矢量分析与场论课后答案..

1、矢量分析与场论习题11 写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。1 x 二 a cost, y 二 bsint2 x = 3sin t, y = 4sin t,z = 3cost解： 1 r = acosti bsintj，其图形是xOy平面上之椭圆。2 r = 3sinti 4sin tj 3costk ，其图形是平面4x-3y = 0与圆柱面x2 z2 =32之交线，为一椭圆。4.求曲线223x"y=t的一个切向单位矢量解：曲线的矢量方程为r = ti t2j -t3k3则其切向矢量为VII9dt" 2tj 2t2kdr i 242模为 y 4t 4t =1 2t

2、O于是切向单位矢量为dr dr | i 2tj 2t2k孙詁 1 2t22H6求曲线x=：asin t,y =asin2t,z =acost,在t处的一个切向矢量。4解：曲线矢量方程为r二asirntr asin2j acogk切向矢量为drasin2ti 2acos2 asirtk在t 处，.47.求曲线x二t2 T, y = 4t - 3, z = 2t2 - 6t在对应于t二2的点M处的切线方程和法平面方程。2 2解：由题意得M(5,5,-4),曲线矢量方程为r=(t 1)i (4t -3)j (2t - 6t)k,dr在 t =2的点 M处，切向矢量2ti 4j (4t _ 6)kt/

3、 = 4i 4j 2kdty-于是切线方程为=1 5丄4,即=X 5 =3 4442221于是法平面方程为2（x 一 5） 2（ y 一 5） （z 4） = 0，即2x 2y z - 16 = 0&求曲线 tit2j t3k上的这样的点，使该点的切线平行于平面解：曲线切向矢量为dr2dT，2tj 3tk，平面的法矢量为i 2j k，由题知2 2pi 2tj 3t2ki 2j k =1 4t 3t2 =0将此依次代入式，得j - k, |1 -i 1 j -丄k-33927(11 127丿故所求点为 _1,1-1 ,1-，-,39习题21 说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。

4、 11 u；Ax +By +Cz + D2 u = arcsinzx2y2解：1场所在的空间区域是除 Ax By Cz0外的空间。等值面为1 1G或Ax By Cz D0 （Ci = 0为任意常数），这是与平Ax By Cz D6面Ax By " Cz " D = 0平行的空间。2 2 22场所在的空间区域是除原点以外的 z<x y的点所组成的空间部分。等值面为 z2 =(x2 y2)sin2c,(x2 y2 = 0)，当sine = 0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外)；当sinc=0时，是除原点外的 xOy平面。X2 + y22求数量场u经过点M 1,1

5、,2的等值面方程。z解：经过点 M 1,1,2等值面方程为x2 十 y212 十12u1 ,z2即x2 y2，是除去原点的旋转抛物面。3已知数量场u = xy，求场中与直线 x 2y -4 = 0相切的等值线方程。解：设切点为 x0,y0 ，等值面方程为 xyncnxoyo，因相切，则斜率为Z，即 X。二 2y°X。2点Xo，y°在所给直线上，有Xo 2y° -4 = 0解之得y0 = 1, x0 = 2故 xy = 24求矢量 A = xy2i x2yj zy2k的矢量线方程。解矢量线满足的微分方程为A dr=0,亠 dxdydz或222xy x y zy厶dx

6、 dz有 xdx = ydy, =.解之得2 2X _y =C1,(C1,C2为任意常数)z = C2x5.求矢量场 x2i y2j (x y)zk通过点M (2,1,1)的矢量线方程。dx解矢量线满足的微分方程为岂x2dy _y2(xdzy)zdy2y11得一二6，xy按等比定理有d(x - y) x2 - y2 (x y)z'dz即 d(x-y) x y=d?.解得 x - y = C 2 z z故矢量线方程为11 cC1,x y 1 又 M (2,1,1)求得 Cx y Gz故所求矢量线方程为1 1 1 厂2.、x_y = z习题3232<241. 求数量场u二x z 2y

7、 z在点M 2,0, -1处沿|二2xi-xy j 3z k的方向导数。解：因 I M =(2xi xy2j +3z°k L =4i +3k，其方向余弦为4 內v 3cos ,cos 0,cos5 5aa在点M(2,0,-1)处有兰=2xz3工4,兰dxcy=4yz = 0, U = 3x2z2 2y2 =12, cz所以出二4(_4) 0 «0 3.12二4a 552. 求数量场 u =3x2z - xy z2 在点 M 1, -1,1 处沿曲线 x = t, y - -t2,z = t3 朝 t增大一方的方向导数。曲线上点解：所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一

