河北省安平中学2026届高三上学期暑假作业测试数学试卷（含答案）

/河北省安平中学2025-2026学年高三年级上学期暑假作业测试数学试题一、单选题1．已知向量，，若与共线，则（

）A．3 B． C． D．2．已知两个随机事件A，B相互独立，，则（

）A．0.68 B．0.76 C．0.88 D．0.983．在△ABC中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC的面积等于（

）A． B． C． D．4．如图，在平行六面体中，，，，则（

）A．12 B．8 C．6 D．45．已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为（

）A． B． C． D．6．给出下列命题，其中正确的是（

）A．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为B．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C．平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2D．向量在向量上的投影向量的模长为7．如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．二、多选题8．已知复数，则下列结论正确的有（

）A．的虚部是 B．的共轭复数是C．在复平面内对应的点在第一象限 D．9．在中，角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的有（

）A．若，则一定是直角三角形B．若，则为钝角三角形C．若，则D．是的充要条件三、填空题10．温州轻轨S2号线从汀田站到机场共8个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：，则这组数据的上四分位数为______．11．已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________．12．已知，，，则的最小值为_______．四、解答题13．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.(1)求AC；(2)求.14．某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了80名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[60,70）160.2[70,80）50n[80,90）10p[90,100]40.05合计801

(1)求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值；(2)如果用分层抽样的方法，从样本成绩在和的学生中共抽取5人，再从这5人中选2人，求这2人的成绩在的概率.15．如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，，点为的中点，是等边三角形，.

(1)求证:平面；(2)求二面角的大小；(3)求直线与平面所成角的正弦值.参考答案1．D【详解】因为向量，，与共线，所以，解得，故选：D.2．C【详解】事件，相互独立，，，;.3．B【详解】在中，已知，，，利用正弦定理得：，解得：，，，则：，故选：B．4．B【详解】故选：B5．C【详解】已知，则，展开得，整理得2a→⋅b.由于不共线，因此夹角为.6．D【详解】对于A，因为，又为的一个方向向量，则点到直线的距离，故A错误；对于B，因为即共面，不能作为空间的一个基底，故B错误；对于C，因为四边形为平行四边形，，又，，，，因为在空间四边形中，与成角，或，又，，当时，，，即此时两点间的距离为；当时，，，即此时两点间的距离为，综上所述，两点间的距离为或，故C错误；对于D，因为向量，所以，所以向量在向量上的投影向量为：a⃗cosa所以向量在向量上的投影模长为：，故D正确.7．A【详解】设是的中点，连接，由于，所以，所以是二面角的平面角，所以，由得.在中，，在中，，在中，由余弦定理得：，所以，由于，所以两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为.设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为，故选：A.8．BCD【详解】已知复数，先化简：.A：的虚部为，不是，A错误.B：的共轭复数，B正确.C：对应复平面内点，在第一象限，C正确.D：，，，所以，D正确.9．BCD【详解】对于A：当时，，此时是直角三角形；当时，，此时不是直角三角形，故A错误；对于B：因为，则，即，所以，又，所以，即为钝角，故为钝角三角形，即B正确；对于C：设，，所以，，故，即，又，，所以，故C正确；对于D：由于在上为减函数且，知，故是的充要条件，即D正确.10．【详解】先排序：，上四分位数即第百分位数，因为，所以这组数据的第百分位数为第两个数的平均数，即为.11．/【详解】由题意知正四棱台的上底面为边长的正方形，面积；下底面为边长的正方形，面积，其对角面为上、下底分别是和，腰为的等腰梯形，如图所示，其中，，，侧棱长、棱台的高、上下底面中心到对应顶点的距离之差构成直角三角形，由勾股定理得：，代入棱台体积公式，即.12．【详解】不妨设，则，则，因为，所以，当时，有最小值，最小值为.13．(1)(2)【详解】（1）因为的面积为，所以.又因为，，所以.由余弦定理得，，，所以.（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.14．(1)，，；(2).【详解】（1）依题意，，，.（2）样本成绩在和的学生的人数之比为，因此抽取5人中成绩在的有4人，记这4人为，成绩在的有1人，记为，从这5人中任选2人，有，共10个结果，其中这2人成绩均在内有，共6个，所以这2人成绩均在内的概率为.15．(1)如图，因为，点为的中点，所以，所以，又因为是等边三角形，所以，所以，所以，因为平面，所以平面；(2)(3)【详解】（1）略（2）取的中点为，因为是等边三角形，所以，取，因为，所以四边形是平行