一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)答案

1、.1如图 1，已知直线y=2x+2 与 y 轴、 x 轴分别交于A、B 两点，以 B 为直角顶点在第二象限作等腰RtABC（ 1）求点 C 的坐标，并求出直线 AC 的关系式（ 2）如图 2，直线 CB交 y 轴于 E，在直线 CB上取一点 D，连接 AD，若 AD=AC，求证：BE=DE（3）如图 3，在（ 1）的条件下，直线 AC交 x 轴于 M，P（，k）是线段BC 上一点，在线段 BM 上是否存在一点N，使直线 PN 平分 BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由考点：一次函数综合题。分析：（ 1）如图 1，作 CQ x 轴，垂足为 Q，利用等腰直角三角形的性质

2、证明ABO BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ 的长，确定 C点坐标；（ 2）同（ 1）的方法证明 BCH BDF，再根据线段的相等关系证明BOE DGE，得出结论；（3）依题意确定 P 点坐标，可知 BPN 中 BN 变上的高，再由S，求 BN，进而PBN=S BCM得出 ON解答：解：（ 1）如图 1，作 CQ x 轴，垂足为Q， OBA+ OAB=90°， OBA+ QBC=90°， OAB= QBC，又 AB=BC， AOB= Q=90°， ABO BCQ， BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3， CQ=OB=1， C（ 3， 1），由 A（ 0，

3、2）， C（ 3， 1）可知，直线AC： y=x+2；（ 2）如图 2，作 CH x 轴于 H， DFx 轴于 F， DG y 轴于 G，AC=AD， AB CB，BC=BD， BCH BDF，BF=BH=2，OF=OB=1，DG=OB， BOE DGE，BE=DE；;.（3）如图 3，直线 BC：y=x， P（， k）是线段BC上一点，P（，），由 y= x+2 知 M（ 6，0）， BM=5，则 SBCM= 假设存在点N 使直线 PN 平分 BCM 的面积，则BN?=×， BN= ， ON= ，BN BM，点 N 在线段 BM 上，N（， 0）点评：本题考查了一次函数的综合运用

4、关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解2如图直线 ?：y=kx+6 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B、C，点 B 的坐标是（ 8，0），点 A 的坐标为（ 6， 0）（1）求 k 的值（2）若 P（ x，y）是直线 ? 在第二象限内一个动点，试写出OPA的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围（3）当点 P 运动到什么位置时，OPA的面积为9，并说明理由考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。专题：动点型。分析：（ 1）将 B 点坐标代入y=kx+6 中，可求k 的值；（2）用 OA 的长， y 分别表示 OPA的

5、底和高， 用三角形的面积公式求S 与 x 的函数关系式；（3）将 S=9 代入（ 2）的函数关系式，求x、y 的值，得出P 点位置;.解答：解：（ 1）将 B（ 8，0）代入 y=kx+6 中，得 8k+6=0，解得 k=；（ 2）由（ 1）得 y= x+6，又 OA=6，S= ×6×y=x+18，（ 8 x 0）；（ 3）当 S=9 时， x+18=9，解得 x=4 ，此时 y=x+6=3，P（ 4， 3）点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示3如图 ，过点（ 1，5）和（ 4，2）两

6、点的直线分别与x 轴、 y 轴交于 A、B 两点（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10个（请直接写出结果） ；（2）设点 C（ 4，0），点 C 关于直线AB 的对称点为D，请直接写出点D 的坐标（ 6，2）；（ 3）如图 ，请在直线 AB 和 y 轴上分别找一点 M 、N 使 CMN 的周长最短，在图 中作出图形，并求出点 N 的坐标考点：一次函数综合题。分析：（1）先利用待定系数法求得直线AB 的解析式为y= x+6；再分别把x=2、3 、4、5 代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；（

7、 2）首先根据直线 AB 的解析式可知 OAB 是等腰直角三角形， 然后根据轴对称的性质即可求出点 D 的坐标；（ 3）作出点 C 关于直线 y 轴的对称点 E，连接 DE交 AB 于点 M，交 y 轴于点 N，则此时 CMN的周长最短由D、 E 两点的坐标利用待定系数法求出直线DE 的解析式，再根据y 轴上点的坐标特征，即可求出点N 的坐标解答：解：（ 1）设直线AB 的解析式为y=kx+b，把（ 1， 5），（4， 2）代入得，kx+b=5，4k+b=2，解得 k= 1， b=6，;.直线 AB 的解析式为y= x+6；当 x=2， y=4；当 x=3， y=3；当 x=4， y=2；当

