华杯赛命题与学生能力培养

1、杯赛命题与学生能力培养一、引言：人的素质包含生活习惯、道德品质、各种能力、学习成绩、处世态度、 。无可否认，能力是素质的重要组成分。素质教育应该包含提高学生的各种能力：工作能力、自学能力、逻辑思维能力、理论联系实际能力、形象思维能力、空间想象能力、 。其中与数学有紧密关系的就有逻辑推理、举一反三、寻找规律、从特殊到一般，从简单到复杂等等。我们这里要说到的主题是，华杯赛命题与逻辑思维等能力的培养之间的关系。二、数学问题中的逻辑关系：、数学问题有两部分组成假设与结论。在假设成立的前提下，结论也成立，这样的命题为真命题，而在假设成立的条件成立的前提下，结论不成立，这样的命题是伪命题。一个没有证明真伪

2、的命题，只能是猜想。1+1=2他的假设为“加数是1，被加数也是1”，他的结论“其和为2”。这是一个真命题。如果改为“其和为3”，就是伪命题了。例 “一个充分大的偶数是两个质数之和“是一个猜想。、个数学命题可以派生出三类基本命题： 逆命题、否命题、逆否命题。原来的命题就称为原命题。命题加数是 1，被加数也是1，则其和为2。逆命题和为 2，则加数是1，被加数也是1。否命题加数不是 1，被加数也不是1，则其和不为2。逆否命题两数之和不是2，则加数与被加数不能都是1。以看得出，原名题与逆否命题有相同的真伪；逆命题和否命题有相同的真伪。逆命题是原名题的假设与结论对调；否命题是否定原名题的假设，也否定原名

3、题的结论；逆否命题就是逆命题的否命题。由以上数学命题的逻辑关系的启发，我们可以利用一个数学命题演变出一系列有趣的数学问题。、充分必要条件。原命题和逆命题同是为真，则原命题的假设为原命题的结论的充分必要条件；原命题是真而逆命题是伪，则原命题的假设为原命题的结论的充分条件，但不是必要条件，逆命题为真时，原命题的假设是原命题的结论的必要条件，但不是充分条件。例两个三角形中，对应边相等，则两个三角形全等。 原命题为真。两个三角形全等，则对应边相等。 逆命题为真。所以，对应边相等是两个三角形全等的充分必要条件。例加数为 5，被加数为3，则其和为8。 原命题为真。两数之和为8，则加数为5，被加数为3。 逆

4、命题为伪。“加数为5，被加数为3”是“其和为8”的充分条件。例两个三角形的面积相等，则两个三角形全等。 原命题为伪。两个三角形全等，则两个三角形的面积相等。 逆命题真。所以，“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的必要条件。明确数学问题中的逻辑关系，不仅能够提高解题能力，而且还能帮助我们设计出精彩的数学问题。因此，训练学生的逻辑思维，提高他们的逻辑思维能力，应该从数学问题中的逻辑关系入手，为此，我们提出一个改造成题，设计新数学问题的有效方法，利用这一方法，可以提高学生的逻辑思维能力，这个方法称为“提反问题方法”。、提反问题方法所谓提反问题就是将原命题中的假设或部分假设与其结论或部分结论对

5、调，而得到新的数学问题。一类反问题。直接将已知条件（假设）中的部分或全部与结论中的部分或全部的位置对调，提出新的问题。例 1原问题5 3？（ 1）反问题5？ 8（ 2）？ 8（3 ）？ ？ 8（ 4）（ 1）其中“？”表示正整数。（ 2）是减法。（ 3）的答案不唯一。这是因为，两个加数为 5 和 3 是其和为 8 的充分条件，但不是必要条件。要答案唯一，就必须另加条件，如xy8x, y 为正整数xy最大（ 4）为若干个正整数之和为 8，求这些正整数，答案不唯一。提反问题总结：对于一些十分简单的问题，他们的反问题却十分复杂，由于原问题的条件不一定是其结论的充分必要条件，反问题会出现多解性，为了减

6、少反问题的解数，往往需要增加一些条件，从各种数学竞赛试题来看，有大量的试题都是反问题。因此，随时想到反问题，学会提反问题的方法，无论对竞赛命题，选手培训，还是应试参赛，都会是十分有益的事。5、拼接法。 对逻辑思维训练的另一有效的方法是拼接法，利用数学问题的逻辑关系和数学中各个知识点的相互联系，我们可以设计出综合运用各种知识点的数学问题，用以培养和训练学生综合运用各种知识的能力和思维的条理性。A. 求解数学问题，一般是一步一步推导，前一步的结论是后一步的已知。利用这一点，我们可以设计出将两个或多个知识点总合在一起的数学问题。例。猫跑3 步的时间与狗跑5 步的时间相同：猫跑5 步的时间与兔跑7 部

