ) 与 0 的关系是怎样的 ? 请举例说明.f a f b(1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数 y=f(x)在区间 (a,b)内有零点 ,即存在 c(a,b),使得 f(c)=0, 这个 c 也就是方程f(x)=0 的根 .(2)至少有一个 .

4、(3)如图所示 , 可以小于 0, 可以等于 0,也可以大于0.;.利用零点的概念求零点判断下列函数是否存在零点,如果存在 , 请求出 .(1)( )=;(2)( )=x224;(3)( ) 2 x3;(4)( ) 1 log 3x.f xf x+ x+f x = -f x = -函数零点所在区间的判定函数( ) e x2 的零点所在的一个区间是 ().f x = +x-A(2, 1)B.( 1,0)C.(0,1)D.(1,2). - -函数零点的个数判定函数 f(x)= +x2-2x 有几个零点 ?;.(2014年北京卷) 已知函数( )= -log 2x,在下列区间中 ,包含( ) 零点的

5、区间是 ().f xf xA.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4, +)考题变式 (我来改编 ):;.第 1 课时方程的根与函数的零点知识体系梳理问题 2:(1) f(x)=0(2) 0一个0问题 4:(1) f(a) f(b)0重点难点探究探究一 :【解析】 (1) 令=0,解得x=-3,所以函数( )的零点是3.f x =-(2)令 x2 +2x+4=0, 因为 =22-41 4=-12 0,所以方程 x2+2x+ 4=0 无实数根 ,所以函数 f(x)=x2+2x+4 不存在零点 .(3)令 2x-3=0,解得 x=log 2 3,所以函数 f(x)=2 x-3 的零点是 l

6、og 23 .(4)令 1-log 3x=0,解得 x=3,;.所以函数 f(x)=1 -log 3x 的零点是 3.【小结】求函数f(x)的零点时 ,通常转化为解方程f(x) =0,若方程 f( x)=0 有实数根 ,则函数 f(x)存在零点 ,该方程的根就是函数f(x)的零点 ;否则 ,函数 f(x)不存在零点 .探究二 :【解析】因为f(0)10, (1)e 1 0,所以零点在区间(0,1) 上,选 C.=-【答案】 C【小结】要判断函数的零点所在的区间,只需把各区间的端点代入函数解析式中,看区间两端点对应的函数值是否异号 ,再用函数的零点存在性定理判断.探究三 :【解析】由 +x2-2

7、x=0,得 =-x 2+2x,在同一直角坐标系内画出函数y= 和 y=-x2 +2x 的图象 ,如图所示 .由图可知 ,两个函数图象有2 个交点 ,所以函数( )2 2有2个零点.f x = +x - x问题 得到的答案是否正确?结论 不正确 ,画图不够准确 .(法一 )由 +x2 -2x=0,得 =-x2 +2 x, 在同一直角坐标系内画出函数y= 和 y=-x2+2 x 的图象 , 如图所示 .由图可知 ,两个函数图象有3 个交点 ,所以函数 f(x)= +x2 -2x 有 3 个零点 .(法二 )解方程22x=0,即0,(21=1,2=, 3=.1) ( 1) 0, 所以方程有三个解 ,分别为+x -= x-x -x- =xxx;.【小结】判断函数的零点个数有以下几种方法:解方程 ;画出函数图象 ,根据图象与x 轴交点的个数判断零点的个数;结合函数的单调性, 根据函数的零点存在性定理进行判断; 把方程转化为两个函数, 画出两个函数的图象,根据它们交点的个数判断零点的个数,要求准确地画出函数的图象.全新视角拓展【解析】由题意知函数( ) 在(0,)上为减函数 , 又(1)