排列组合和排列组合计算公式.

1、排列组合公式/排列组合计算公式排列P和顺序有关组合C不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.排列把5本书分给3个人，有几种分法组合1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mc n)个元素按照一定的顺序排成一 列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列；从 n个 不同元素中取出 m(mcn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n- 2)(n-m+1)= n!/(n-m)!( 规定 0!=1).2 .组合及计算公式从n个不同元素中，任取 m(mcn)个元素并成一组

2、，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合；从 n个不同元素中取 出m(mc n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的组合数用符号c(n ,m)表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)； c(n,m)=c(n,n-m);3 .其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,nk这n个元素的全排列数为n!/( n1!* n2!* nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标

3、)Pnm=rK (n-1 ) . (n-m+1 ) ; Pnm=n ! / (n-m )!(注:!是阶乘符号)；Pnn (两个n分别为上标和下标)=n ! ; 0!=1 ; Pn1 (n为下标1为上标)=n组合（Cnm（n为下标，m为上标）Cnm=Pnm/Pmm ； Cnm=n ! /m !（ n-m ）!; Cnn （两个 n分别为上标和下标）=1 ; Cn1 （n为下标1为上标）=n ；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30（“ j j1b上二 闸T 7f - rjrcczr公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总

4、个数R参与选择的元素个数!-阶乘，女口9!= 9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n* (n-1)*(n-2).(n-r+1);因为从n到(n-r+1)个数为n( n-叶1) = r举例:Q1: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球， 请问， 可以组成多少 个三位数？A1: 123 和 213 是两个不同的排列数。 即对排列顺序有 要求的，既属于“排列 P计算范畴。上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会 出现 988,997 之类的组合， 我们可以这么看， 百位数有 9 种可 能，十位数则应该有 9-1 种可能，个位数则应该只有 9-1-1 种 可能，最终共有9*8

5、*7个三位数。计算公式=P (3, 9)= 9*8*7,( 从 9 倒数 3 个的乘积)Q2:有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2:213 组合和 312 组合，代表同一个组合， 只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C计算范 畴。上问题中， 将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例 1 设有 3 名学生和 4 个课外小组 ( 1)每名学生都只参加一个课外小组；( 2)每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多

6、有一名学生参加各有多少种不同方法？解（ 1）由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的 任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方 法（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且 每个小组至多有一名学生参加，因此共有 种不同方法点评由于要让 3 名学生逐个选择课外小组， 故两问都用乘法原理进行计算例 2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第 三， 不排第四的不同排法共有多少种？解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中 的某一个，共 3 类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方 式逐一排出：二符合题意的不同排法共有 9种.点评 按照分“类”的思路，本题应用了加

7、法原理为 把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做 法，也是解决计数问题的一种数学模型.例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出（1）高三年级学生会有11人：每两人互通一封信，共 通了多少封信？每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共 10人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：从中 任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆， 有多少

8、种不同的选法？从中选出 2盆放在教室有多少种不同 的选法？分析 （1）由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲 的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；由于每两人 互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序 无关，所以是组合问题其他类似分析（1）是排列问题，共用了 封信；是组合问题，共需握 手 （次）（2）是排列问题，共有 （种）不同的选法；是组合问 题，共有 种不同的选法（3）是排列问题，共有 种不同的商；是组合问题，共 有 种不同的积（4）是排列问题，共有 种不同的选法；是组合问题， 共有 种不同的选法例4 证明.证明 左式右式.二等式成立.点评 这是一个排列数等式的证明问题，

9、选用阶乘之商的 形式，并利用阶乘的性质 ，可使变形过程得以简化.例 5 化简 .解法一 原式解法二 原式点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式， 并利用阶 乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得 以简化例 6 解方程：（ 1） ；（ 2） 解 （ 1）原方程解得 （ 2）原方程可变为* ? ?原方程可化为.即 ，解得第六章 排列组合、二项式定理一、考纲要求1. 掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些 简单的问题 .2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和 组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题 .3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用

10、它们计算和论 证一些简单问题 .、知识结构三、知识点、能力点提示（一） 加法原理乘法原理3 所高等院校，每人报且只说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此 两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据 .例 1 5 位高中毕业生，准备报考 报一所，不同的报名方法共有多少种 解： 5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报 名，因而每个学生都有 3 种不同的 报名方法，根据乘法原理， 得到不同报名方法总共有3X 3X 3X 3X 3=3 5（种）（ 二 ） 排列、排列数公式 说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中 较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方

