幂级数测试题汇编

1、第十四章幕级数工吐2单选题：1设幕级数二的收敛半径为 R -则下列断语中正确的是(A ) 一 -在上一致收敛。(B) 在I -二 匕1内某些点处非绝对收敛。* a(C) 二的收敛半径大于 /。r>0,(D )对任意的二 ，在一：尸上一致收敛。2。若幕级数二. 在/ 处收敛，在-处发散，则该级数(C)收敛区间为(-，；(D)3 幕级数级数的收敛域是(A)(B)(C)(D)4. 若幕级数的收敛半径为 R,那么(A)tai宜(D) _ 一 ；不一定存在5如果I能展开成 的幕级数，那么该幕级数(A)是-、丄的麦克劳林级数；(B)不一定是"的麦克劳林级数;更多精品文档(C) 不是 /W

2、的麦克劳林级数;(D) 是 /W 在点'处的泰勒级数。Inn6.如果，则幂级数二(A)当(B) 当(C) 当1_时，发散;(D)当7.设级数匚在'处是收敛的，则此级数在，.-丨处(A)发散；(C)条件收敛;(B)绝对收敛；(D)不能确定敛散性。三(-1炸-1)”8幕级数匚在其收敛区间的两个端点处A全是发散的.B.全是收敛的C.左端点发散，右端点收敛. D左端点收敛，右端点发散/(X)= -r 岔9.函数一；.展开成的幕级数的方法是=3+(一 3) 31 *二疽(-1)冷-幼(斗2)111召(工-列"八- 十忑 J5311 g /V-3V丄£(-1)屛'

3、;(一3皿)(0*6)10.幕级数的收敛域为-2,2 (Q (-2? 2)(C) (-2f 2卜 2.2) g 松)答案：1 10 DDBDA ADDDA填空题：1.30)在._x. 内收敛，则“应满足乞略(卄12. 设幕级数的收敛半径为2,则级数的收敛区间为.3级数l + X(l-X)+O-X+F(l-Xy+的和函数为4.设二域是是- -等差数列 他0 H则幕级数收敛0p M pM-1L%L 叫*5.，-. 与有相同的6. sin x的幕级数展开式 7. 幕级数只有在 区间内才有和函数.8. 经过逐项微分或逐项积分后幕级数 不变.10.级数"'/'"-&q

4、uot; 丁 I '"I -在区间收敛.(0 <a <1).答案：1.6.4. ( -1, 1)5.收敛区间.r2jy-lA 7.收敛.8.收敛半径.9.(-00 <x< +00)心1计算题P 2 N-1A X1. 求幕级数一的收敛域及和函数2. 求幕级数I的收敛域及和函数3. 求幕级数的收敛半径与收敛域茁+扣法4将函数；'-I： ' - - 1展开为：的幕级数,并指出收敛域5. 求函数：1 '''在x=1处泰勒展开式.6. 设幕级数二 当J时有_ L -：且r -:-求该幕级数的 函数.7. 将展成x的幕级数.

5、8. 求幕级数的和函数.2>+1房9. 试求幕级数一一的收敛区域及和函数10.设.一一，确定T的连续区间，并求积分的值lim答案：1.解因=1,且当二二一时级数都发散，故该级数的收敛域为(-1, 1 ),令金二二/严悴1）北）必二L £朋二z曲H-1打（X）二=冷悴1）壯応也严=12.解：收敛半径+ .,当： 二 时,原级数发散，故原级数的收敛域 为（-1, 1 ）.设其和函数为- 'f二兀呀+DF = x用J2x（密、:J-孟丿(1 - X)3=x J严陽二1+1+丄3. （ 1 ）解记.，由于=1f 气,故收敛半径R=1,收敛区间为（-1, 1 ）当* = 1时,由

6、于陽->00）,故级数发散,所以该级数的收敛域为（-1, 1 ）.limIQ（2 ）解记因为= limI严212-KOx<l= 1X > 1所以收敛半径R=1,收敛域为-1, 1 .4.解v /(x) = ln(l+a+x1 +x3 +x+) =ln1-?17E)ln (1 - z) = x+ +* + 而'=ln(l-x)I 23ln(l-z5)=-(,x100X +，+ 一 + + .23 n*&尺V -I乞送f花而级数二、与二的收敛域都是-1, 1 ,故当 上-1时ln(l+x+a?+? + x4) = ln0-x5) - ln(l - x)十105s5

