第三章第九讲：燕尾定理.例题精讲

1、燕尾定理:在三角形ABC中,AD ,BE ,CF相交于同一点 0，那么:ABO ACO S S BD DC?=.上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段 ，因为ABO ?和ACO ?的 形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有 着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三 角形面积对应底边之间提供互相联系的途径通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点，请你说明：1423:S S S S BD DC =【解析】 三角形BED与三角形CED同高,分别以BD、DC为底,所以有14:S S BD DC =；三角形AB

2、E与三角形EBD同高,12:S S ED EA =;三角 形ACE与三角形CED同高,43:S S ED EA二所以1423:S S S S =综上可得1423:S S S S BD DC =.【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题如图,三角形ABC的面积是1,E 是AC的中点，点D在BC上，且:1:2BD DC =,AD与BE交于点F .则四边形DFEC的面积等于.【例2】如图所示，在四边形ABCD中,3AB BE =,3AD AF =,四边形AEOF的面 积是12,那么平行四边形BODC的面积为.OCBAS 3S 1S 4S 2EDCBA FED CBAOFE DC【例3】ABCD

3、是边长为12厘米的正方形,E、F分别是AB、BC边的中 点,AF与CE交于G ,则四边形AGCD的面积是方厘米.【例4】如图,正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC 的中点，四边形BGHF的【例5】如图所示，在ABC 中,:3:1BE EC =,D是AE的中点，那么:AF FC =.【例6】（2009年清华附中入学测试题如图,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、BC上的点，且13AE AB =,14CF BC =,AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120J则AEG ?与CGF ?的【例7】 如右图，三角形ABC中,:4:9BD DC =,:4:3CE EA

4、=,求:AF FB .GFE DCBAEDCB FE DCBABE【例8】（2008年学而思杯”六年级数学试题如右图,三角形ABC中,:3:2AF FB BD DC CE AE =,且三角形 ABC的面积是1,则三角形ABE的面 积为三角形AGE的面积为三角形GHI的面积为.【例9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示,三个三角形的面积分别是3,7,7,则阴影四边形的面积是多少？【例10】如图,三角形ABC被分成6个三角形,已知其中4个三角形的面积，问 三角形ABC的面积是多少？【例11】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点,E为AC中点,F为 BC中点，求阴影部分的

5、面积.【例12】如右图,ABC 中,G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分 点,AD与BG交于M ,AF与BG交于N，已知ABM 的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米,则ABC 的面积是多少平方厘米？O F EDCBGFEDA35304084O FED CF CBA【例13】如图,三角形ABC的面积是1,BD DE EC =,CF FG GA =,三角形ABC被分成9部分,请写出这9部分的面积各是多少？【例14】如右图，面积为1的ABC 中，:1:2:1BD DE EC =,:1:2:1CF FG GA =,:1:2:1AH HI IB =,求阴影部分面积.【例15】如图,面积为I的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点，求阴影部分面积.【例16】如图,面积为I的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点，求中心六边形面积.N M GA BCD EG【例17】（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题正六边形1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A 的面积是 2009平方厘米,1B ,2B ,3B ,4B ,5B ,6B分别是正六边形各边的中点；那么图