待定系数法分解因式含答案

1、页眉内容待定系数法分解因式待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指 导作用贯穿于初中、高中其至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出 系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这 种解决问题的方法叫做待定系数法。本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。这一部分中，通过一系列题 目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，

2、步骤，技巧等。例1分解因式2宀孙纣+ "14厂15思路1因为2/?纣yX2x +莎）所以设原式的分解式是求出m, n,的值。代-卩+曲）（"+切心煦后展开，禾U用多项式的恒等,解法1因为2兀2 F-爭二了一刃（N + »）,所以可设伴血廿二1比较系数，得3in-n= 14Ljnn=15由、解得W -5.把豹-3/ 5代入式也成立。二 2 卫 + xy - 3/2 + 7 + 14y -15 =3） （2jr +3jj - 5）思路2前面同思路1,然后给x, y取特殊值，求出m, n的值。解法2因为住二（x”）（2x +划）所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式

3、子有意义的天Q FB得 x, y都成立，那么无妨令AE鬥二T5令X - 1,得恋冋+ 3朋一阅+ 1二0二-負3烷- - 5.解、得傲您或?=把它们分别代入恒等式检验，得+ z + 14j? -15 二(x-$)(2x 十 3>-5)说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。例2分解因式：？ -尢'+ 4X +张十5.思路本题是关于X的四次多项式，积。解设匚'-尢r 4" +3工+ 5 a十b二-1 ab + S- 4

4、 5a+ b由恒等式性质有：二3可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之由、解得 Lb -2,代入中，式成立。二+3z + 5 二(:? + 恵+1)(工 2 -2H+5)说明若设原式二1）（由待定系数法解题知关于&与b的方程组无解，故设原式=(12 +卫 X +1)仗 2例3在关于x的二次三项式中，当忑一F时，其值为0；当加-3时，其值为0；当*二2时，其值为10，求这个 二次三项式。思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。 解法1设关于x的二次三项式为+如r +&把已知条件分别代入，得a+ b+ C = 0? 9a+

5、3b + c 二 04a4 2b + c -10a - 2,解得 b =4,匚 » -d.故所求的-6.二次三项为根据已知X1,-3时，其值0这一条件可设二次三项式为的值。思路2 由已知条件知当X1.-3时，这个二次三项式的值都为 后再求出a解法20,故可设这个二次三项式为虜（X - 1）（工十3）把x二2代入上式，得5a - 10,解得a二3.故所求的二次三项式为2 （尢-1） 0+ 3），即一说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。例4已知多项式咒£十色只+cx +力的系数都是整数。若加+是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。思路先设这个多项式

6、能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可 能的。证明：设P +卜* +芒工十止二（工十附）（H * KH + 尸）,；?+加？+卫才+ 7二F +（ BW + M）F+ （罐+尸）："+聊尸（m, n, r都是整数）。比较系数，得因为加g是奇数i十C与d都为奇数，那么mt也是奇数，由奇页眉内容数的性质得出也都是奇数。在式中令A二1,得1 +八+ +小0七战）（1 + «+$），笑由b + c詔是奇数，得1 +A十十方是奇数。而m为奇数，故1十牌是偶数，所以（1+/M）（1 + «+F）是偶数。这样的左边是奇数，右边是偶数。这是不

7、可能的。因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。例5己知兀两尸能被X整除，求证：护二八思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。证明：设 盂'吻X + 4F二（工+ 口菱）+占工十一 b展开，比较系数，得由、，得盘二込色二3己,代入、得：尸二即卫二95二例6若d是自然数，且也4 -4盘弓+ 1孔2 -30a+ 21的值是一个质数，求这个质数。思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1,即可求a的值。进而解决问题。解：由待定系数法可解得由于a是自然数，且 卜冶

8、+ i刼-30金+纟7是一个质数，盘 2 3a y' - 3 2 + 9一3& + 3 二 1解得如二1忌二2当二1时，-位1 + g二9不是质数。当时 2,时，厲1+9=11是质数。吃'4 也弓+15<?-30 八 + 27=11 练习1、分解因式弓1：工+ 5;即一 2丿丁十幼一 4二2、若多项式3* +，砂-纣FH能被3x - y 4 4整除，则n二页眉内容3、二次三项式当A二1时其值为-3,当兀二2时其值为2,当A二-1时其值为5 ,这个二次三项式是4、m, n是什么数时，多项式尸宀沏”#链被尸-纟 1整除？B级5、多项式4 2野_J +5皐+*能分解为两

9、个一次因式的积，则k=6、若多项式X* 5屮十珈工 +冲能被（卞 1） °整除，则廉九£?二7、若多项式-s当乂12时的值均为0,则当x二时，多项式的值也皋0.8、求证. FfVf不能分解为两个一次因式的积。参考答案或提示：1 仔斗 + r+ 4XT+ 2yr)提示：设原式-（3工-+ d） （x + 2+占）比较两边系数，得由、解得f °将（3 - 16 - -1代入式成立。原式卩工一+ 4）匕十2-1）2、-4。提示：设原式-（3工-丁 + 4）（工+纱+燃）=3/ + 5砂-2于彳（3财斗4）疋+但-勰）y +4刪比较系数，得由、解得m-T代入得R二-43、3/-4X-2-提示：设二次三项式为把己知条件代入，得所求二次三项式为4. 烧11/ - 4.设；C* -5? +11TW-2-+ 用二十 3”町一2z4 1)比较系数，得当m=-ll,5. -2提示：设原式比较系数，得提示：设原式比较系数，得b = -3 解得J趕二4”胡二T1n=4已知多项式能被（才+ T 4朋）-2工+ 1整除。#如丁+ (丹十恥)工+ (并-蒯)戸+