8、方向的切线方向导数。M所对应的参数为t=1 ,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为dx=1理=-2tdtMdtM其方向余弦为cos：-dz一 cos :14_x=3t2t3，2 ,cosG31414-i,：u：z= (3x2 2z)M =5。于是所求方向导数为Su= Gcos：:xuucos cos ) :y:z=7(1)253 二 24141414143求数量场u=x2yz3在点M 2,1,-1处沿哪个方向的方向导数最大?cu0解： 因 一 =(grad u )“1 = grad u cosT , T当v - 0时，方向导数最大。gradu Mcu -k) cz= (2xy£

9、;i + x2z3j + 3x2yz2k)M = -如4j +12k,即函数u沿梯度grad u M =4i 4j + 12k方向的方向导数最大最大值为 grad u| M = J176 =4丿11。1 13L4.画出平面场u (x2 - y2)中u=0, ,1, ,2的等值线，并画出场在皿1(2八2)与点2 22M 2(3八7)处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：(1 )梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；(2)在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u增大的方向。2 x2 -y2=0,x2 -y=1,解：所述等值线的方程为：2 x2 -y= 2,x22 -y-3,其中第一个又可

10、以写为2 x2 -y=4,（如下图，图中 Ggrad u Mi,G2 -grad u m2,）由于 grad u = xi 一 yj,故grad u =2i - jQj,grad u m2 = 3i J7j,由图可见，其图形都符合所论之事实。5.用以下二法求数量场 u二xy yz，zx在点P 1,2,3处沿其矢径方向的方向导数。1 直接应用方向导数公式；2 作为梯度在该方向上的投影。解：（1 ）点P的矢径r = i + 2 j + 3k,其模r =其方向余弦为cos：1:23,cos = ,cos .又 141414.x=(y z)p =£u5, 一 =(x + z=(x y)p =

11、3:u，旬丄£uR丄£u汽、=(CO护十COSP 十cos)axdycz514233= 22v1414-14(2 )graduL、L、；u ujyk) = 5i + 4 j + 3k, .:z+ -k.故:u.l=grad u0 p *r12322=5 43 泊一514 414 314146，求数量场 u =x2 2y2 3z2 xy 3x _2y _6z在点 0(0,0,0)与点 A(1,1,1)处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为0?解：grad u = (2x y 3) i (4y x - 2) j (6z - 6)k,graduO = 3i -2j _6k,

12、graduA = 6i + 3j+0k,其模依次为：32 （一2）2 （一6）2 =7八 62 32 02 二 3、. 5于是 grad u O的方向余弦为COS：=-,COS :gradu A的方向余弦为co的 =L,cos0 =丄,cosY = 0.、5 52x + y + 3 = 0,求使gradu=0之点，即求坐标满足 4y + x_2 = 0,之点，由此解得6z 6 = 0x=-2, y=1,z=1 故所求之点为（-2,1,1）.7通过梯度求曲面 x2y 2xz二4上一点M (1,-2,3)处的法线方程。2解：所给曲面可视为数量场u = x y 2xz的一张等值面，因此，场 u在点M

13、处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即grad u M = (2xy + 2z)i + x2 j + 2xk 皿=2i + j + 2k,故所求的法线方程为x1 y 2 z-32 1 2习题41. 设S为上半球面x2 y2 z2 =a2(z_0),求矢量场r =xi yj zk向上穿过S的通量:-：J。【提示：注意 S的法矢量n与r同指向】解：=仃 r dS=仃 rndS=仃 |r dSdS =a 2g2 = 2a3.SSSS2. 设S为曲面x2 y2 z2二a2(0 - z - h),求流速场v = (x y z)k在单位时间内下侧穿S的流量Q2 2解：Q= (x y z)dxdy (x y

14、x y )dxdy 其中 d为 s在 xOy 面上的SD2-h 22d (r2cos r2sin0 03 2 二r3)dr(cos sin)0h3投影区域：2x2h.用极坐标计算，有 Q = - (rcos rsin r )rdrdDi 22-3.设S是锥面z = . x y 在平面z = 4的下方部分，求矢量场 A = 4xzi yzj 3zk向下穿出S的通量”。解：略4. 求下面矢量场A的散度。(1) A =(x3 yz)i (y2 xz)j (z3xy)k;(2) A =(2z-3y)i (3x-z)j (y-2x)k;(3) A =(1 ysinx)i (xcosy y)j.2 2解：