7、的时间相同。猫跑5 步的距离与狗跑3 步的距离相同；猫跑5 步的距离与兔跑7 步的距离相同。猫、狗、兔沿着300 米的环形跑道同时、同地、同向出发，问：当三者再次相处同一地点时，猫、狗、兔各跑了多少路程？这是一个比例问题和行程追及问题的拼接。B. 在一问题中嵌入一个或多个其它问题。例 A,B为 400 米跑道上的两点，从 A 到 B 的跑道路程是200 米，而 A，B 的直线距离是50 米。父子俩同时从A 点出发，逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼。儿子跑400 米跑道，父亲沿跑道跑到B 点就沿直线跑回A 点。已知父亲跑100 米用20 秒，儿子跑100 米用 19 秒。如果他们按照这样的速度跑，儿

8、子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？AB：这是一个追及问题，只能在从A 到 B 的一段跑道上，子追上父亲。子跑一圈用19×（ 400/100 ） 76（秒）。亲跑一圈用20×（ 20 50） /100=50( 秒 ) 。父亲位于 AB 跑道上某点p，从 A 到 P 的路程不能太远，得儿子能在到达B 点前追上父亲。子每秒能追赶100 100 5 （米）。192019子从 A 到 B 用 38 秒，可以追赶38× 5 10（米）。19此， P 到 A 的路程不能超过10 米。或76n50mr / 5。38n25mr /10由于n, m 都是正整数，所以，r 0 或10。

9、当 r 10 时，38n125m ，等式左边为奇数,m 是奇数。最小的n2m3当 r 0 时，最小的n 25答：儿子跑完两圈后，在跑第三圈时的B 点与父亲第一次相遇。从以上求解过程可以看出，在追及问题中，嵌入了整数不定方程问题、实际问题的数学本质：际事物，不论是简单，还是复杂，都含有“形”和“数”的内容。因此，华罗庚教授指出：“宇宙大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之謎，日用之繁，无处不用数学。”从实际事务中，抽象出其中的“形”和“数”及其之间的关系，就得到这些事物的数学本质。对事物数学本质的研究，可以发现事物的发展变化规律。寻求实际事物的数学本质，需要有透过现象看本质的能力。为

10、了这种能力的培养，我们设计了一种命题方法，这种方法在“华杯赛”中称之为“反建模方法”。利用这种方法，不仅能够提高学生的透过现象看本质的能力，而且还能够培养学生理论联系实际，解决实际问题的能力。同的实际问题可以有相同的数学本质机构精简“三好”生评选1建立指标各类资产各类负债，各科成绩，各种表现，个完全不同的实际各种效益， 身体状况问题，将他们的数2指标分类资产类，负俩类，效益类， 学习好，思想好，身体好学本质抽象出来3各指标的权重用数学方法给出用数学方法给出后，可以得到完全4分类排序按部分指标排序按部分指标排序相同的数学表述。5综合排序按全部指标排序按全部指标排序现举例说明。6按序选优淘汰差的选

11、择好的例 A,B 两地相距200 千米，甲，乙二车的时速分别为60 千米 40 千米。若甲、乙二车分别由A，B 两地同时出发，相向而行，问：出发后多少小时二车相遇？一水槽的容积为200 立方米，甲管每小时注水60 立方米，乙管每小时注水40 立方米。若两管同时开放，问：开放后几小时注满水槽？200是两个不同的问题，他们有着统一的数学模型：T 2（小时）。6040企业的精简机构与中小学的“三好”生评选，是两种完全不同的事情。现在我们来建立他们的数学模型2、用反建模方法设计数学问题问题：空间有n 个点，用直线段连接他们，如果不允许所连接的直线段构成三角形，问：最多可以连多少条直线段？答案是：n（）

12、 2，当n 为偶数时；2( n1)( n1) ，当 n 为奇数时。4在我们要做的是：设计出一个应用题，它以上面问题为它的数学模型。其方法如现在我们可以设计应用题了。机构精简“三好”生评选1建立指标各类资产各类负债，各科成绩，各种表现，各种效益， 身体状况2指标分类资产类，负俩类，效益类， 学习好，思想好，身体好3各指标的权重用数学方法给出用数学方法给出4分类排序按部分指标排序按部分指标排序5综合排序按全部指标排序按全部指标排序6按序选优淘汰差的选择好的题： n 台电脑联网，要求：1）任意两台电脑之间最多用一条电缆线联；）任意三台电脑之间最多用两条电缆相连。问：最多可以连接多少条电缆？数学对象点

