加试模拟训练题

1、加试模拟训练题1、一圆 O 切于两条平行线 l1, l2 ，第二个圆 e O1 切l1 于 A ，外切 O 于 C ，第三个圆 O2 切 l2 于 B ，外切O于 D，外切 O1于 E，AD 交BC于Q，求证Q是CDE 的外心。2 已知 an1 111 ( n N * ).23n2a2a3an)1.试证：当 n 2时， an2(3nn23平面上给定对，连接每对点的4n+1 个点，任意三点不共线，证明：可以用其中的2n 条线段至少有n 个不同的交点4n个点组成2n41987 可以在 b 进制中写成三位数xyz ，如果 xyz1987 ，试确定所有可能的 x, y, z和 b 。加试模拟训练题（1

2、3）1、一圆 O 切于两条平行线 l1, l2 ，第二个圆 e O1 切l1 于 A ，外切 O 于 C ，第三个圆 O2 切 l2 于 B ，外切O于 D，外切 O1于 E，AD 交BC于Q，求证Q是CDE 的外心。证明由 AO1 BO2 ，知AO1 EBO2 E ，从而有AEO1BEO2 ，即 A,E, B三点共线。同理由OF BO2，可得B,D,F 三点共线。又因为EDB1801EO2 B1AO1 EEAF ，所以 A,E,D,F2180四点共圆，2BEgBABDgBF ，即点 B 在 e O1 与 e O 的根轴上。又因为C 在 e O1 与 e O 的根轴上，所以 BC 是 e O1

3、 与 e O 的根轴。同理AD 是 e O2与 e O 的根轴，因此Q 为根心，且有QC QDQE ，即Q是CDE 的外心。2 已知 an11 11 ( n N * ).23n试证：当 n2时， an2a2a3an)1.2(23nn证明：（ 1）当 n22(1129;22a2131时，左边 = a2)4右边 = a22222;2292 ，所以，所证不等式成立 .4（2）假设 nk( k2) 时不等式成立，即ak2a2a3ak)12(23k成立 .k当 n k2(ak1)2ak22ak11时， ak 1kk 1( k1) 21aa3ak12(ak1k1)1212(3k)k1(k1) 22k2(

4、a2a3akak 1 )112( a2a3akak 1 )k 2k 123kk 1k( k 1) 223kk 1k( k 1)2a2a3akak 1)k 2ka2a3akak 1)12(3kk(k1) 22(3kk,2k 12k 11所以，当 nk 1时，不等式也成立 .由（ 1）、（ 2）可知，当 nN , n2 时，所证不等式成立 .3平面上给定 4n+1 个点，任意三点不共线，证明：可以用其中的4n 个点组成 2n对，连接每对点的2n 条线段至少有n 个不同的交点AADEEDBCB取 BCDE 四点取 ADEC 四点C解：利用数学归纳法，当n=1 时，五个点 A 、B 、C、D 、E 的

5、凸包分凸五边形、四边形、三角形，假设当 n=4k+1时命题成立，那么由于平面内有限点的连线是有限多条，因此，存在一条直线 L ，它与给定点中任意两点的连线均不平行，将L 平行移动，最初给定点在L 的同一侧， 经过平行移动可以使 L 的另一侧给定点的个数由0 逐渐增加至 5，我们开始时就选取这 5 个点，这 5 个点中两对点所成的两条线段的交点为M ，剩下的 1 个点与其余 4(n-1) 个点，根据归纳假设它们可产生n-1 个不同交点这n-1个交点与 M 位于直线 L 的两侧，从而得到n 个不同的交点得证41987 可以在 b 进制中写成三位数xyz ，如果 xy z 1 9 87 ，试确定所有可能的 x, y, z和 b 。（ 1987 年加拿大数学竞赛试题）解：易知 xb 21987, xyz25 ，从而 x(b21)y(b 1)162 ，即 (b1)(b1)x19622 32109，y由 b10 知 b19 。由 1962b 21 知 b196345故 9b 145；又因为19622 32109有12个正约数，分别 为1,2