定积分解析几何微分方程提高训练题

1、积分，解析几何，微分方程练习题、填空题:X2 A.设 f (x)连续，且 f(t)dt=x,则 f(7) =1设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2J0f(t)dt，则f(x) =X1 函数F (x)二j(2 )dt(X 0)的单调减少区间为L 1不dx x2x cost 2dt 二dx : sin(x t)dt-be idx = 1 xln2x o 2x -x2dx =(8) 由曲线y = lnx与两直线y =e，1-x及y = 0所围成的平面图形的面积是 。(9) 微分方程科-酉斜二的通解为.(10) y -4y =“ 的通解为.(11) 设y=ex(C1Sinx C2COSx)(CC2

2、为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的解，则该方程为 .(12) 微分方程yy“+y 0满足初始条件y|x出=1 , y；出专 的特解是.(13) 微分方程 yytanx =cosx的通解为 y二.(14) 微分方程 灯 =0的通解为 .x = -t 2(15) 过点M (1,2, T)且与直线 y =3t -4垂直的平面方程是 .z =t -1x1 v2z3x+2 v1 z(16) 已知两条直线的方程是L1：, L2 :，则过L1且平行10-1 2 11于L2的平面方程是.x = 1Ix1 v 亠2 z 亠1(17) 与两直线 y -1 t及都平行且过原点的平面方程为 。I121z =

3、 2 t(18) 设(a b ) c = 2，则(a b ) (b c ) ( c a )=(19) 设一平面经过原点及点(6, -3,2)，且与平面 4x -y 2z = 8垂直，则此平面方程为.二、选择题：(1)设f (x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则【】8 / 5(A)(B)(C)当 f(x)当f (x)是偶函数时，当f(x)是周期函数时，(D)(A)(C)是奇函数时，F(x)必是偶函数；F (x)必是奇函数；F (x)必是周期函数；F(x)必是单调增函数.x二t 0 f (tx )dx，其中t . 0,s0，则I的值【】(B)依赖于S、t和x ；(D)当f(x)是单调增函

4、数时,设f (x)为已知连续函数，依赖于s和t ；依赖于t、x，不依赖于ssin x设 f(x) = .sin12dt ,g(x) =x3 x4，则当依赖于s，不依赖于t。x ” 0时，f (x)是g(x)的【】(A)(C)(A)(C)(A)则【】同阶但非等价无穷小 低阶无穷小.等价无穷小；高阶无穷小；(D)2 2 2 2 2双纽线(x y ) =x -y所围成的区域面积可用定积分表示为【n2 0 cos2d 二；nJ02 Jcos2d 日;若连续函数f(x)满足关系式f(x)二(B)ex In 2 ；(B) e2x In 2 ；n设 M = i2n sin： cos4xdx,N = i2n(

5、sin3x 、三1 +x2(A) N : P : M ；(B)(7)设f(X)有连续的导数,F (x)与x 是同阶无穷小，则(A)1;(B)n(B)02cos2rdr；1 n(D)02(cos22d 2x tf (-)dt In 2，则f(x)等于【】-0 2(C)xe In 2 ；cos4x)dx, PN : M : P ；X 22x . 小(D) e In 2 .n=2n(x2sin3xcos4x)dxM : P : N ；(C)f(0) =0,f (0)=0, F(x)= 0(xk等于(D) P : M : N .-t2)f (t)dt，且当 x 0 时,2；(C)3;(8)设在区间a,

6、b上 f (x)0,f (x) y2、y3都是二阶非齐次线性方程y p(x)y， q(x)y = f (x)的解，Ci，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是【(A)(C)(13)Ciyi C2y2 y3 ；C iyi C 2y2 -(1 -C 1 -C2)y设f (x)是连续函数，且(B)3(D)n xF(x)二 * f (t)dtC iyi C 2y _ (C 1 C2)y3 ；C iyi C 2y2 (仁 Ci -C 2)y3 .，则F (x)等于【】(A)(C)(B) -ef(e) f(x);(D) ef(e)f (x).ef (e) -f (x); e十(ej -f(x)；x -1

7、y5 z 8丄x _y = 6 nrt(14)设有直线Li与L2 :，则Li与L2的夹角为1 -2 12y z = 3冗冗冗冗(A)(B)；(C)；(D).6432x 3y 2z 1=0(15)设有直线L :及平面 n： 4x -2y +z -2=0，则直线L2xy - 10z 3=0(A)平行于n;(B)在n上；(C)垂直于n；(D)与n相交.三、xex求(1)【】_e_1dx ；. dxsin 2x2sin xarctanexdx.esin n sin 也求limnn nsin_nn 1 n n 12n四、设y二f(x)是区间0,1上的任一非负连续函数.(1)试证明存在(0,1)，使得在区

8、间0,x。上以f(x。)为高的矩形面积，等于在区间x0,1上以y =f(x)为曲边的梯形面积.(2)又设f (x)在区间(0,1)内可导，且f(x) -空，证明(1 )中的X。是唯一的.xx五、设 f (x) =sinx - (x -t)f (t)dt，其中 f 为连续函数，求 f (x).六、设函数f (x)在区间a,b上连续，且在(a,b)内有f(x)0，证明：在(a,b)内存在唯 一的，使曲线y = f (x)与两直线y二f( J,x二a所围成图形的面积 S1是曲线y =f(x)与两直 线y =f( ),x二b所围成图形面积S2的3倍。七、证明方程In x = x ! ： 1 -cos2

9、xdx在区间(0,内有且仅有两个不同的实根.xexdx . (2)求 dx ； (3)求Vex -1sin2x+2sinxdxe 01 ln(1 x)八、(1)求20 (2 x)1 +xx 兰 03设 f(x) = */，求 L f(x2)dx.e , x a0,111f (x)f(xt)dt,且im-=A(A 为常数)，求(X)并讨论(x)在九、设函数f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且3 2f(x)dx =f (0)，证明在(0,1)内 存在一点c ,使f (c) = 0 十、设f(x)连续，(x)x =0处的连续性.曲线y = f (x)上点(x,f (x)处的切线在y轴上的

10、截距等于1 xf(t)dt，求 f(x)的一般表达式.x 0nn十二、设函数 f(x)在0, n 上连续，且 f (x)dx = 0,. f (x)cosxdx = 0，试证在(0, u)内 至少存在两个不同的点，使f ( J =f2) =0 .十三、(1)已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所成 的旋转曲面为S，求由S及两平面z =0,z =1所围成的立体的体积.(2)求心形线r =a(1 cos)的全长，其中a 0是常数.arcta nx .2十四、已知两曲线y =f(x)与y = e dt在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程， 并求极限

11、lim nf (2).nn十五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y (从海增面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在 下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为?，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k 0) 试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y =y(v).十六、(1) 求微分方程y 6y (9 a2)y = 1的通解，其中常数a 0 o(2) 求微分方程y 4y 4y二e z的通解(一般解).(3) 求微分方程 丫 酉- =ex的通解.(4) 求微分方程x2 xy

12、=y2满足初始条件y 1x = 1的特解十七、在上半平面求一长条向上凹的曲线，其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PO长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十八、设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点3 3 记为A.已知| MA|=|OA|,且L过点 岸，求L的方程.12 2丿十九、 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的设该人群的总人数为N，在t =0时刻已掌握新技术的人数为 x0，在任意时刻t已掌握新技术的人数为 x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k 0 ,求 x(t).二十、设函数y(x)(x _0)二阶可导，且y(x) .0,y(0)