11、法都和前面掌握 的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考 查排列的应用题，都是选择题或填空题考查 .例 2 由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其 中小于 50 000 的 偶数共有 （）A.60 个 个B.48 个D.24 个C.36解因为要求是偶数，个位数只能是 2或4的排法有P12；小于 50 000 的五位数，万位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的 排法有 P13; 在首末两位数排定后，中间 3 个位数的排法有 P33， 得 P13P3sP12= 36（个）由此可知此题应选 C.例 3 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方

12、格 里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同 的填法有多少种 ?解：将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 3 种，即 214 3，3142，4123；同样将数 字 1 填入第 3 方格，也对应着 3 种填法；将数字 1 填入第 4 方 格，也对应 3 种填法，因此共有填法为3P13=9（ 种）.例四 例五可能有问题，等思考三 ） 组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现， 主要考查排列组合的 应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查 .例 4 从 4台甲型和 5台乙型电视机中任意取出 3台，其中至 少有甲型与乙型电

13、视机各 1 台，则不同的取法共有 （ ）A. 140 种 B.84 种 C.70种 D.35 种解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有CC25 种；甲型2台乙型1台的取法有戊5种 根据加法原理可得总的取法有氏汽+氏C15=40+30=70（种）可知此题应选 C.例 5 甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程，甲公司承包 3 项，乙公司承包 1 项，丙、丁公司各承包 2 项，问共有多少种 承包方式 ?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的 5项工程中选出 1项工程的方式有 C15 种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出 2项工程的方式有

14、C24 种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的 2 项工程中选出 2 项工程的方式有 C种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8XC15XC24XC22=x 仁 1680(种).(四) 二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则， 在 数学中它是常用的基础知识 ，从 1985年至 1 998年历届高考均 有这方面的题目出现， 主要考查二项展开式中通项公式等， 题型 主要为选择题或填空题 .例6 在(x- )10的展开式中，x6的系数是()A. -27C 610B.27C410C.-9C6104D.9C410解 设(x- )10的展开式中第Y +1项含

15、X6,因 TY +1=CY 10X10- Y (- ) Y , 10- Y =6, Y =4于是展开式中第 5项含 x 6，第 5项系数是 C410(- )4=9C410故此题应选 D.235例 7(x-1)-(x-1)+ (x-1) -(x-1)+(x-1) 的展开式中的x 2的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项 的和，贝V其和为在(x-1) 6中含x3的项是C36X3(-1) 3=-20x 3,因此展开式中x2的系 数是-2 0.(五)综合例题赏析例 8 若(2x+ ) 4=ao+aix+a2x 2+a3x3+a4X4，贝H (a o+a2+a4)2-

16、(a i+a3) 的值为()A.1C.0B. -1D.2解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有()A.6 种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P22 = 2种，分护士方法有 氏=6种，所以共有6X 2= 12种不同的分配方法。应选B.例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出 3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有( ).A.140 种B.84种C.70 种D.35种解：取出的 3 台电视机中， 甲型电视机分为恰有一台和恰有二台 两种情形 .VC24 +戊C14=5X 6+10X 4=70.二应选

17、C.例 11 某小组共有 10 名学生，其中女生 3 名，现选举 2 名代 表，至少有 1 名女生当选的不同选法有 ()A.27 种B.48 种C.21种D.24 种解：分恰有 1 名女生和恰有 2 名女生代表两类：1 1 2VC13 C1 7+C23=3X 7+3=24,二应选D.例 12 由数学 0, 1 , 2, 3, 4, 5 组成没有重复数字的 六位 数,其中个位数字小于十位数字的共有 ( ).A.210 个B.300 个C. 464 个D.600 个解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个？应有P15 P55=600 个.由对称性,个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六

18、位数各占一半 .有X 600=300个符合题设的六位数.应选 B.例 13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有().A.70 个B. 64 个C. 58 个D.52 个解：如图，正方体有 8个顶点，任取4个的组合数为 芒8=70个.其中共面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角 面的有2组；形如（ADBCi ）的有4组.二能形成四面体的有 70-6-2-4=58（组）应选C.例14如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）.A.12 对B.24对C.36 对D.48对解：设正六棱锥为 O- ABCDEF.任取一侧棱 OA（Cj则OA与 BC C

19、D DE EF均形成异面直线对.二共有C6X4=24对异面直线.应选B.例15 正六边形的中心和顶点共 7个点，以其中三个点 为顶 点的三角形共个（以数字作答）.解：7点中任取3个则有 芒7=35组.其中三点共线的有3组（正六边形有3条直径）.二三角形个数为35-3=32个.例16 设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为 T,则的值为。解10个元素的集合的全部子集数有:S= C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+Cio+COio=2 10=1024其中，含3个元素的子集数有T=&0=120故=例17例17在50件产品n中有4件是次品，从中任意抽了 5件，至少有3件是次品的抽法共_种（用数字作答）.解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.C34 C 246+C44 C146