几何体的外接球和内切球问题20180108

1、几何体的外接球和内切球问题20180108基础知识：1 常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆长方形（正方形） 的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；正三角形的内切圆半径：3 a 外接圆半径：3 a三角形面积：3 a2634正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1 两部分。2 球的概念：概念 1 ：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.，定长叫球的半径；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O 或 e O 概念 2 ：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体

2、，简称球。3 球的截面：用一平面去截一个球O ，设 OO 是平面的垂线段，O 为垂足，且OO d ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以rR2d 2 为半O径的一个圆，截面是一个圆面 .Rd球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做r O'小圆 .P4空间几何体外接球、内切球的概念：定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。长方体的外接球正方体的内切球5 外接球和内切球性

3、质：（ 1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。（ 2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。（ 3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。（ 4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。（ 5）体积分割是求内切球半径的通用做法。6 公式： 球的表面积公式： S4 R2 ；球的体积公式： V4R33长方体的外接球半径公式：Ra2b2c23 条棱长2，其中 a,b,c 分别为长方体共顶点的正棱锥的外接球半径公式：Ra2,侧棱2=2R外h正棱锥 ，其中 a 为侧棱长， h 为正棱锥的高2h正棱柱的外接球球心在两底面中心连线的中点处。典型例题：题型一：

4、球的概念例 1. （ 1）已知球的直径为8cm，那么它的表面积为_，体积为_（ 2）已知球的表面积为144cm2 ，那么它的体积为_（ 3）已知球的体积为 36 ，那么它的表面积为 _（ 4）如果两个球的体积之比为 8:27，那么两个球的表面积之比为 _例 2.（ 1）（ 2012 年新课标文科）平面O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面2 ，则此球的截球的距离为体积为（）A6B43C 46D63（ 2）已知过球面上A, B, C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且ABBCCA2，求球的表面积.32013年高考课标卷（文） ）已知 H 是球O的直径 AB 上一点，AH:HB 1:2， A

5、B平面， H 为垂足，（ ）（截球 O 所得截面的面积为，则球 O 的表面积为 _（ 4）（ 2013 年高考新课标1（理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A500 cm3B866cm3C1372 cm3D2048 cm33333题型二：与长方体、正方体（柱体）有关的外接球问题例 3.（ 1）设正方体的棱长为23 ，则它的外接球的表面积为（）38B 2C 44AD3332（ 2）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（）3A2 2234243B3C3D

6、3例 4.（ 1）（ 2010 年新课标文科）设长方体的长、宽、高分别为2a 、 a 、 a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A 3 a2B 6 a2C 12 a2D 24 a2（ 2）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为cm2（ 3）（ 2013 年辽宁数学（理） ）已知直三棱柱ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB 3，AC4 ，ABAC ， AA112 ，则球 O 的半径为（）317B2 1013D3 10A2C2题型三：与正锥体有关的外接球问题例 5（1）一个正三棱锥的四个顶点都在

7、半径为1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）3333D3A4BC3412（ 2）（ 2012 年高考辽宁理）已知正三棱锥，点， ， ，C都在半径为3的求面上，若，两两P ABCPA BPA PB PC互相垂直，则球心到截面ABC的距离为 _例 6（1）（ 2013 年高考课标卷（文） ）已知正四棱锥OABCD的体积为 3 2，底面边长为3 ，则以O为球心，2OA为半径的球的表面积为_（ 2）如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是_题型四：其他柱体、锥体的外接球问题例 7（ 1）直三棱柱 ABCA1B1C1 的各

8、顶点都在同一球面上，若 ABAC AA12 ，BAC 120，则此球的表面积等于2SDABCD2ABCD 的五个顶点都在一个球面上，底面是边长为的正方形，平面，且 SDAB ，（ ）四棱锥 S则其外接球的体积为（ 3（） 2015 年新课标 2 文科）已知 A, B 是球 O 的球面上两点，AOB90 ，C 为该球面上的动点 若三棱锥 OABC体积的最大值为36O的表面积为（），则球A 36B 64C 144D 256题型五：柱体、锥体的内切球问题例 8.（ 1）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A1: 3B1:3C1:3 3D1:9（ 2）正三棱锥的高为1，底面边长为26 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积拓展练习：2一个正四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（）A 3B 4C33D 63一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各顶点在一个球面上，则这个球的表面积是（）A 16B 20C 24D 327（ 2012 辽宁文） 已知点P, A, B,C, D是球