8、x=5， y=1图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：（1， 1），（ 1，2），（ 1， 3），（ 1， 4），（2， 1），（ 2，2），（ 2， 3），（3， 1），（ 3，2），（4， 1）一共 10 个；（ 2）直线 y= x+6 与 x 轴、 y 轴交于 A、 B 两点，A 点坐标为（ 6， 0），B 点坐标为（ 0，6），OA=OB=6， OAB=45°点 C 关于直线 AB 的对称点为 D，点 C（ 4， 0），AD=AC=2， ABCD， DAB= CAB=45°， DAC=90°，点 D 的坐标为（ 6， 2）；（3）作出点 C 关于直线 y

9、 轴的对称点 E，连接 DE交 AB 于点 M ，交 y 轴于点 N，则 NC=NE，点 E（ 4， 0）又点 C 关于直线AB 的对称点为D， CM=DM， CMN 的周长 =CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此时周长最短设直线 DE 的解析式为y=mx+n把 D（ 6，2）， E（ 4， 0）代入，得6m+n=2， 4m+n=0，解得 m=， n=，直线 DE 的解析式为y=x+ 令 x=0，得 y= ，点 N 的坐标为（ 0，）故答案为 10；（ 6， 2）;.点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式， 横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称最短路线问题，

10、综合性较强，有一定难度4若直线y=mx+8 和 y=nx+3 都经过 x 轴上一点B，与 y 轴分别交于A、 C（ 1）填空：写出 A、 C 两点的坐标， A （ 0， 8） ， C （ 0， 3） ；（ 2）若 ABO=2CBO，求直线 AB 和 CB的解析式；（ 3）在（ 2）的条件下若另一条直线过点 B，且交 y 轴于 E，若 ABE 为等腰三角形，写出直线 BE的解析式（只写结果） 考点：一次函数综合题。分析：（ 1）由两条直线解析式直接求出A、C 两点坐标；（2）由直线y=mx+8 得 B（， 0），即 OB= ，而 AO=8，利用勾股定理求AB，根据角平分线性质得比例求m 的值，再

11、根据直线BC 与 x 轴的交点为B 求 n 即可；（3）根据（ 2）的条件，分别以A、 B 为圆心， AB 长为半径画弧与y 轴相交，作AB 的垂直平分线与 y 轴相交，分别求交点坐标解答：解：（ 1）由直线 y=mx+8 和 y=nx+3 得 A（ 0， 8）， C（ 0， 3），故答案为：（ 0， 8），（ 0， 3）；（ 2）令直线 y=mx+8 中 y=0，得 B（ ，0），即 OB= ，又 AO=8，AB=8， ABO=2 CBO，;.=，即24=5×，解得 m=，又由 y=nx+3 经过点 B，得=，解得 n=，直线 AB： y=x+8，直线 CB： y=x+3；（3）由

12、（ 2）可知 OB=6，AB=10，当ABE为等腰三角形时，直线 BE的解析式为：y=3x+18 或 y=x 2 或 y=x 8 或 y=x+点评： 本题考查了一次函数的综合运用关键是根据题意求出点的坐标，根据图形的特殊性利用比例，勾股定理求一次函数解析式5如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， P（ x， y），PA x 轴于点 A， PBy 轴于点B， C（ a，0），点 E 在 y 轴上，点 D， F 在 x 轴上， AD=OB=2FC，EO 是 AEF 的中线， AE 交 PB 于点 M， x+y=1（ 1）求点 D 的坐标；（ 2）用含有 a 的式子表示点 P 的坐标；（ 3）

13、图中面积相等的三角形有几对？考点：一次函数综合题；列代数式；点的坐标；三角形的面积。分析：（ 1）根据 P 点坐标得出A，B 两点坐标，进而求出x+y=DO，即可得出DO 的长，即可得出 D 点坐标；（2）利用 C 点坐标得出CO的长，进而得出y 与 a 的关系式，即可得出P 点坐标；（ 3）利用三角形面积公式以及 AO 与 FO 的关系，进而得出等底等高的三角形解答：解：（ 1） P（ x，y）， PA x 轴于点 A， PB y 轴于点 B，A（x， 0），B（ 0，y），即： OA= x， BO=y，AD=BO， x DO=y， x+y=DO，又 x+y=1，;.OD=1，即：点D 的坐

