二元一次方程组应用题经典题(3)

1、.实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知” 转化为 “已知” 的重要方法， 它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2) 同类量的单位要统一；(3) 方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段 ,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程；(2) 相遇问题 :相遇问题也是行程

2、问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。(3) 航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度；船在静水中的速度水速船的逆水速度；顺水速度逆水速度2×水速。注意： 飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2工程问题： 工作效率×工作时间=工作量 .3商品销售利润问题：(1) 利润售价成本(进价 ) ；(2)； (3)利润成本（进价）×利润率；(4) 标价成本 (进价 )× (1利润率 )； (5) 实际售价标价×

3、;打折率；注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4储蓄问题：(1) 基本概念本金：顾客存入银行的钱叫做本金。利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。本息和：本金与利息的和叫做本息和。期数：存入银行的时间叫做期数。利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。利息税：利息的税款叫做利息税。(2) 基本关系式利息本金×利率×期数本息和本金利息本金本金×利率×期数本金×(1利率×期数)利息税利息×利息税率本金&#

4、215;利率×期数×利息税率。;.税后利息利息×(1 利息税率 ) 年利率月利率×12 。注意： 免税利息 =利息5配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。6增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1增长率 )增长后的量；原量× (1减少率 )减少后的量 .7和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量较小量多余量，总量倍数×倍量.8数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n 为整数时，奇数可表示为2n+1( 或 2n-1

5、) ，偶数可表示为2n 等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数 =十位数字10+个位数字9浓度问题： 溶液质量×浓度=溶质质量 .10几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11年龄问题： 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。注意： 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用

6、二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1审题 :弄清题意及题目中的数量关系；2设未知数 :可直接设元，也可间接设元；3找出题目中的等量关系；4列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组； 5解所列的方程组，并检验解的正确性；6写出答案 .要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2) “设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3) 一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.(4) 列方程组解应用题应注意的问题弄清各种题型中基本量之间的关系；审题时，注意从

7、文字，图表中获得有关信息；注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；列方程组解应用题一定要注意检验。;.类型一：列二元一次方程组解决 行程问题1甲、乙两地相距160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20分相遇 .相遇后， 拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨： 画直线型示意图理解题意：(1) 这里有两个未知数：汽车的行程；拖

8、拉机的行程.(2) 有两个等量关系：相向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程160 千米 ;同向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程 .解： 设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米 .根据题意，列方程组解这个方程组，得:.答：汽车行驶了165 千米，拖拉机行驶了85 千米 .总结升华： 根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。四、行程问题例 4在某条高速公路上依次排列着A 、B 、 C 三个加油站，A 到 B 的距离为120 千米， B 到 C 的距离也是 120 千米 分别在 A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯

9、罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场， 正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去， 结果往 B 站驶来的团伙在1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、 y 千米 /时，则;.3xy 120xy40x80xy，整理，得xy，解得y40，120120因此，巡逻车的速度是80 千米 /时，犯罪团伙的车的速度是40 千米 /时点评： “相向而遇 ”和 “同向追及 ”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种

10、题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇 ”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及 ”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离【变式 1】甲、乙两人相距36 千米，相向而行，如果甲比乙先走2 小时，那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走2 小时，那么他们在甲出发3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？【变式 2】两地相距280 千米，一艘船在其间航行，顺流用14 小时，逆流用20 小时，求船在静水中的速度和水流速度。类型二：列二元一次方程组解决 工程问题2一家商店要进行装修，若请甲、 乙

11、两个装修组同时施工，8 天可以完成， 需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可完成，需付两组费用共3480 元，问： (1) 甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2) 已知甲组单独做需12 天完成，乙组单独做需24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？思路点拨： 本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520 元；第二层含义：若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可完成，需付两组费用共3480 元。设甲组单独做一天商店应付x 元，乙组单独做一天商店应付y 元，由第一层含义可得方程8

12、（x+y） =3520, 由第二层含义可得方程6x+12y=3480.解： (1) 设甲组单独做一天商店应付x 元，乙组单独做一天商店应付y 元，依题意得：;.解得答：甲组单独做一天商店应付300 元，乙组单独做一天商店应付140 元。(2) 单独请甲组做，需付款300×12 3600 元，单独请乙组做，需付款24× 1403360 元，故请乙组单独做费用最少。答：请乙组单独做费用最少。总结升华： 工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为 1，也可设为 a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。六、工

