实数与向量的积0001

1、课题：实数与向量的积(1) 教学目的：1掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2. 掌握实数与向量的积的运算律；3. 理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行 教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课，课时安排：1课时+教学过程：、复习引入:1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2. 向量的表示方法： 用有向线段表示；用字母 a、b等表示;a+ b =b + a R- *F -*(a + b) +c=a+ (b + c)a加上的b相反向量，3. 零向量

2、、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，4.平行向量定义:长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规疋0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a / b/ c .5. 相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量6. 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法，向量加法的 三角形法则和平行四边形法则8 .向量加法的交换律:9 .向量加法的结合律:10 .向量的减法向量叫做a与b的差-即：a-b = a +( -b)11 .差向量的意义：OA= a, OB = b,贝U BA= a-b即a -b可以

3、表示为从向量 b的终点指向向量a的终点的向量二、讲解新课：一1 .示例： 已知非零向量 a，作出a + a + a和(a)+(a)+(a) Ra a a_.一 _. _ , , 0 - 扌 *OC =OA AB BC= a + a + a =3 a一 一 ：f $dHPN = PQ QM MN =( a)+(a)+(a)=3a(1) 3a与a方向相同且|3 a|=3| a| ；(2) a与a方向相反且| -3 a |=3| a |2 .实数与向量的积： 实数入与向量a的积是一个向量，记作：入a(1) | 入 a |=| 川 a|(2) 入0时入a与a方向相同；入0时入a与a方向相反；入=0时入

4、a = 03 运算定律 结合律：入a（）=（入隔第一分配律：（入+ a=入a + 第二分配律：入（a + b ）=入a +入b结合律证明：如果入=0 ,卩=0 , a = 0至少有一个成立，则式成立如果入00, a=0有：|入何）|=|川 诃|=|川 训a|（入 a |=| 入!H a |=| 川 训 a 1二丨入（a）|=|（入询|如果入、h同号，则式两端向量的方向都与a同向；如果入、h异号，则式两端向量的方向都与a反向+从而入a）=（入闵第一分配律证明：如果入=0 ,h=0 , a = 0至少有一个成立，则式显然成立f如果入-0 , h 0, a =0当入、h同号时，则入a和Ha同向， -

5、1（入 + H ）|=| 入 + H| a |=（| 屮|H）| a | 心+ Ha |=| 入a |+| Ha |=| 入| a |+| H| a |=（| 入+| H）| a |入、h同号两边向量方向都与a同向即 |（入 + h ） |=| 入a + Ha |当入、h异号，当入时h两边向量的方向都与入a同向；当入 时两边向量的方向都与Ha同向，且|（入+ Ha|=|入a + Ha|式成立第二分配律证明：如果a = 0 , b = 0中至少有一个成立，或入=0 ,入=1则式显然成立| AB |= x A1B1 |当a =0 , b =0且入-0,入-1时（1 ）当入0且入-1时在平面内任取一

6、点O,作 OA 二 a AB = b OAi =入a A1B1 = xb则 OB =a + b OBj 二 xa + 入b由作法知，AB / AB1 有.OAB= OA1B111 二 1 A1 B1 1 二入OAB s OA1B1|OA| |AB| 1 OB| 1 =入 AOB= . A1OB 1|OB|11 / 6OBr与入OB方向也相同因此，O, B , B1在同一直线上，| 0$ |=|入0B|X(a + b )=入a + 入b当入0时可类似证明：入(a+b)= xa + xb式成立4 向量共线的充要条件若有向量a(a=0)、b，实数x,使b = xa，则a与b为共线向量若a与b共线(a

7、=0)且| b | : | a |=卩,则当a与b同向时b = a ；当a与b反向时b = -a .从而得向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件 是：有且只有一个非零实数x,使 b = xa +三、讲解范例：例1若3 m + 2 n= a , m 3 n = b，其中a , b是已知向量，求m , n .分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得 m、n.解：记 3 m + 2 n = a m 3 n = b 3 X 得 3 m 9 n = 3 b 13-得 11 n = a 3 b . nab1111将代入有：m=b + 332 Kn = a + b11 11评述

