二次函数复习重点以及根的分布问题.

1、初三数学培优卷：二次函数考点分析二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点二次函数y=ax2+bx+c （a， b， c 是常数， a 0）2一般式： y=ax +bx+c，三个点顶点式： y=a（ x h） 2+k，顶点坐标对称轴顶点坐标（b，4acb22a）4a顶点坐标（ h， k） a b c 作用分析 a 的大小决定了 开口的宽窄 ， a越大，开口越小， a越小，开口越大，a，b 的符号共同决定了对称轴的位置， 当 b=0 时，对称轴 x=0，即对称轴为 y 轴，当 a，b 同号时，对称轴 x= b<0，即对称轴在 y 轴左侧

2、，当 a， b?异号时，对称轴 x= b >0，即对称轴在2ay 轴右侧，（左同右异 y 轴为 0 ）2ac? 的符号 决定了抛物线与y 轴交点的位置， c=0 时，抛物线经过原点，c>0 时，与 y 轴交于正半轴； c<0 时，与y? 轴交于负半轴，以上a， b， c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出交点式： y=a(x- x1)(x- x2) ，（有交点的情况）与 x 轴的两个交点坐标x1，x2对称轴为hx1 x22一元二次方程 ax2bxc 0 根的分布情况设方程 ax2bx c 0 a0 的不等两根为 x1 , x2 且 x1x2 ，相应的二次函数为 f

3、 x ax2bx c0 ，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分两个负根即两根都小于 0两个正根即两根都大于 0一正根一负根即一个根小于0，布情x1 0, x2 0x1 0, x2 0一个大于 0 x1 0 x2况大致图象（a0）得出的结论大致图象（a0）得出的结论综合结论（不讨论a）00bb002a2af 0 0f 0 000bb002a2af 0 0f 0 000bb002a2aa f 0 0a f 0 0f 00f 00af 00分布情况大致图象（a0）得出的结论大致图象（a0）得出的

4、结论综合结论（不讨论a表二：（两根与 k 的大小比较）两根都小于k 即两根都大于k 即一个根小于 k ，一个大于k 即x1k, x2kx1k, x2kx1kx2kkk00bbkf k 0k2a2af k 0f k000bbkf k 0k2a2af k 0f k000bba f k 0kk2a2aa f k 0a f k0）表三：（根在区间上的分布）分布情况大致图象（a0）得出的结论大致图象（两根都在两根有且仅有一根在m, n 内一根在 m, n 内，另一根在 p, qm, n 内内， m n p q（图象有两种情况，只画了一种）0f m0f m 0f n 0f m f n0f n0f m f

5、n 0f p0或0f p f qbnf q0m2aa0）0fm0得fm0fn0fmfn0出fn0fmf n的0p0或fpfq0结bf论mnfq02a综合结fmfn0论（fmf n0不fpfq0讨论a）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n 外，即在区间两侧x1m, x2n ，（图形分别如下）需满足的条件是（ 1） afm0（ 2） afm00 时，n0；0 时，n0ff对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（ 1）两根有且仅有一根在m, n 内有以下特殊情况：1若 f m0或 f n0 ，则此时 fm fn0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或 n ，可以求出另外一

6、根， 然后可以根据另一根在区间m, n 内，从而可以求出参数的值。 如方程 mx2m2 x20在区间 1,3上有一根，因为f 1 0，所以 mx2m2 x2 x 1mx 2 ，另一根为2 ，由123mm得 2m2 即为所求；32方程有且只有一根，且这个根在区间m, n内，即0，此时由0 可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x24mx 2m 60 有且一根在区间3, 0 内 ， 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 ： 由 f3 f 00 即14m15 m30 得出3 m15；由0 即 16m24 2m60 得出

7、m1 或 m3，当142m1时，根 x23,0，即 m1满足题意；当m333,0 ，故 m3时，根 x不满足题意；1522综上分析，得出3或 m1m14例 1、已知二次方程2m1 x22mxm10有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。例 2、已知方程2x2m1 xm0 有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。例 3、已知二次函数ym2 x22m4 x3m3 与 x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数 m 的取值范围。例 4、已知二次方程mx22m3 x40 只有一个正根且这个根小于1，求实数 m 的取值范围。1.解：由 2m 1 f00 即 2m 1m10，从而得1m 1 即为所求的范围。22 解：由0m28m0m 11m 3 2 2或 m 3 2 20m12 2m 0m0f000 m322 或 m3 22 即为所求的范围。3 解：由m2f 10 即m 2 2m 102m1