13、直线段应用题的可能对象城市公路车站铁路电话机线路电脑电缆数学条件两点间最多能连接一条直线段不能构成三角形应用题条件两个电脑（城市、车站、电话机）间三个电脑 （城市等） 间最多用两最多有一条电缆（公路等）线连条电缆（公路等）相连是，实际中，都市设法节约电缆。如果我们问：最少连接多少电缆？回答是0 条。因为，我们没有提通讯要求。如果考虑到通讯要求，增加一个条件：3)若两台电脑之间没有电缆相连，那么，一定有另一台电脑与它们都有电缆相连，问：最少需要多少条电缆？问题 . 若干台计算机联网，要求：任意两台之间最多用一条电缆连接；任意三台之间最多用两条电缆连接；两台计算机之间如果没有连接电缆，则必须有另一

14、台计算机和它们都连接电缆 . 若按此要求最多可以连 1600 条，问：参加联网的计算机有多少台 ?这些计算机按要求联网，最少需要连多少条电缆 ?解：任选一台，记为A，凡与A条件第一组。A第二组条件 3有线相联的机器为第一组,A和其他机器为第二组，设第一组有m台，即A和第一组之间有m条连线，由条件，m1；设第二组有n台.条件，第一组的任两台之间都不能有连线;即A和第一组之间有且仅有m条连线；由条件，第二组中其它机器和A没有连线，所以第二组除A外的任一台都必须与第一组的某一台有至少1条连线，因此，最少有n1条连线.此时的连接方式，满足题目的三个条件，最少有mn1条连线.联网第条要求，如果第二组中某

15、两台计算机连接有电缆，第一组中任一台计算机就不能与第二组中这两台计算机都连接有电缆. 而当这两台机器没有连线时，它们都可以与第一组的所有机器相连. 这种情况说明第二组中增加一条电缆，则第一组与第二组之间连接的电缆就减少m 条 . 而且，按联网第条要求，第一组任一台计算机至多与第二组连接n 条电缆，也就是第一组与第二组之间最多连接mn 条电缆 . 设第二组中有 l 条电缆，则至多有 mnlml . 因为 m1 ，所以至多有 mn 条.当第一组的每一台计算机都与第二组的所有计算机连有电缆，则恰有mn 条 . 这个计算机网最多有1600条连线，所以，1600 条，mn80 时， mn179 .答：

16、参加联网的计算机有80 台； ?这些计算机按要求联网，最少需要连79 多少条电缆 .以上例子说明了什么是反建模方法。将一个实际问题抽象为一个数学问题（数学模型）的过程称为数学建模；而根据一个数学问题，去找到一个应用题，使得他的数学模型就是该数学问题，这样的过程，我们就叫他为反建模。上面问题就是空间中几何点与连线的计数问题的反建模。、化繁为简、由简到繁：对规律的认识，总是由简单到复杂。学数学也是先学整数，再学分数、小数，然后才是实数、复数。做数学题也是要遵守这个规律，从 1,2 ， 3， 到 n，从简到繁，从特殊到一般。设计数学问题也遵从这一规律，但是，最后设计出来的问题，却是以复杂的面孔出现，

17、特别是竞赛试题，更是这样。一些复杂的试题，独有他简单的原型。求解这类问题往往可以依照如下步骤：先找其简单的原型分析试题与原型的关系用简单的方法解原型找简单方法的内在规律推广到复杂试题。这就是我们说得从 1,2 ， 3，到 n。一堆球，若是10 的倍数个，使球数为为 10 的倍数个，在平均分成10 堆，拿走123456789101119981999200010 堆，拿走9 堆；若不是10 的倍数个，就添加几个，但少于9 堆。这一过程称为一次“均分”。若最初有10 个，使球数个球，请回答：经过多少次均分，添加多少个球后，仅剩余1 个球？解：我们可以认为只有1287 个球来进行匀分是这一问题的原型。

18、1287 3 12901 次129 1 1302 次13 7 203 次2 8 104 次1一次添加107 3第二次添加10（ 8 1） 1第三次添加10（ 2 1） =7第三次添加10（ 1 1） 81287 是四位数，添加了四次，均分了四次。因此，可以考虑，n 位数要均分n 次。添加的球数为10k（数字和 k 1）这里并不是严格的证明，但是从这里可以找到严格证明的方法。大数化的命题方法前面讲到，求和为 8 的若干个正整数，他们的乘积最大x1x2xn8x1 x2xn 最大这个问题的求解，可以采用试凑法，但是，我们将8 改成一个很大的数，就不能试凑了。另外，前面也讲到，找出5 个质数，他们成等差数列：p, pa, p2a, p3a, p4a, 且 p 最小。这里如果将5 个改成 6 个，则问题将大大地复杂化。而求分堆问题，