8、：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致 1 例2凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证EF = 一 (AB+ DC ).2解法一：构造三角形，使 EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决过点C在平面内作CG = AB ,则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点.1 1 ” EF 是厶 ADG 的中位线， EF =一 DG,. EF =一 DG .2 2而 DG = DC+ CG =DC + AB ,一 1 EF = - ( AB + DC ).2解法二：创造相同起点，以

9、建立向量间关系如图，连 EB，EC,则有 EB = EA + AB ,EC = ED + DC ,又 E是AD之中点，有EA + ED = 0.即有 EB + EC = AB + DC ；以EB与EC为邻边作平行四边形 EBGC ,则由F是BC之中点，可得 F也是EG之中点. EF =丄 EG =丄(EB + EC )=丄(AB + DC )2 2 2四、课堂练习：1.错例分析判断向量a=2 e与b = 2 e是否共线?对此题，有同学解答如下：解：T a =2 e, b =2 e,.b=a,.°. a 与 b 共线.分析：乍看上述解答，真是简单明快然而，仔细研究题目已知，却发现其解答

10、存有问题，这是因为，原题已知中对向量e并无任何限制，那么就应允许 e= 0,而当e= 0时，显然a = 0 , b = 0,此时，a不符合定理中的条件，且使 b = Xa成立的2值也不惟一(如入=1, Z=l,入=2等均可使 b = Xa成立), 故不能应用定理来判断它们是否共线可见，对e=0的情况应另法判断才妥综上分析，此题应解答如下：解：(1)当 e = 0 时，贝 U a =2 e = 0 由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，此时a与b共线.(2)当 0 时，贝U a =2 e 丰0 , b = 2 e 0b = a (这时满足定理中的a工0 ,及有且只有一个实数 X

11、 ( X=1 ), 使得b = Xa成立) a与b共线.综合(1)、可知，a与b共线.2.用向量法解决几何问题向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具,的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练例：如图，MN是厶ABC的中位线，1求证：MN = BC，且 MN / BC.2它简洁明快，许多几何里证明： M、N分别是AB、AC边上的中点，1 1 AM = AB , AN = AC ,2 2一-一 1 1 1 1- MN = AN - AM = AC-AB = ( AC - AB )=BC.2 2221因此，NM = EC 且 MN / BC .2五、小结：通过本节学习，要求大家掌握实数

12、与向量积的定义，掌握实数与向量积的运算律,理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用六、课后作业：1 .当入三Z时，验证：入(a + b )=入a +入b证：当入=0时，左边=0?(a+b)=0右边=o?a+o?b =0分配律成立当入为正整数时，令入=n,则有：n（ a + b）=（ a + b）+（a + b）+ +（ a + b）=a + a + +a + b + b + b+ + b = n a+n b即入为正整数时，分配律成立当为负整数时，令入=-n (n为正整数)，有-n( a + b )=n -(a + b )=n( a)+( b )=n（ -a ）+n（ -b ）= -n

13、a +（-n b ）= -n an b分配律仍成立综上所述，当入为整数时，入(a + b)=入a+入b恒成立2 .如图，在 ABC 中，AB = a, BC = b , AD 为边BC的 中线，G ABC的重心，求向量 AG- _ 1 1解法一：AB = a , BC = b 贝U BD = BC = b2 21 一 2 一 - AD = AB + BD = a + b 而 AG = AD232 1 AG = a + b3 3解法二：过 G作BC的平行线，交 AB、AC于E、F/ AEFABC , 2 - 22 2 1 1AE = AB = aEF= BC = bEG = EF=b333323

14、2 1 AG = AE + EG = a + b3 33 在平行四边形 ABCD中，设对角线 AC = a , BD = b试用a, b表示AB , BC1 1 1 解法: AO = OC = a BO = BD = b2 2 21 1 AB = AO + OB = AO - BO = a b2 2一 一 一 一 1 1 BC = BO + OC = OC + BO = a + b 2 2n则 AB + BC = AC，即 x + y = a ；1-FKffAD AB = BD，即 x y = bx = 2(ab)，1y=2(a+b)即屁=丄(a_b)2BC = -(a + b )2解法二：设 AB = x , BC = y4 .设 e , e2 是两个不共线向量，已知 AB =2 ei +k e2, CB= e( +3 e2, CD =2 -e2,若三点A, B, D共线，求k的值*解：BD = CD -CB =(2 © -e? )7© +3 e? )= ei -4 e?/ A