7、 AA7i + F+ +xa於X + + 十2n2n5.解因门) = 8, f(l)二(2-跆门1)*8+42机广34,广(1) = 42,严旳(论4)J(M = 8+廿(1) +17(兀-1)" + 7(1) x e (_oo,+do).S（R二£曲 %） = 2叫严6.设和函数贝U-羽(X)=匕灾- 产二二也严=二诃=SR-lZn-0即二0, S(0)二坷二4, &(0)二兔二1.rt/ S(X)二一应"X解上述关于、匚的二阶微分方程，得117. 解易看出 - f 而劇=zl+H + ）二 x+ -1II 2!II 2!.v . 2x 3x二同+1 也

8、/W = 1+ + = 1+Xrx ' xe（-oa,+m）两边求导，得-8. 级数的和函数为跑）仝（一1）叫三） 厂»-1nU弘S-1送(-1)叫严鬼1X（I） _z ir9. 由于级数在-L上收敛，所以当 _ '丨.时，有航卜 i>+i）八 2x+fxf ©、10. 因为幕级数的收敛域是，所以/W 在：1上的连续，且可逐项积分。讥庖加)*也证明题：1.设"丁在y jpw+1M uR内收敛，若屯沟+1 也收敛，则2.设f为幂级数在(-R, R )上的和函数，若f为奇函数,则原级数仅出现奇次幂 的项,若f为偶函数,则原级数仅出现偶次幂的项.3

9、. 设函J 定沁0,1上，证明它在 (0, 1 )满足下述方程:/W+/(l-)+ln 朮(1 - M = 了 (1)4.设；S 雹一丄；严二一证明当时,级数匚收5.设幕级数V-.的收敛半径分别为 R“ R】 ，设敛。证明：当0-时，幂级数1 *绝对收6.设其中_ 2«-17.设门-,'八,：三卜-.时，*二满足方程2b-1 A2n-ljn = t 2,)曲)=u>。证明：当bf 二卩。y aK x茁8.若幕级数二 的收敛半径为 R（0）,且在二 上（或时收敛，贝y级数在0, R（或-R, 0 ）上一致收敛9. 设函数 /W 在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数M,对

10、一切心讯）,有12,证明:对（讹）内任一点x与対有y = y 10. 证明： 二 满足方程. 1 - 1.答案:1.证明:因为当恥血音求收敛,有J；jW( =df = £ 寻严,X e (-R, R)'诅sj +1又当 u尸时，二 收敛，从而可知 二八 在u尸左连续，于a-0=y A.+1Zo« + 1T/（"二宓才（WJ?）：（7）二另卜F （忖関2.，.,. - J当U为奇函数时，有H比川，从而+（T）%口（心2）0加=0 （#12），加二以卜1严悴旳这时必有当为偶函数时，有了-了（-力二0（|祇& ：叫-（-1九=0, （»=121

11、-）htr-l - 0（丘-1 2*），此式当且仅当:临二以'.-1 .3证明：设则m=/V）- r（i-x）+lin（i-x）-AinxX1-x0=z所以irF（g故】二上：丄-匚 / -1 . 0<x<1.4. 因为:气_丄；1-和彳_屿+勾严_ 2所以-'"-, >."；,limN<2 茲严 心取极限得到 】,从而级数匚的收敛半径j收敛.5. 对于任意X <氏，由于XE（-R, E）, XE （-览，Rj所以，；绝对收敛。又仏+处* X|+|V所以”丄J绝对收敛。/ F V4 V5 Ing）十亍亍亍+亍x3x3x*FX - | I. r.2345In(1+力、r = L/35AAX +(1-刃135丿故IfeIWI2n + l2|厂(2旳 +12)lim 蝕二17.由于'J ,，幕级数的收敛半径是1 ,所以当-1；时，:可微,h 釘 f Pm 2»-l Pc 2«+l故=2尙兀+2（«a課-（«- 1加）产if£rW,气i2«-li p 加竝二甸x+乙轴“=甸兀+乙陽兀=恥）即I .；满足方程。ix#8.证明：设级数二在二 上时收敛，对于匕U-Q.有.-I=-r 2一 >已知级数- 收敛,函数列致