微积分复习附解题技巧

1、微积分复习及解题技巧第一章函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：综合练习第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间 表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意 义的自变量x的取值范围（集合）主要根据： 分式函数：分母工0 偶次根式函数：被开方式0 对数函数式：真数式0 反正（余）弦函数式：自变量 < 1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成 不等式组解之。典型例题：综合练习第二大题之1补充：求y= 2 x的定义域。（答案：- 2 x1）l-2x2三、判断函数的奇偶性：典型例题：综合练习第一大题之3、4第二章极限与连续

2、求极限主要根据: 1、常见的极限:1lim =°（： 0）X2、利用连续函数:|m f （x） =f（X。）JXo初等函数在其定义域上都连续。例：呵X =13、求极限f（x）lxm而12 / 10的思路:I0 lim f（x）=<Ci（Ci ho常数） xjotqo0lim g（x） = C2（C2 = 0常数） x门.r可考虑以下9种可能:0型不定式（用罗彼塔法则）0 C1 = OO00 =0-=0C2QOC1C11 =0C2QO型不定 odO0=OOC2式（用罗彼塔法则）特别注意：对于f (X)、g (x)都是多项式的分式求极限时，解法见 教材P70下总结的“规律”。以上解

3、法都必须贯穿极限四则运算的法则！典型例题：综合练习第二大题之3、4;第三大题之1、3、5、7、8补充1：右 Imsi(x-1)1，则 a二2, b二 1x2 ax bx-1 2x补充2：,xX+1、1+x -1二 e2补充3： ' 1 1 .IimV33天55x71= 2lim2 n(2n _ 1)(2n 1)Pm：21U丄1丄+ 13351I2n -1 2n 1G1 2补充4:limXr1In xlim11(此题用了“罗彼塔法则”第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题: 典型例题：综合练习第一大题之12二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：1、求导的基本公式：

4、教材 P123 2、求导的四则运算法则：教材 P110-111 3、复合函数求导法则（最重要的求导依据） 4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）6、求高阶导数（最高为二阶）7、求微分：dy=y/ dx即可 典型例题：综合练习第四大题之1、2、7、91_ x 2arctgx1 x21 x21 x2补充：设 y= ； x21 （arctgx）2，求 dy.解： T y ” =12x + 2arctgx2 山+x2dy= y dx 二(x1 x22arctgx1 x2)dx第四章 中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题： 典型例题：综合练习第一大题之 16、19 二、利用导数的

5、几何意义，求曲线的切、法线方程 ： 典型例题：综合练习第二大题之 5 二、函数的单调性（增减性）及极值问题： 典型例题：综合练习第一大题之 18，第二大题之 6，第六大题之 2第五章不定积分第六章 定积分I理论内容复习：1、原函数:F(X)二 f (x)则称F (X)为f (X)的一个原函数。2、不定积分：概念：f ( X )的所有的原函数称f ( X )的不定积分。f (x)dx = F (x) C注意以下几个基本事实：Ff (x)dx = f(x)f (x)dx = f (x) Cd f(x)dx 二 f (x)dxdf(x)二 f (x) C性质： a f(x)dx=a f(x)dx(注

6、意a = 0)! f (x)二 g(x) dx 二 f(x)dx 二 g(x)dx基本的积分公式：教材P2063、定积分：定义几何意义性质：教材 P234 235性质1 3求定积分方法：牛顿一莱布尼兹公式H习题复习：一、关于积分的概念题：典型例题：综合练习第一大题之22、24、25、第二大题之11、14二、求不定积分或定积分:可供选用的方法有直接积分法：直接使用积分基本公式换兀积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法分部积分法典型例题：综合练习第五大题之2、3、5、6关于“换元积分法”的补充题一:dx2x11 12 2x 1d(2x 1)-l n'2x + 1 +C2关于“换

7、元积分法”的补充题二:解：设 x 3=t2, 即卩.x-3二t,则 dx=2tdt.xdx = (13-2tdt =2 t21 6t C、x-3t2 1=2t3 6t C = 2( . x -3)36 . x -3 C33关于“换元积分法”的补充题三：8 dx013 x解：设x=t3, 即3x 二 t，则 dx=3t2dt当 x=0 时，t=0；当 x=8 时，t=2.所以8dx_=沁01 3x = 0 1 t占心扑1）2+ Ini +1=3ln3（此题为定积分的第二类换元积分法，注意“换元必换限”，即变量 x换成变量t后，其上、下限也从0、8变为0、2）关于“分部积分法”的补充题一：xexd

8、x 二 xdex 二 xex _ exdx = （x _ 1）ex C关于“分部积分法”的补充题二:1 1Jarctgxdx = xarctgx _ Jx 十 2 dx = arctgx -?ln 1 + x关于“分部积分法”的补充题三:exln xdx1=1 In xdx22 1x2 In x- ：x2d|nxx2 In x1/21 2e"e -x221-xdx1二(e2 _丄e22 2（此题为定积分的分部积分法）三、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）：典型例题：综合练习第六大题之4注意：此题若加多一条直线 y=3x，即求三线所围平面图形的面积, 则解法为一一（草图略）132132S= /3X x)dx 亠 I (3x x2)dx二 °2xdx 亠 i (3x x2)dx=21x23 2x<213x3>1=1+即斗”即初=等（平方单位）使用指南本 复习参考资料 应当与人手一册的综合练习题 配套使用并服从于 综合练习题 。另外， 请注意如下几点：本 复习参考资料 中的蓝色字体的“补 充”题是以往年级的部分应试复习题，对今年 9 月份考试的同志来说，仅仅作为参考补充。 综合练习题是我们复习重点中的重点 ，请 对照答案将 所有题目完整地做一遍（使题目与 答案相结合而不要相分离，以便需要时加快查 找的速度和准确度） 。 请将上述做好的综合练习题 随