15、(1)div A = 3x 2y 3z(2) div A =0(3) div A = ycosx - xsin y 15. 求 div A 在给定点处的值：(1)= x3i y3 j z3k在点 M(1,0,-1)处；(2) A =4xi -2xyj z2k在点 M(1,1,3)处；(3) A 二 xyzn(r 二 xi yj zk)在点 M(1,3,2)处；解：(1) div A M = (3x2 + 3y2 + 3z2) M = 6(2) div A” =(4 2x + 2z)m =8(3) div A = xyzdiv r grad(xyz) r = 3xyz (yzi xzj xyk)

16、 (xi yj zk)= 6xyz, 故div A6xyz36。6.已知 u = xy 2 z3, A = x 2 i xzj - 2 yzk ,求 div (uA)。 解：div A = 2x _ 2ygrad u = y2z3i 2 xyz 3 j 3xy 2z2k故 div (uA)=udiv A grad u AII= xy2z3(2x-2y) (y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k)(x2i xzj - 2yzk)2232332232433二 2x y z - 2x y z xyz 2x yz - 6xy z= 3x2y2z3-8x2y3z3 2x2yz4.7.求矢量场A从内穿出

17、所给闭曲面 S的通量G :(1)A=x3i y3j z3k,S为球面 x2 y2 z2 = a2;(2)A=(x - y z)i (y - z x)j (z - x y)k,S为椭球面2 x2az2)dV12 a55=口 A dS= Hldiv AdV = Iff 3(x2s门门, 2 2 2 2其中二为S所围之球域x y z _ a今用极坐标= rsincos ,y = rsinrsin ,z = rcos 计算，有=3 ir2 r2sindrdd =3 d sind r4dr=o o-Q4(2)=ffA dS=JJJdivAdV =3JJJdV = 3 iabc=4iabcSdQ3习题五1

18、. 求一质点在力场 F =-yi-zj xk的作用下沿闭曲线I : x = acost,y = asint.z = a(1 - cost)从t = 0到 t = 2运动一周时所做的功。解：功 W = F dl - ydx - zdy xdz=0 a2 sin21 一 a2(4 一 cost) cost a2 costsint dt2 2 二 2=a 0 (4 cost+costsint)dt = 2n：a2.求矢量场-yi xj Ck(C为常数)沿下列曲线的环量：(1)圆周 x2 - y2 二 R2, z = 0 ；(2)圆周(X -2)2 y2 二 R2,z =0。二R2,z = 0的方程成

19、为解: (1 )令 x 二 Rcosr，则圆周 x2 y2x = Rcost, y = Rsin v,z = 0，于是环量-二 A dl - ydx xdy Cdz 二ll2 | 2 2 2o (R2sin2r R2cosn)d)- 2 R .(2)令 x -2 二 Rcosr，则圆周(x -2)2 y2 = R2,z = 0的方程成为x = Rcos J 2, y = Rsin z = 0，于是环量2兀 22-二 A dl 二 -ydx xdy Cdz 二 o R sin(Rcosv 2)Rcosvd)1 l2 2 2(R2 2RcosR - 2 R23.用以下两种方法求矢量场A = x(z

20、 - y)i y(x - z)j z(y - x)k在点M( 4,2,3)处沿方 向n = i 2j 2k的环量面密度。(4) 直接应用环量面密度的计算公式；(2 )作为旋度在该方向上的投影。解：(1) n0 =黑=4i+2 j+2k,故 n的方向余弦为 co护=4,cosP = 2 ,cos = 2. ni 333333又P = x(zy),Q二y(x - z), R二z( y - x)根据公式，环量面密度叫 M =(Ry -Qz)co炉 +(Pz Rx)cos0 +(Qx Py)cos?】M422珂(z疾(x营(x y)4586佃4T=3333 rot Am 二(z y)i (x z)j

