以己昭昭,使人昭昭

1、以己昭昭，使人昭昭做教师的，尤其要注意不能以己昏昏，使人昭昭.如果己昏昏，往 往会造成学生也昏昏的现象和状况，所以应提倡：努力以己昭昭，并 争取也使人昭昭.在我们的教学中，有些问题是有疑问，有错误或很糊涂(含混)的， 在教科书中也有一些上述问题和想象.我们对此应有较清楚的认识，适 时地澄清有关问题，对一些错误进行纠正，这样做能促进我们的教学 工作，下面我就数学分析、复变函数和高等代数这几个课程谈几个具 体的例子.一、 高等代数方面P372正交变换就是保持点之间的距离不变的 变换.1. 北大高等代数中，有一句话：保持距离不变的变换是正交 变换，此句错误.注意：前些年兰大曾出相同内容的一道考研题.

2、此句错在：平移变换保持距离不变，但不是线性变换，更不是正交 变换.应改正为：保持距离不变的线性变换时正交变换 .证明简单.2. O空间无基问题，北大高等代数p305,例题的证明中：“我们取AV的一组基 耳J 2,，”，“再取 A，(0)的一组基 r+?宀,”，注意：强调一下AV有可能是0空间，A"*(0)也有可能是 0空间.所以该结论应分为三种情况说明.这对学生清楚认识线性变换 的各种情况，提高认识线性变换的深刻性有好处3. 北大高等代数书配套的辅导书上有一道例题：给定:-1-2 （四 维，线性无关），再给定'1, '2 （线性无关），求线性空间V的一个同构 变换，使

3、匚（：1）= ”二（2）= 2结果是解出了一个答案，但是我看不懂 他们的计算注：线性空间之间的同构，教材上讲了，但是并未具体讨论自同 构配套书上扩充知识，提出自同构是好的但是什么是线性空间的自同 构呢？他们没弄懂.结论：匚是线性空间V的一个自同构映射=二是线性空间V的一 个可逆线性变换.证明简单.所以上面题目肯定解错了，因为正确答案应该是不唯一的，或者 说有一批答案.二、数学分析方面1.华东师大分析（匕P182题4.“每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数”2x，2x1,1<xvO这一句话从逻辑上说是错误的.例如，g(x)=2x,0沁 1，2x 一1,一1 ： x 0f有原函数，g无原

4、函数.所以要看函数在间断点有无意义.此问题涉及到其他课，如概率，实函例f（X）二丄，齐:X ： b,是 b a均匀分布的密度，有原函数（分布函数）F（x）.2.纪乐刚编数学分析书上，先规定f(x_O) = lim f(t)，后又定义X 屮一 f在x点的左导数为f'(xO)这是不行的.注：f(xO)与f'(x 0)的毛病是一样的另外川大“高数”上也有这样的问题.例 f(x)=业,X=O, f'(0 0) 与 f'(0 0)都存在，但 f'( 0)与 f(0)都 x不存在g(x)= X： ,x，Q，则结论与上例相反.x2 x R-Q3与华东师大分析配套的辅导

5、书上解一道习题：说Jsin xdx0 x收敛，但ISinx dx发散，错！0 I x丿事实上cos2x_,-Vdx1 ：1-cos2xd -12 0x-1®2宀+1绝空dx =广如仝dx旦2x 02 0 xx24.刘玉琏分析上册，Darboux定理以例5 (p211)出现:若函数f(x)在l.a,b 1可导，对f'.(a)与f(b)之间任意则在(a,b)内至少存在一点c，使f'(C)=i注:应加上条件fa)式f(b).这是一点点细节，但一定要注意!例f(X)詔21X当有心人，恐怕还可找到，碰到其他一些原理性问题 另外，还有另一类问题，教科书上写法从数学要求，逻辑要求来看没有错，但讲解起来方法不好如:1）线性相关与线性无关的定义与本质.（近世代数中，多项式知识中未定元的本质是多项式表法唯 一）.