14、标为（ 1， 0）（2） EO 是AEF的中线，AO=OF= x，OF+FC=CO，又 OB=2FC= y， OC=a， x=a，又 x+y=1， y=1a，y=，x=，P（，）；（3）图中面积相等的三角形有3 对，分别是： AEO与 FEO， AMO 与 FBO，OME 与 FBE点评：此题主要考查了三角形面积求法以及点的坐标求法和坐标系中点的坐标与线段长度关系，根据已知得出y=1 a 是解题关键6如图，在平面直角坐标系中， 直线 l 经过点 A（ 2， 3），与 x 轴交于点 B，且与直线平行（1）求：直线l 的函数解析式及点B 的坐标；（2）如直线l 上有一点 M （ a， 6），过点

15、M 作 x 轴的垂线，交直线于点 N，在线段 MN 上求一点P，使 PAB是直角三角形，请求出点P的坐标;.考点：一次函数综合题。分析：（ 1）设直线l 的解析式为： y=kx+b，因为直线l 与直线平行，所以k=3，又直线 l 经过点 A（2， 3），从而求出 b 的值，进而直线 l 的函数解析式及点 B 的坐标可求出；（2）点 M （ a， 6）在直线 l 上，所以可先求出 a 的值，再分别分：当 AB 为斜边时；当PB 为斜边时；当PA为斜边时，进行讨论求出满足题意的P 点的坐标即可解答：解：（ 1）设直线l 的解析式为y=kx+b（k0），直线 l 平行于 y=3x， k=3，直线 l

16、 经过点 A（2， 3）， 3=2×3+b， b= 9，直线 l 的解析式为y=3x 9，点 B 坐标为（ 3， 0）；（ 2）点 M（ a， 6）在直线 l 上，a=1，则可设点 P（ 1， y）， y 的取值范围是6y，当 AB 为斜边时， PA2+PB2=AB2，即 1+（ y+3） 2+4+y2=10，解得 y1= 1， y2= 2， P（ 1， 1），P（1， 2），当 PB 为斜边时， PA2+AB2=PB2，即 1+（ y+3） 2+10=4+y2，解得 y=，当 PA为斜边时， PB2+AB2=PA2，即 10+4+y2=1+（y+3） 2，解得 y= ，（舍去），综

17、上所述，点P 的坐标为 P1（ 1， 1 ）， P2 （1， 2）， P3点评：本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式和一次函数与几何图形（直角三角形）;.问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，从已知函数图中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题7已知如图，直线y=x+4与 x 轴相交于点A，与直线y=x 相交于点P（ 1）求点 P 的坐标；（ 2）求 SOPA的值；（ 3）动点 E 从原点 O 出发，沿着 OPA 的路线向点 A 匀速运动（ E 不与点 O、 A 重合），过点 E 分别作 EF x 轴于 F， EB y 轴于 B设运动 t 秒时， F 的坐标

18、为（ a， 0），矩形 EBOF与OPA重叠部分的面积为S求： S 与 a 之间的函数关系式考点：一次函数综合题。分析：（ 1） P 点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标（ 2）把 OA 看作底， P 的纵坐标为高，从而可求出面积（ 3）应该分两种情况，当在 OP 上时和 PA 时，讨论两种情况求解解答：解：（ 1）x+4=xx=3，y=所以 P（ 3，）（ 2） 0= x+4 x=44××=2故面积为 2（3）当 E点在 OP 上运动时，F 点的横坐标为a，所以纵坐标为a，S=a?a×a?a=a2当点 E 在 PA 上运动时，;.F 点的横坐标为

19、a，所以纵坐标为a+4 S=（a+4） a （a+4） a= a2 +2 a点评： 本题考查一次函数的综合应用，关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标，横纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标8如图，将边长为4 的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB 边落在 x 轴正半轴上，且 A 点的坐标是（1， 0）（1）直线经过点 C，且与 x 轴交于点 E，求四边形 AECD的面积；（2）若直线 l 经过点 E，且将正方形 ABCD分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式；（ 3）若直线 l1 经过点 F（ ）且与直线 y=3x 平行将（ 2）中直线 l 沿

20、着 y 轴向上平移 1 个单位，交 x 轴于点 M，交直线 l1 于点 N，求 NMF 的面积考点： 一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；平移的性质。专题：计算题。分析：（ 1）先求出E 点的坐标，根据梯形的面积公式即可求出四边形AECD的面积；（2）根据已知求出直线 1 上点 G 的坐标，设直线 l 的解析式是 y=kx+b，把 E、 G 的坐标代入即可求出解析式；（3）根据直线l1 经过点 F（）且与直线y=3x 平行，知k=3，把 F 的坐标代入即可求出 b 的值即可得出直线 11，同理求出解析式 y=2x3，进一步求出 M 、N 的坐标，利用三角形的

