数理统计考试题及参考答案

1、数理统计 考试题及参考答案一、填空题(每小题 3分，共15分)1, 设总体X和Y相互独立，且都服从正态分布 N(0, 32)，而(X1,X2L ,X9)和(Y1,Y2L 飞)是X | X分别来自X和Y的样本，则u 79服从的分布是 .解：t(9).L Y2_2, 设?与?都是总体未知参数的估计，且?比？2有效，则?与?的期望与方差满足.解: E(?)E(?), D(?)D(?).3，"两个总体相等性检验”的方法有 与.解：秩和检验、游程总数检验.4, 单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是 解：正态性、方差齐性、独立性.5, 多元线性回归模型 Y X B 中，B的最小二乘估

2、计是 0 =_.解：了 = (XX ) 1X Y .二、单项选择题(每小题 3分，共15分)1,设(Xi,X2,L ,Xn)(n 2)为来自总体N(0,1)的一个样本， X为样本均值，S2为样本方差，则D_(A) nX : N(0,1) ；(B) nS2 : 2(n)；(C) (n 1)X:S2,若总体X : N(,t(n)；2)，其中(n 1)X；(D)nXi2i 22已知，当置信度1保持不变时，女【:F(1,n 1).1果样本容量n增大，则的置信区间B.(A)长度变大；(B)长度变小；(C)长度不变；(D)前述都有可能.3,在假设检验中，分别用，表示犯第一-类错误和第二类错误的概率，则当样

3、本容量n 定时，下列说法中正确的是C.(A)减小时也减小；(B)增大时也增大；(C),其中一个减小，另个会增大；(D)(厲和(B)同时成立.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设ST为总离差平方和，S为误差平方和，SA为效应平方和，则总有 A _(A) St Se Sa ；( B) "S| : 2(r 1)；心誥書Fr)；(D) SA与Se相互独立.5,在一元回归分析中，判定系数定义为R2ST(A)2R接近0时回归效果显着;2(B) R接近1时回归效果显着;(C)2R接近 时回归效果显着;(D)前述都不对.三、(本题10分)设总体X : N(1,2)、Y : N(2)，(X1,X2

4、, L ,Xq)和(Y,Y2,L ,Yn2)分别是来自X和Y的样本，且两个样本相互独立,X、Y和sX、S?分别是它们的样本均值和样本方差，证明(X Y) ( 1 s灵1n22)，其中S2(ni 1)Sx (n2 1)SYn2n1 n2 2证明:易知由定理可知由独立性和N( 12,n22-)，U (X Y)(1n2g 1)Sx2(m1)，2(n22分布的可加性可得1)SX(n221)Sy .2(n1n22) 2): N(0,1) 1) 由U与V得独立性和t分布的定义可得(X Y) ( 12)S F十V/(m n2 2)t(mn22) 四、(本题10分)已知总体X的概率密度函数为 f(x)0,其中

5、未知参数其它(X1,X2,L , Xn)为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量.x0,0,1 -xf (x)dx xe dxn，用 $11 Xin i 1X代替，所以Xi X(2)E(?) E(X) 1nnE(Xi)i 1E(X)，所以该估计量是无偏估计.五、（本题10分）设总体X的概率密度函数为f(x; )(1 )x ,0 x其中未知参数（X1,X2,L Xn）是来自总体 X的一个样本，试求参数的极大似然估计.解:xi1 时，In L( ) nln( 1)In xi ，令1d ln L()Ini 1xi0，得nnIn xi 1六、（本题10分）设总体X的密度函数为f(

6、x；)0,x 0；未知参数x 0,UMVUE1凶兀丄Xn）为总体的一个样本，证明X是一的一个证明：由指数分布的总体满足正则条件可得21() EInf(x；)12 ，1的的无偏估计方差的C-R下界为(丄)2nI()12另一方面E(X) 1，Var( X)即X得方差达到 C-R下界，故 X是丄的UMVUE七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤在一批苹果中随机取 9个苹果称重，得0.05下，可否认为该批苹果重量标准差其样本标准差为S 0.007公斤，试问：（1）在显着性水平达到要求？（ 2）如果调整显着性水平0.025，结果会怎样?参考数据：0.025 (9) 19.023,爲5

7、(9)16.919,爲25(8)17.535,2.05 (8) 15.507 .解：(1)H0 : 20.005,n 1 S22，则应有:P 22.05 80.005,0.05(8) 15.507,(2)新设 H。：20.005,由 2.02517.535,28 0.0070.005215.6817.535,则接受具体计算得：2215.6815.507,所以拒绝假设 H°，即认为苹果重量标准差指标未达0.00520到要求.假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求.八、（本题10分）已知两个总体 X与Y独立，X（1,12)，Y(2,；），1,2,2的置信未知，（X1,X2,L ,XnJ和（丫1飞,L ,Yn2）分别是来自X和丫的样本，求2的置信度为12区间.解：设sX, SY2分别表示总体X，Y的样本方差，由抽样分布定理可知2(n 1)，(n2 1)S2_2(n21)，由F分布的定义可得对于置信度1(n1 1)SX (n1 1)2F2g 1应/ 八 2小(n2 1)2三：F (n111,n1) ，查F分布表找FP F /2(n1/2 (n11,匕1)和 F1/2( m1,匕1）使得1,比1)FF1/2(n11,n2 1)1sX/&F1 / 2 (n1 1, n2 1)2122SX/SY2f 仁(n 1,n1