13、程问题例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的4 ；现在5工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200 套，这样不仅比规定时间少用1 天，而且比订货量多生产25 套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x 套，要求的期限是 y 天，依题意，得150y4 xx33755，解得.200 y1x 25y18点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即 “工作量 =工作时间 ×工作效率 ”以及它们的

14、变式 “工作时间 =工作量 ÷工作效率， 工作效率 =工作量 ÷工作时间 ”其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用 “1”示总工作量表【变式】 小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱5.2 万元；若甲公司单独做4 周后，剩下的由乙公司来做，还需9 周完成，需工钱4.8 万元 . 若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.类型五：列二元一次方程组解决 生产中的配套问题三、配套问题例 3某厂共有120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25 个或螺母20 个，如果一个螺栓与两个;.螺母配成一套，那

15、么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2= 每天生产的螺母数×1因此，设安排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺栓25个，螺母20个，依题意，得xy120，解之，得x2050x220yy1100故应安排20 人生产螺栓， 100人生产螺母点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力， 使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，

16、其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（ 1） “二合一 ”问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么甲产品数的倍等于乙产品数的甲产品数乙产品数倍，即；ab（ 2） “三合一 ”问题：如果甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，那么各种产品数应满足甲产品数乙产品数丙产品数的相等关系式是：abc5某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或衣袖5 只 .现计划用 132 米这种布料生产这批秋装( 不考虑布料的损耗) ，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨： 本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132 米；第二个相等关系的得出要

17、弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2 倍 ( 注意：别把2 倍的关系写反了 ).解： 设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：答：用 60 米布料做衣身，用72 米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华： 生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、;.衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数， 用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒身与

18、两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【变式 2】某工厂有工人60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。【变式 3】一张方桌由1 个桌面、 4 条桌腿组成，如果1 立方米木料可以做桌面50 个，或做桌腿300条。现有 5 立方米的木料， 那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？五、货运问题典例 5 某船的载重量为300 吨，容积为1200 立方米，现有甲、乙两种货

19、物要运，其中甲种货物每吨体积为 6 立方米，乙种货物每吨的体积为2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析： “充分利用这艘船的载重和容积 ”的意思是 “货物的总重量等于船的载重量 ”且 “货物的体积等于船的容积 ”设甲种货物装 x 吨，乙种货物装 y 吨，则xy300xy300x1506x2 y，整理，得3xy，解得y，1200600150因此，甲、乙两重货物应各装150吨点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度 化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或

20、移项、合并同类项等;.类型三：列二元一次方程组解决 商品销售利润问题二、利润问题例 2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10 元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x 元，进价为 y 元，则打九折时的卖出价为 0.9x元，获利 (0.9x-y) 元，因此得方程0.9x-y=20%y ；打八折时的卖出价为0.8x 元，获利(0.8x-y) 元，可得方程0.8x-y=10.0.9xy20% yx200解方程组y，解得y，0.8x10150因此，此商品定价为200 元点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要

21、误为是相对于定价或卖出价利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价 -进价；二是：利润 =进价 ×利润率（盈利百分数） 特别注意 “利润 ”和“利”润率 是不同的两个概念3有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46 元。价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44 元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨 ：做此题的关键要知道：利润进价×利润率解：甲商品的进价为x 元，乙商品的进价为y 元，由题意得：，解得：答：两件商品的进价分别为600 元和 400 元。【变式 1】（2011 湖南衡阳）李大叔去年承包了10 亩

22、地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000 元，其中甲种蔬菜每亩获利2000 元，乙种蔬菜每亩获利1500 元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？;.【变式 2】某商场用36 万元购进 A、 B 两种商品，销售完后共获利6 万元，其进价和售价如下表：AB进价（元 / 件）12001000售价（元 / 件）13801200（注：获利 = 售价 进价）求该商场购进A、 B 两种商品各多少件；类型四： 列二元一次方程组解决 银行储蓄问题4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000 元钱，一种是年利率为 2.25 的教育储蓄，另一种是年利率为2.25 的一年定期存款

23、，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）思路点拨：设教育储蓄存了x 元，一年定期存了y 元，我们可以根据题意可列出表格：解：设存一年教育储蓄的钱为x 元，存一年定期存款的钱为y 元，则列方程：，解得：答：存教育储蓄的钱为1500 元，存一年定期的钱为500 元 .总结升华 :我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了2000 元和 1000 元，一年后