21、(x y)k5i 4j 3k,于是M =rotA* n01 2 2.(5i 4j 3k).(-i -j -k)19358=+_ +_334用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。(1)= (3x2y z)i (y3 -xz2) j 2xyzk;(2)= yz2i zx2j xy2k;(3)二 P(x)i Q(y)j R(z)k.6xy3x22 -z3y22yz2xz2xyDA = <1-2xz,故有 divA = 6xy 3y2 2xy=(8x 3y)y,rotA 二 4xzi (1 - 2yzj - (z 3x2)k.0I(2)DA=<2xz2y2xy匸故有 div A=0+0+0

22、 = 0,【0rotA 二 x(2y- x)i y(2z - y)j z(2x - z)k.P'(x)(3)DA = <000Q'(y)000R'(z)' ' '，故有 div A = P (x) + Q (y) + R (z).rotA = 0。5.已知 u = e xyz , Az2ix 2 j y2k,求 rot uA.解：rot uA=u rotA grad u A,0DA 巳2x02y 00有 rotA = 2yi+2zj+ 2xk u rotA exy2yi+ 2zj+ 2xk,grad u 二 exyz(yzi xzj xyk

23、), grad u Axyz=e yz xz2 2z xkxy =exyz(xy0 公式法：v = - 0 P(x,0,0)dx- 0Q(x,y,0)dy- 0 R(x, y,z)dz C1xy=-o 0dx - o xcosxydy - o sinzdz C1 =0 - sinxy cosz -1 C = cosz - sinxy C. 0不定积分法：因势函数 v满足A - grad v，即有z xvx - -ycosxy, vy - -xcosxy,vz - - sinz,将第一个方程对 x积分，得v - -sinxy (y,z),对y求导，得vy二-xcosxy y(y,z)，与第二个方

24、程比较，知y(y,z)二 0, 于是 (y,z)(z), 从而 v = -sin xy +屮(z).再对z求导，得vz =* '(z),与第三个方程比较，知'(z) - sinz，故* (z) = cosz C.所以 v = cosz - sin xy C.22(2)记 P = 2xcosy - y sinx,Q 二 2ycosx - x siny, R = 0.y)j +(xyz2 y3z)j+(x2yzxz3)k,2yrot uA二 exyf(2y xz - x3y)i (2z xyz - y3z)j (2x x2yz- x£)k|习题六1.证明下列矢量场为有势场

25、，并用公式法和不定积分法求其势函数。(1) A = ycosxyi xcosxyj sinzk;22(2) A=(2xcosy-y sinx)i (2ycosx - x siny)j. 解：(1 )记 P = ycosxy,Q = xcosxy, R = sinz.则 rot A:xP=0i 0j (cosxy - xysinxy)-(cosxy - xysinxy)k =0所以A为有势场。F面用两种方法求势函数v :rot Ai.xPk.:zR=0i 0j (-2ysinx-2xsiny)-(-2xsiny-2ysinx)k = 0所以A为有势场。下面用两种方法求势函数V:0xyZ1 公式法

26、：v - ° P(x,0,0)dx- ° Q(x,y,0)dy- 0 R(x, y,z)dz Cxy2z=-0 2xdx 0 (2ycosx x siny)dy- J00dz+C -x2 - y2 cosx - x2 cosy x2 C - - y2 cosx - x2 cosy C.2°不定积分法：因势函数 v满足A二-grad v，即有2 2vx - -2xcosy y sinx,vy - -2ycosx x siny,vz =°,将第一个方程对 x积分，得v- -x2 cosy - y2 cosx亠( y, z),对y求导，得vy = x2 sin

27、y-2ycosx y(y, z)，与第二个方程比较，知y(y,z)=°,于是 (y,z) = r(z),从而 v - -x2cosy- y2cos ' (z).(z) = °，故'(z) = C.再对z求导，得vzW(z),与第三个方程比较，知 所以 v = -x2cosy - y2 cosx C.2. 下列矢量场 A是否保守场？若是，计算曲线积分.Adl :l(1)A =(6xy z2)i (3x2 -z)j (3xz2 - y)k，l 的起点为 A(4,°,1),终点为B(2,1,-1);2 2 2(2)A=2xzi 2yzj (x 2yz-1)k，l 的起点为 A(3,°,1),终点为 B(5,-1,3).6y 6x 3z2解：(1)DA = < 6x °-1 >,有3z2-1 6xz2 2rotA = (1) (T)j (3z 3z)j (6x 6x)k = Q 故 a 为保守场。因此，存在A *dl的原函数u。按公式xyzu =P(x,0,0)dx 亠 I