21、面积公式即可求出 MNF 的面积解答：解：（ 1），当 y=0 时， x=2，E（ 2， 0），由已知可得： AD=AB=BC=DC=4， ABDC，四边形 AECD是梯形，四边形AECD的面积 S= ×（ 2 1+4） ×4=10，答：四边形AECD的面积是10;.（ 2）在 DC上取一点 G，使 CG=AE=1，则S梯形AEGD=S梯形，tEBCGG 点的坐标为（4，4），设直线 l 的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：，即： y=2x 4，答：直线l 的解析式是y=2x4（3）直线 l1 经过点 F（）且与直线 y=3x 平行，设直线 11 的解析式是 y1=kx

22、+b，则： k=3，代入得： 0=3×（ ） +b，解得： b= ，y1=3x+已知将（ 2）中直线 l 沿着 y 轴向上平移 1 个单位，则所得的直线的解析式是y=2x 4+1，即： y=2x 3，当 y=0 时， x= ，M（，0），解方程组得：，即： N（， 18），SNMF = ×（） ×|18|=27 答： NMF 的面积是27;.点评： 本题主要考查了一次函数的特点， 待定系数法求一次函数的解析式， 一次函数图象上点的特征， 平移的性质等知识点， 解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析式9如图，直线y=x+6 与 x 轴、 y 轴分别相交于

23、点E、F，点 A 的坐标为（ 6，0），P（ x， y）是直线 y=x+6 上一个动点（1）在点 P 运动过程中，试写出OPA的面积 s 与 x 的函数关系式；（2）当 P 运动到什么位置，OPA 的面积为，求出此时点P 的坐标；（3）过 P 作 EF的垂线分别交x 轴、 y 轴于 C、D是否存在这样的点P，使 COD FOE？若存在，直接写出此时点P 的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由考点：一次函数综合题； 解二元一次方程组； 待定系数法求一次函数解析式； 三角形的面积；全等三角形的判定。专题：计算题；动点型。分析：（ 1）求出 P 的坐标，当P 在第一、二象限时，根据三角形的

24、面积公式求出面积即可；当 P 在第三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可；（2）把 s 的值代入解析式，求出即可；（3）根据全等求出OC、 OD 的值，如图 所示，求出C、 D 的坐标，设直线CD 的解析式是 y=kx+b，把 C（ 6， 0）， D（ 0， 8）代入，求出直线CD 的解析式，再求出直线CD 和直线 y=x+6 的交点坐标即可；如图 所示，求出C、 D 的坐标，求出直线CD 的解析式，;.再求出直线CD 和直线 y=x+6 的交点坐标即可解答：解：（ 1） P（ x，y）代入 y=x+6 得： y=x+6，P（ x，x+6），当 P 在第一、二象限时，OPA的面积是s=

25、OA×y= ×| 6| ×（x+6） =x+18（ x 8）当 P 在第三象限时，OPA 的面积是s= OA×（ y）=x 18（ x 8）答：在点 P 运动过程中， OPA的面积 s 与 x 的函数关系式是 s= x+18（x 8）或 s= x 18（ x 8）解：（ 2）把 s=代入得：= +18 或=x 18，解得： x=6.5 或 x=6（舍去），x= 6.5 时， y= ，P 点的坐标是（6.5，）（3）解：假设存在P 点，使 COD FOE， 如图所示： P 的坐标是（，）；;. 如图所示：P 的坐标是（，）存在 P 点，使 COD FOE，

26、 P 的坐标是（，）或（，）点评： 本题综合考查了三角形的面积，解二元一次方程组，全等三角形的性质和判定，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，此题综合性比较强，用的数学思想是分类讨论思想和数形结合思想，难度较大，对学生有较高的要求10如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B，与直线OC：y=x 交于点 C（ 1）若直线 AB 解析式为 y= 2x+12， 求点 C 的坐标； 求OAC的面积（2）如图，作 AOC的平分线ON，若 AB ON，垂足为 E，OAC的面积为6，且 OA=4，P、Q 分别为线段 OA、OE上的动点，连接 AQ 与 PQ，试探索 AQ

27、+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由考点：一次函数综合题。专题：综合题；数形结合。;.分析：（ 1） 联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C 的坐标 欲求 OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A 和点 C 的坐标即可，点C 的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A 的坐标，代入面积公式即可（ 2）在 OC 上取点 M，使 OM=OP，连接 MQ ，易证 POQ MOQ，可推出 AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得 AQ+PQ 存在最小值，即使得 A、Q、M 三点共线，又 AB OP，可得 AEO= CEO，即证 AEO CEO（ ASA），又 OC=OA=4，

