圆幂定理及其证明_第1页
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文档简介

1、圆幕定义 假设平面上有一凰0,其半径为R,有一点P在圆o夕卜，则0P-2-R-2即为P点到圆0幕；若 P 点在圆内，则圆幕为 R"2-0P"2：综上所述，圆幕为 |0P-2-R'2| O圆幕恒大于或等于零。圆幕由来 过任意在圆 0 夕一点 P 引一条直线 L1 及一条过圆心直线 L2, L1 及圆交于A、B （可重合，即切线），L2及圆交于C、Do则PA? PB二PC? PD。若圆半 径 为 r,则 PC? PD=（ P0-r）? （ P0+r）=P0'2-r'2= | P0'2-r'2 i （要加绝对值,原因见 下）为定值。这个值称

2、为点 P 到圆 0 幕。（事实上所有过 P 点及圆 相交直线都 满足这个值）若点 P 在圆内，类似可得定值为 r'2-P0 _2=|P0'2-r"2故平面上任意一点对于圆幕为这个点到圆心距离及圆程平方差，而过这 一点引任意直线交圆于 A、B,那么PA? PB等于圆幕绝对值。圆幕定理定理内容过任意不在圆上一点 P 引两条直线 LI、 L2, L1 及圆交于 A、 B （可重合，即切线）， L2 及圆交于 C、 D （可重合），则有PAx PB 二 PC xPDnAfv一IjT 1“J I、i f14/k/ CfD/ucnn圆幕定理所有情况考虑经过P点及圆心0直线，设P0

3、交。0及M、N, R为圆半径，则有PAPN ? (OF + R|OF- R| |f>PR31iff/Ml-MJ4/L»*x">LIn*Jr比、.IljT、F jT、1l F & X.e1 rjf, 丿 1j ° J_jrigr- U一1 L止F 1 -JrL £rfU日isi./ cwk/圆幕定理证明图I :相交弦定理。如图，AB、CD为圆0两条任意弦。相交于点 P,连接AB、BD, 由于ZB及ZD同为弧AC所对圆周角，因此由圆周角定理知:Z B二ZD,同理ZA=ZC, 所以APAD ? APCB。所以有：PA _ PDPC = PB,即：PAxPB = PCxPD图II:割线定理。如图，连接 AD、BCo可知ZB二ZD,又因为ZP为公共角，所以有 PAD ? APCB,同上证得PAxPB = PCxPD图III :切割线定理。如图，连接 AC、ADo ZPAC为切线PA及弦AC组成弦切角，因此有ZPAC=ZD又因为ZP为公共角，所以有APAC APDA易证PA2= PCXPD图IV: PA、PC均为切线，则ZPAO二ZPCO二直角，在直角三角形中： 0C二0A二 R,P0为公

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