24、全部取出，扣除利息所得税可得利息 43.92 元. 已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税 =利息金额× 20%）;.【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000 元钱 . 第一种，一年期整存整取，共反复存了3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%. 三年后同时取出共得利息303.75 元 ( 不计利息税 ) ，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型六： 列二元一次方程组解决 增长率问题6.某工厂去年的利润（总产值

25、总支出）为200 万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨 ：设去年的总产值为x 万元，总支出为y 万元，则有总产值（万元）总支出（万元）利润（万元）去年xy200今年120%x90%y780根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式。解： 设去年的总产值为x 万元，总支出为y 万元，根据题意得：，解之得：答：去年的总产值为2000 万元，总支出为1800 万元总结升华： 当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析。【变式 1】若条件不变，求今年的

26、总产值、总支出各是多少万元？【变式 2】某城市现有人口 42 万，估计一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增加 1.1%，这样全市人口增加 1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。;.类型七：列二元一次方程组解决 和差倍分问题7. （ 2011 年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共 9 千顶，现某地震灾区急需帐篷 14 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6 倍、 1.5 倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少

27、千顶？思路点拨： 找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x 千顶 , “温暖”帐篷厂生产帐篷y 千顶，由题意得：， 解得：所以： 1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8 千顶 , “温暖”帐篷厂生产帐篷6 千顶 .【变式 1】 (2011年北京门头沟区中考一模试题)“地球一小时”是世界自然基金会在2007 年提出的一项倡议号召个人、社区、企业和政府在每年3 月最后一个星期六20 时 30 分 21 时 30 分熄灯一小时，旨

28、在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活中国内地去年和今年共有119 个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3 倍少 13 个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动【变式 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？;.类型八：列二元一次方程组解决 数字问题一、数字问题例 1 一个两位数， 比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数分

29、析：设这个两位数十位上的数为 x，个位上的数为 y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：10x y x y 9x1解方程组，得，因此，所求的两位数是 1410 y x 10 x y 27y4点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x 的方程一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元 ”，然后列多元方程组解之十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系10x+y10x+y=x+

30、y+原两位数xy910y+x10y+x=10x+新两位数yy+278. 两个两位数的和是 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。思路点拨 ：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。问题 1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100x y问题 2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为：100y x解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。依题意可得：，解得：答：这两个两位数分别为45， 23.【变式 1】一个两位数，减去它的各位数字

31、之和的3 倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？;.【变式 2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？【变式 3】某三位数，中间数字为 0，其余两个数位上数字之和是 9，如果百位数字减 1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。类型九：列二元一次方程组解决 浓度问题9现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3 7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是 4 1，今要得到酒精与水的比为32 的酒精溶液50kg，问

32、甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路点拨： 本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和50；（ 2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比混合后溶液所含纯酒精与水的比。解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取x kg , y kg.依题意得：，答：甲取20kg，乙取 30kg法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10x kg 和 5y kg ，则甲种酒精溶液含水7x kg ，乙种酒精溶

33、液含水y kg ，根据题意得：，所以 10x=20,5y=30.答：甲取20kg，乙取 30kg总结升华 ：此题的第（ 1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了。列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么。有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。举一反三：;.【变式 1】要配浓度是45%的盐水 12 千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？【变式 2】一种 35%的新农药，如稀释

34、到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药 800 千克？类型十：列二元一次方程组解决 几何问题10如图，用8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路点拨 ：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为 y，就可以列出关于x、 y 的二元一次方程组。解：设长方形地砖的长xcm,宽 ycm，由题意得：，答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为 15cm。总结升华： 几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分

35、析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。举一反三：【变式1】用长48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3 厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？【变式 2】一块矩形草坪的长比宽的2 倍多 10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？;.类型十一：列二元一次方程组解决 年龄问题11今年父亲的年龄是儿子的 5 倍， 6 年后父亲的年龄是儿子的 3 倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路点拨： 解本题的关键是理解“6 年后”这几个字的含义，即6 年后父子俩都长了6 岁。今年父亲的年龄是儿子的5 倍， 6 年后父亲的年龄是儿子的3

36、倍，根据这两个相等关系列方程。解：设现在父亲x 岁，儿子y 岁，根据题意得：，答：父亲现在30 岁，儿子 6 岁。总结升华： 解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。【变式 1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一 . 小李发现， 12 年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一 . 试求出今年小李的年龄 .类型十二： 列二元一次方程组解决 优化方案问题：12某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500 元 .当

