变上限定积分ppt课件

1、4.2.1 4.2.1 变上限定积分变上限定积分4.2定积分基本定理定积分基本定理4.2.2 4.2.2 微积分的基本公式微积分的基本公式4.2.1 4.2.1 变上限定积分变上限定积分假如假如 x 是区间是区间 a, b上任意一点，定积分上任意一点，定积分 xattfd)(表示曲线表示曲线 y = f (x) 在部分区间在部分区间 a, x 上曲边梯形上曲边梯形AaxC 的面积，的面积，如图中阴影部分所示的面积如图中阴影部分所示的面积. 当当 x 在在区间区间 a, b 上变化时上变化时,阴影部分的曲边梯形面阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，积也随之变化， 所以变所以变上限定积分上限定积分

2、xattfd)(yxy = f (x)axbOACB是上限变量是上限变量 x 的函数的函数.记作记作 F (x)，即即( )( )d().xaF xf ttaxbF(x) 注意到教材中的积分式,积分上限中的积分变量 ，与被积函数中自变量用的是同一个字母符号，其实两者的含义是不同的,为避免混淆,这里改用 为积分变量. 由于定积分的值与积分变量的记号无关,把积分变量改用别的字母表示,不影响积分结果.xt通常称积分式通常称积分式 xattfd)(为变上限的积分为变上限的积分变上限的积分变上限的积分( )( )d().xaF xf ttaxb有下列重要性质有下列重要性质: :定理定理4.1 4.1 若

3、函数若函数 f (x) f (x) 在区间在区间 a, b a, b 上上连续，连续，则变上限定积分则变上限定积分( )( )dxaF xf tt在区间在区间 a, b 上可导，上可导，并且它的导数等于被积函数，并且它的导数等于被积函数，即即( )( )d( ).xadF xf ttf xdx定理定理 4.1 告诉我们，告诉我们，( )( )dxaF xf tt 是函数是函数 f (x) 在区间在区间 a, b 上的一个原函数，上的一个原函数， 这就肯定了这就肯定了连续函数的原函数是存在的，连续函数的原函数是存在的， 所以，所以，定理定理 4.1 也称为原函数存在定理也称为原函数存在定理.变上

4、限定积分变上限定积分 推论推论 ( (原函数存在的充分条件原函数存在的充分条件) ) 闭区间上的连续函数闭区间上的连续函数, , 在该区间上它的原函数一定存在在该区间上它的原函数一定存在. .例例 1 (1) 1 (1) 21( )e d ,xtxt已知求求 (x).解根据定理解根据定理4. 1，得，得 221( )e de .xtxxt(2) (2) 求求24111xddtdxt解解2242481112()11 ()1xdxdtxdxtxx补充例补充例 xttx02,d)sin()( 设设求求 (x).解解 (x) xxtt02d)sin(xxxxtt)(d)sin(02 .sin21xx

5、补充例补充例 0,d)13cos()(xttxF已知已知求求 F (x).解根据定理解根据定理 1，得，得 )(xF 0d)13cos(xtt xtt0d)13cos().13cos( x*补充例补充例 2,d13xxtty设设解解.ddxy求求xydd xxxtt2d13 xaxxatttt2d1d133 xxaxxatttt2d1d133xxxxttx)(d11203322 .12163xxx 例例2 2求求2030sinlimxxt dtx解解 当当0 x 时时, ,原式为原式为00型不定式型不定式, ,可用洛必达法则求可用洛必达法则求得得2220033 2000sin(sin)1sin

6、1limlimlim()33xxxxxt dtt dtxxxx4.2.2 4.2.2 微积分的基本公式微积分的基本公式定理定理 如果函数如果函数 f (x) f (x) 在区间在区间a, ba, b上连上连续，续，F(x) 是是 f (x) 在区间在区间 a, b 上任一原函数，上任一原函数，).()(d)(aFbFxxfba 那么那么为了今后使用该公式方便起见，把为了今后使用该公式方便起见，把 上上 式右端的式右端的,)()()(baxFaFbF记作记作 这样这样 上面公式就写成如下形式：上面公式就写成如下形式：.( )( )( )( )bbaaf xxF xF bF ad“NewtonLe

7、ibniz“NewtonLeibniz公式公式”例例 3 3 计算下列定积分计算下列定积分. . 解解;d11)1(102xx 30(2)sind .x x xxd11)1(102 10arctanx ;40arctan1arctan 30(2)sindx x 30cosx cos( cos0)3 11122 4.2.3 4.2.3 定积分的性质定积分的性质下面各性质中的函数都假设是可积的下面各性质中的函数都假设是可积的.性质性质 1 (1) 两个函数和的定积分等于它们两个函数和的定积分等于它们定积分的和，定积分的和，即即 baxxgxfd)()( babaxxgxxf.d)(d)(性质性质2

8、 2 被积函数的常数因子可以提到积分外面，被积函数的常数因子可以提到积分外面，即即 baxxkfd)(.d)( baxxfk性质性质 1 (1) 1 (1) 可推广到有限多个函数代数和可推广到有限多个函数代数和的情况，即的情况，即 banxxfxfxfd)()()(21.d)(d)(d)(21 banbabaxxfxxfxxf性质性质 3 3( (积分对区间可加性积分对区间可加性) )如果积分区间如果积分区间 a, b a, b 被点被点 c c 分成两个区间分成两个区间 a, c a, c 和和 c, bc, b，那么那么 baxxfd)(.d)(d)( bccaxxfxxf当点当点 c 不

9、介于不介于 a 与与 b 之间，之间， 即即 c a b 或或 a b c 时，时，结论仍正确结论仍正确.补充例题补充例题 计算下列定积分计算下列定积分. . 解解;de1e)1(11xxx .dcos)2(462xx xxxde1e)1(11 )e1(de1111xx 11)e1ln( x; 1e11ln)e1ln( xxdcos)2(462 xx d )2cos1(2146 46462d2cos41d21xxx462sin416421 x.834124 解把被积函数化简解把被积函数化简.补例补例 计计算算.dsinsin03xxx xxxdsinsin03 xxxd)sin1(sin02

10、.d|cos|sin0 xxx xxxxxxd)cos(sindcossin220 xxxxsindsinsindsin220 2232023sin32sin32xx.34)32(32 解解xxfd )(30 xxxxded31103 311034)e(43xx .e1e4332 补充题例补充题例.d )(31,e10,)( 303xxfxxxxfx 计计算算，设设函函数数例例4 4 求定积分求定积分130(sin2)xxedx解解1301130011300(sin2)sin212sin33xxxxedxxdxe dxxd xe d x1310030312cos|312(coscos0)()32