28、利用 OAC 的面积为 6，即可得出 AM=3 ， AQ+PQ存在最小值，最小值为3解答：解：（ 1） 由题意，（2 分）解得所以 C（ 4，4）（ 3 分） 把 y=0 代入 y=2x+12 得， x=6，所以 A 点坐标为（ 6， 0），（4 分）所以（6分）（2）存在；由题意，在OC 上截取 OM=OP，连接 MQ ，OP 平分 AOC， AOQ=COQ，又 OQ=OQ， POQ MOQ（ SAS），（7 分）PQ=MQ，AQ+PQ=AQ+MQ，当 A、 Q、 M 在同一直线上，且 AM OC 时， AQ+MQ 最小即 AQ+PQ存在最小值AB OP，所以 AEO= CEO， AEO C

29、EO（ ASA），OC=OA=4， OAC的面积为 6，所以 AM=2×6÷4=3，AQ+PQ 存在最小值，最小值为3（9 分）点评： 本题主要考查一次函数的综合应用， 具有一定的综合性， 要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度;.11已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点 M 从 A 点出发，以每秒一个单位长度的速度沿 AB 向点 B 运动，同时动点 N 从 C 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 CO向 O 点运动当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动（ 1）求 B 点坐标；（ 2）设运动时

30、间为 t 秒； 当 t 为何值时，四边形OAMN 的面积是梯形OABC面积的一半； 当 t 为何值时，四边形OAMN 的面积最小，并求出最小面积； 若另有一动点P，在点 M、 N 运动的同时，也从点A 出发沿 AO 运动在 的条件下，PM+PN 的长度也刚好最小，求动点P 的速度考点：一次函数综合题；勾股定理；轴对称-最短路线问题。专题：动点型；待定系数法。分析：（ 1）由题意可以先构造矩形OABD，然后根据勾股定理进行求解；（2）是动点型的题要设好未知量： AM=t ， ON=OC CN=22 2t，根据四边形 OAMN 的面积是梯形 OABC 面积的一半，列出等式求出 t 值； 设四边形

31、OAMN 的面积为 S，用 t 表示出四边形 OAMN 的面积，根据二次函数的性质求出最值； 由题意取 N 点关于 y 轴的对称点 N，连接 MN交 AO 于点 P，此时 PM+PN=PM+PN =MN 长度最小，表示出点 M ，N，N的坐标，设直线 MN的函数关系式为 y=kx+b，最后待定系数法进行求解解答：解：（ 1）作 BD OC于 D，则四边形OABD是矩形，OD=AB=10，CD=OC OD=12，OA=BD=9，B（ 10，9）；（ 2） 由题意知： AM=t ， ON=OC CN=22 2t，四边形 OAMN 的面积是梯形 OABC面积的一半， t=6 ， 设四边形OAMN 的

32、面积为S，则，0t10，且 s 随 t 的增大面减小，当 t=10 时， s 最小，最小面积为54;. 如备用图，取 N 点关于 y 轴的对称点 N，连接 MN交 AO 于点 P，此时 PM+PN=PM+PN=MN 长度最小当 t=10 时， AM=t=10=AB ， ON=22 2t=2，M （ 10，9）， N（ 2， 0），N（ 2， 0）；设直线 MN的函数关系式为y=kx+b，则，解得，P（ 0，），AP=OA OP=，动点 P 的速度为个单位长度 / 秒点评： 此题是一道综合题， 难度比较大， 考查了勾股定理的应用和待定系数法求函数的解析式，动点型的题是中考的热点，平时要多加练习，

33、注意熟悉这方面的题型12如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线 AP 交 x 轴于点 P（ p，0），交 y 轴于点 A（0，a），且 a、 b 满足（ 1）求直线 AP 的解析式；（ 2）如图 1，点 P 关于 y 轴的对称点为 Q， R（ 0，2），点 S 在直线 AQ 上，且 SR=SA，求直线 RS的解析式和点 S 的坐标；（3）如图 2，点 B（ 2，b）为直线 AP 上一点，以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，点 C 在第一象限， D 为线段 OP 上一动点，连接 DC，以 DC为直角边，点 D 为直角顶点作等腰三角形 DCE，EF x 轴， F 为垂足，下列结论：2DP+EF 的值不变； 的值不变；其;.中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值考点：一次函数综合题；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；关于x 轴、 y 轴对称的点的坐标。专题：代数几何综合题；动点型。分析：（ 1）根据非负数的性质列式求出a、 p