37、地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16 吨；如果进行细加工，每天可加工 6 吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15 天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？思路点拨： 如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题.本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可

38、行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.解： 方案一获利为：4500 ×140=630000( 元 ).方案二获利为：7500× (6 × 15)+1000 ×(140 6× 15)=675000+50000=725000( 元 ).方案三获利如下：设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得：，解得：所以方案三获利为：7500× 60+4500× 80=810000( 元).因为 630000 725000810000，所以选择方案三获利最多答

39、：方案三获利最多，最多为810000 元。总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，;.再进行比较从中选择最优方案.举一反三：【变式 】某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元。(1) 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案；(2) 若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利 150 元、 200 元、 250 元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？例

40、2（ 2006 年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利（元）100250450现在该公司收购了 140 吨蔬菜， 已知该公司每天能精加工蔬菜6 吨或粗加工蔬菜 16 吨（两种加工不能同时进行）（ 1）如果要求在18 天内全部销售完这140 吨蔬菜，请完成下列表格：销售方式全部直接销全部粗加工后销尽量精加工， 剩余部分直接销售售售获利（元）（ 2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15 天内刚好加工完 140 吨蔬菜，则应如何分配加工时间？解：（ 1）全部直接销售获利为：100×140=14000 （元）；

41、全部粗加工后销售获利为：250×140=35000 （元）；尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450×（6×18） 100×（ 140 6×18）=51800 （元） .（ 2）设应安排 x 天进行精加工，y 天进行粗加工 .由题意，得xy 15,6x16 y140.x10,解得，5.y故应安排10 天进行精加工，5 天进行粗加工.;.【跟踪练习】为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80 元，建新校舍每平方米需700 元 . 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200 平方

42、米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.（ 1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？（ 2）若绿化 1 平方米需 200 元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？答案：（ 1）原计划拆、建面积各是4800 平方米、 2400 平方米；（ 2）可绿化面积为1488 平方米 .课后作业二元一次方程组应用题1. 一次篮、排球比赛，共有48 个队， 520 名运动员参加，其中篮球队每队10 名，排球队每队12 名，求篮、排球各有多少队参赛？2. 某厂买进甲、乙两种材料共56 吨，用去98

43、60 元。若甲种材料每吨190 元，乙种材料每吨160 元，则两种材料各买多少吨？3. 某人用 24000 元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15，乙股票下跌10时卖出，共获利1350 元，试问某人买的甲、乙两股票各是多少元？4. 一次篮、排球比赛，共有48 个队， 520 名运动员参加，其中篮球队每队10 名，排球队每队12 名，求篮、排球各有多少队参赛？5. 某厂买进甲、乙两种材料共 56 吨，用去 9860 元。若甲种材料每吨 190 元，乙种材料每吨 160 元，则两种材料各买多少吨？6. 某人用 24000 元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15，乙股票下跌10时卖出，共获利1350

44、 元，;.试问某人买的甲、乙两股票各是多少元？7. 有甲乙两种债券年利率分别是10%与 12%，现有 400 元债券， 一年后获利 45 元，问两种债券各有多少？8. 种饮料大小包装有 3 种，1 个中瓶比 2 小瓶便宜 2 角，1 个大瓶比 1 个中瓶加 1 个小瓶贵 4 角，大、中、小各买 1 瓶，需 9 元 6 角。 3 种包装的饮料每瓶各多少元？9. 某班同学去18 千米的北山郊游。只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。车行至A 处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站。已知汽车速度是60 千米 / 时，步行速度是4千米 / 时，求 A 点距北山站的距离。10. 一级学生去饭堂开会，如果每 4 人共坐一张长凳，则有 28 人没有位置坐，如果 6 人共坐一张长凳，求初一级学生人数及长凳数11. 两列火车同时从相距 910 千米的两地相向出发， 10 小时后相遇，如果第一列车比第二列车早出发4 小时 20 分，那么在第二列火车出发8 小时后相遇，求两列火车的速度12. 购买甲种图书 10 本和乙种图书 16 本共付款 410 元，甲种图书比乙种图书每本贵 15 元，问甲、 乙两种图书每本各买多少元？13. 甲、乙两人分别从甲、乙两地同时相向出发，在甲超过中点50 米处甲、乙两人第一次相遇，甲、乙到达乙、甲两地后立即返身往回走，结果甲、