导数试验修订版

1、高中数学第十四章导数考试内容：导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值.考试要求：(1) 了解导数概念的某些实际背景.(2) 理解导数的几何意义.(3) 掌握函数，y=c(c为常数卜y=xn(n N+)的导数公式，会求多项式函数的导数.(4) 理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区 间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5) 会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.§4.导数知识要点1.导数(导函数的简称)的定义：设 X0是函数y=f(x)定义域的一点，如果自变量 x在X0 处有增量

2、x ,则函数值y也引起相应的增量.'7 = f (x Ax) - f (x0)；比值 d =f(X0 X)-f(X0)称为函数y = f (x)在点x0到X。之间的平均变化率；如果极限xXlim y = lim X)f (Xo)存在，则称函数 y = f (x)在点x0处可导，并把这个极限叫0 :-x0x做 y =f (x) 在 xo 处的导数记作 f (xo)或 y |xff 'yf (Xo=x) - f (Xo)f (x0) = limlim店T ix 進T馭注：披是增量，我们也称为改变量”，因为披可正，可负，但不为零以知函数y二f(x)定义域为A， y=f'(x)

3、的定义域为B，贝U A与B关系为A二B.2.函数y = f(x)在点xo处连续与点xo处可导的关系：于是函数y =f (x)在点xo处连续是y二f(x)在点xo处可导的必要不充分条件 可以证明，如果y = f (x)在点X。处可导，那么y二f (x)点x°处连续. 事实上，令 X=Xo *x，贝y Xr Xo相当于CXrO.lim f (x) = lim f 亿 =x) = lim f (x xof (xo) f (xo)XYo.J°f (Xo)f (xo + 也X)- f (xo ) &f (xo + ix) - f (xo )'叫.X f(xo)=啊一

4、lXmof(xof (xo)o f(xo)如果y = f (x)点Xo处连续，那么y = f (X)在点x。处可导，是不成立的.例：f (x) Mx|在点xo =o处连续，但在点xo =o处不可导，因为，二丄创，当x >o时，二 XLX厘=1 ；当x v o时，厘=_1，故lim y不存在LXXxo 二 X注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数可导的偶函数函数其导函数为奇函数3.导数的几何意义：函数y = f(x)在点xo处的导数的几何意义就是曲线y = f(x)在点(xo, f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y二f(x)在点P(xo,f(x)处的切线的斜率是f'(Xo)，切线

5、方程为 y -yo =f (x)(x -xo).4.求导数的四则运算法则：(u 土v)' =u'土v'斗 y =h(x) +f2(x) +.+fn(x)斗 y' = f；(x) + f?(x)+. + 打(x)vu -v u2 v(uv) =vu 十vun(cv) =cv+cv =cv ( c为常数)(v=o) 注：u,v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、 差、积、商不疋不可导.一，、r2 2例如：设f(x) =2s inx, g(x) =cosx ，贝U f(x),g(x)在x=0处均不可导，但它们和x

6、xf (x) g(x)二sinx cosx在x =0处均可导.5. 复合函数的求导法则：fx ( (x) f (u) : (x)或y x = y u u x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x) > 0，则y二f(x)为增函数；如果 f'(x) v 0,贝U y二f(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y=f(x)在区间I内恒有f'(x)=0，贝U y=f(x)为常数.注：f(x) -0是f ( x)递增的充分条件，但不是必要条件，如 y=2x在(：，；)上并不 是都

7、有f(x) -0，有一个点例外即 x=0时f ( x)= 0，同样f (x)0是f (x)递减的充分非必要条件.一般地，如果f(x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)，那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的7. 极值的判别方法：(极值是在X。附近所有的点，都有f(x) v f(x°),则f(x。)是函数f(x) 的极大值，极小值同理)当函数f (x)在点X0处连续时， 如果在X。附近的左侧f'(x) > 0,右侧f'(x) v 0,那么f(x。)是极大值； 如果在X0附近的左侧f'(x) v 0,右侧f'(x) &g

8、t; 0,那么f(x°)是极小值.也就是说x°是极值点的充分条件是 x°点两侧导数异号，而不是f'(x)=0.此外，函数不 可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同)注： 若点X°是可导函数f (x)的极值点，则f'(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函 数，其一点X0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零例如：函数 y = f (x) = X3 , X =0使f (x) =0，但X = 0不是极值点.例如：函数y=f（x）x|，

9、在点x=0处不可导，但点x=0是函数的极小值点最值是在整体区间上对函数值进8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较, 行比较 注：函数的极值点一定有意义9. 几种常见的函数导数：l.c' =0 ( C为常数)(sin x) =cosx(arcsin x)1（xn） =nxn 二（n 三 R）1II. （In x）xx ' x（e ）二eIII. 求导的常见方法：常用结论：（in| x|）'=丄.x(cosx) =-si nx(arccos x)1(loga x)Jlogaex(arcta nx)=1x21(ax) =axln a(arc cotx)x2形如八“1）"2，.）或-