无穷级数与泰勒展式解读

1、第九章無窮級數與泰勒展式9.1 數列與級數9.2 級數收斂判斷法9.3 冪級數與泰勒展式9.4 泰勒展式的應用1299.1 數列與級數在這節中，我們將複習數列 (sequence與) 級數 (series)的概念 所謂數列，其數學上的定義如下：數列的定義一數列 an 為一定義域是整數而值域為實數的函數，即 an a(n) 為實數。(通常 n 0)例題 1.1 求下列各數列的前三項(a)an 2 (n 1) 3.(b) bn 3 ( 2)n.(c)n 1 ( 1)n解： (a) an為一等差數列， a1 2， a2 5，a3 8。(b) bn 為一等比數列， b1 6，b2 12，b324(c)

2、 c1 0 ， c2 2 ， c3 0 。在這節當中，我們所關心的乃是無窮數列是否收斂。我們稱一無窮數列 an 收斂至 L，記做 lnim an L ，意思是若 n愈來愈大 時， an愈來愈接近 L 。否則，我們稱 an 發散。例題 1.2判斷下列各數列是否收斂，若是，求其收斂值。(c) an ( 1)n .(d)annn1(a) an n. (b) an (32)n .解： (a) 因 lim an，故 an 為一發散數列n(b) lim an 0. n(c) lim a2k 1，lim a2k 11，因an 之奇數列的極限為 1，偶數列的kk極限為 1，故 an 為一發散數列。(d) li

3、m an 1. n我們常用 n！ (n factorial) 代表 n (n 1) 2 1，而 0！ 1無窮級數 (infinite series)給一無窮數列 an ，其和為 a1 a2，我們用 an表示，稱做無窮級n1數。無窮級數也有收斂與發散的問題。級數的收斂與發散n給定一無窮級數an ，若 Snai 且lnim Sn L ，則我們稱 an 收斂至nn 1 i 1 n 1L ，記做ann1L 。否則我們稱級數 an 發散。 n1例題 1.3 判斷下列級數是否收斂， 若是， 求其收斂值。1.1，131(a)n01(b) 1n 1 n(n 1)(c)1.n0(d) 2n .n0解： (a)S

4、nn1k 0(21)k ，則Sn1 (12)n 11 12(12)nn 0 2limn1 (1) n 1 211 2.(b)n(n 1) n n 1Snk 1 k(k 1)1111n1(1 1 ) n(c)令 Snk111n1n 1 n(n 1)lnim (11)n1則 Sn n ，故 1 lnim n所以 1發散。n1n（d） 令Sn2k ，則k0143所以 2n 發散。 n0Sn 1 2 2n2nn0由以上的例題可知，若an 收斂，n1則 lim an必為 0，但是 lim an 0 並不保 nn證 an 收斂。 n111例如 n 1 1n，但lnim 1n 0習題於 1-6 題中，寫出各

5、數列的前 4 項1.ann1n2.ann1n2 13.4.n！5. an（n 2！）n！6. an（n 1！）（2n！）於 7-16 題中，判斷該數列是否收斂，若是，求其收斂值。7.an1n18. an7n19.n210. an . n111.12. an n 2.an1n！nn14. ann2n15.16.n！an119.n2n(n 1)121.n1n(n 3)1n17.(1)n .n 3 223.n2 .n1於 17-24 題中判斷該級數是否收斂，若是，求其收斂值。18. 4 (2)n . n 0 31.20.n1n(n 2) .122.n12n(2n 1)24. n . n19.2 級數

6、收斂判斷法在這節中，我們將學習一些判斷級數收斂的方法。首先我們先考慮所謂的 p- 級數 ( p -series)。1形如1p 的級數稱做 p-級數，其中 p 0n1np-級數收斂判定法11若 p 1 時， 1p 收斂；當 0 p 1 時，1p 發散n 1 n n 1 n上述的判定法可證明如下：考慮函數 f(x) x p 的圖形，並將 0, ) 以整數點做分割，令A x pdx ，則如圖 9.2.11（圖 9.2.1）12p3p另一方面如圖 9.2.2，（圖 9.2.2）A 1p112p1 n1n當 0 p 1 時，A 1 x pdx故pn1n當 p 1 時，A 1 xdx最後當 p 1時，p1

7、111故 p 1 p .n 1n n 2n例題 2.1 判斷下列各級數是否收斂1 1 1 (a) 1.1 . (b) . (c) 2 . n 1nn 1 n n 1n解：根據 p -級數收斂判定法，1111.1 及12 收斂，n1 n n 1n而 1 發散n1n1在例題 2.1中， 12 在數學上是可知其收斂值的，其實 n 1 nn1n接下來我們來介紹絕對收斂的觀念。若給定一無窮級數an ，且知 an 收斂，則 an 亦收斂。n 1 n 1 n 1例題 2.2 判斷下列級數是否收斂( 1)n(a) ( 12) .( 1)n (b) ( 1) .n 1 nn 1 n解： (a) 因( 1)n1

8、，2 2 ，n1n n 1 n收斂。且12 收斂，故( 12)nn1 n n 1 n(b) 因n1( 1) nn 1 n( 1) n發散，故 ( 1) 無從判定收斂或發散。 n 1 n在例題 2.2(b) 中，其實n1( 1)n是收斂的若 an r n 為一等比級數，則我們知，當an 發散。由此我們可得到以下的判斷法： n1比率判斷法 (ratio test)r 1時 an 收斂，當 r 1 時 n1給定一無窮級數 an ，n1an 11. 若 lim na2. 若 liman 1nanan 13n1. 若 limn例題 2.31，1，1，則n1則n1anan及 an 均收斂。 n1及 an

9、均發散。 n1則 an 的收斂性無從判斷。 n1an判斷下列各級數是否收斂(a)n1nn(b) 2n 1 n ！(c)nnn 1 2n解：(a) 令，則an(n 1)，所以 nliman 11.1故根據比率判定法，12 無從得知其收斂性。 n1n2n(b) 令 an 2 ，則 n！2n 1an 1(n 1！)2a n2nn 1n！ 所以liman 1nanlim 2 0 1 ，n n 12n故根據比率判定法， 2 收斂。n 1 n ！(c) 令 an 2nn ，則(n 1)an 12n 1 n 1an2n2n2n所以lim an 1 nanlim n 1 1 1，n 2n 2n故由比率判定法，

10、 n 12nn 收斂。由上述的一些判定法可知，這些方法皆有不足的地方。最後我們來學習一 個直觀的方法。夾擊法 (squeezing)：給定三數列，且知對所有的 n，an bn cn。若 an 及 cn 收斂，則bn 收斂。若 an 及 cn 發散，則bn 發散例題 2.4 判斷下列各級數是否收斂1(a) 1 .1(b)12.n 1 n(n 1)n 1 n2 11解：(a) 因1n(n 1)0及1收斂故 1 收斂。其實n 1 n(n 1)n1n(n 1)1 1 1(1 12) (12 13)1.(b) 因1n 2 11 1 1 n 1 2n 2 n 1 n習題故 1 發散n 1 n2 1於 1-16 題中判斷各級數是否收斂。12.n12.5n 1 n17.1473.n11. n5.nn1n17.n1nn2 12n9.n( )n .n13311n.n12n nn 4. n 1 2n n 1 216. 1 n 1 n！2n8.25 .n1n10.12.n1(32)n.( 1) n n113. ( 1)n n 1 n ！14.n！n！n n n1n(root test)給