第四章扭转的强度与刚度计算.

1、一、传动轴如图19-5( a)所示。主动轮A输入功率Na =36.75kW，从动轮B、C、D输出功率分别为 Nb =Nc =11kW,ND =14.7kW，轴的转速为 n=300r/min。试画出轴的扭 矩图。M B I M C II M AIII M DIII(b)(c)(d)III DM n® M D468N m(e)702Nm图 19-5解 (1)计算外力偶矩：由于给出功率以kW为单位，根据(19-1)式：Na36.75Ma =9550=95501170(N m)n300Nb11M b =Mc=9550 =9550351 (N m)n300Nd14.7Md =9550 D=95

2、50468(N m)n300(2)计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：BC、CA、AD。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。BC段：以M n1表示截面I I上的扭矩，并任意地把M n1的方向假设为图19-5 ( b)所示。根据平衡条件 ' mx =0得：M n1 * M b 二0M 皿二-M b 二-351 (N m)结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC段内各截面上的扭矩不变，均为351N m。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA段内：M nn+ MC M B =0M n n = M c - M b = 702(

3、N m)AD 段：Mn 皿M d 0M n皿二M D =468(N m)根据所得数据，即可画出扭矩图图19 5(e)。由扭矩图可知，最大扭矩发生在 CA 段内，且 M “max =702 N m如图19-15所示汽车传动轴AB,由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径41D=90mm,壁厚t=2.5mm,工作时的最大扭矩Mn= 1.5kNm，材料的许用剪应力 =60MPa。求（1）试校核AB轴的强度；（2）将AB轴改为实心轴，试在强度相同的条件 下，确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。(1)校核AB轴的强度:dD -2tot =一 =D D90 -2 2.590= 0.944Wn二辛16（14

4、）二-：90316(1 一0.9444) =29400(mm3)轴的最大剪应力为-maxM n max150029400 10 62=51 10 (N/m ) = 51 MPa < t 故AB轴满足强度要求。（2）确定实心轴的直径：按题意，要求设 计的实心轴应与原空心轴强度相同，因此要求 实心轴的最大剪应力也应该是：max =51（MPa）设实心轴的直径为D1，则42_ 1500D1316=51 106Dr =3 1500 汉1 =0.0531(m) =53.1(mm) ,二 51 106在两轴长度相同，材料相同的情况下，两轴重量之比等于其横截面面积之比，即A空心A实心2 290 855

5、3.12=0.31如图19-16所示的阶梯轴。AB段的直径d1=4cm, BC段的直径d2 =7cm，外Mn(a)图 19-16(b)力偶矩Mi = 0.8kN -m, M3=1.5kN -m,已知材料的剪切弹性模量G = 80GPa，试计算 *和最大的单位长度扭转角'max。解(1 )画扭矩图：用截面法逐段求得：M ni = M i =0.8 kN - mM 门2 二M 3 二1.5 kN m画出扭矩图图19-16 (b)(2)计算极惯性矩:I P1兰 竺=25.1 (cm4)3232I P2E474 .2363232(cm4)(3)求相对扭转角AC :由于AB段和BC段内扭矩不等，

6、且横截面尺寸也不相同，®AB和® BC，然后取®AB和® BC的代数和,故只能在两段内分别求出每段的相对扭转角即求得轴两端面的相对扭转角AC。6_Mn1l10.8 10800GI p1 80 103 25.1 104= 0.0318 (rad)BC6_Mn22 _ -1.5 101000GI p2 80 103236 104二 AB BC =0.0318 -0.0079=-0.0079 (rad)=0.0239 (rad) =1.37 °30043(4)求最大的单位扭转角：max :考虑在AB段和BC段变形的不同，需要分别计算其单位扭转角。A

7、DAB0.0318n HQOQ ( r o /4m O OQ / mAB段-AB - 0.0398(i a dm) 2.28 / ml10.8BC段cp a十BC-BC -0.0079= -0.0079(r a dm) =-0.453 /ml21.0负号表示转向与=AB相反。所以 m a x= ZAB = 2.28o/m四、实心轴如图19-17所示。已知该轴转速n = 300r/min，主动轮输入功率NC=40kW,从动轮的输出功率分别为NA=10 kW, NB=12 kW, ND =18 kW。材料的剪切弹性模量G = 80GPa，若1= 50MPa ,字=0.3o/m，试按强度条件和刚度条

8、件设计此 轴的直径。解(1)求外力偶矩:Ma=9550业=9550 卫 318(N - m)n300NbM B =9550BnNCMC =9550Cn12=9550382 (N - m)300=9550401273( N - m)NM D =9550 - =9550 8 573( N m) n300图 19-17(a)47(2)求扭矩、画扭矩图：M ni - -M a - 3 1 8N m)M n2 - -M a -M b i -318 -382 - -700 (N m)M n3 =M D =573 (N m)BC段根据以上三个扭矩方程，画出扭矩图图19-17 ( b)。由图可知，最大扭矩发生

9、在内，其值为：Mn max" 0N m因该轴为等截面圆轴，所以危险截面为BC段内的各横截面。(3)按强度条件设计轴的直径：由强度条件：'max二d316d _316M nmaxr_3 16 700 10:'： > 50=41.5(mm)(4)按刚度条件设计轴的直径：由刚度条件:M n max 180X.-'maxGl p 二d4"P - 32得 d> 4 32 M n max 180,32 700 103 18043, =64.2(mm)80 100.3 1064.2mm。为使轴同时满足强度条件和刚度条件，所设计轴的直径应不小于五、油泵分

10、油阀门弹簧工作圈数n = 8,轴向压力P = 90N，簧丝直径d =2.25mm,簧圈外径Di=18mm,弹簧材料的剪切弹性模量 G = 82GPa , !. .1= 400 MPa。试校核簧丝 强度，并计算其变形。解(1)校核簧丝强度：簧丝平均直径：D =D1 -d = 18 2.25 = 15.75 (mm)弹簧指数：15.75-2.25=7 ：:10由表19-1查得弹簧的曲度系数k=1.21，则：|.-max8PD=1.218 90 15.75二 2.253= 380(MPa) ：.该弹簧满足强度要求。(2)计算弹簧变形：3 38PD n 8 90 15.758,、4 34 '

11、10.7(mm)Gd 482X103 X2.25419-1 说明扭转应力，变形公式二二匹一Ip应力变形公式时是否也有这些条件限制？MnGI pdx的应用条件。应用拉、压19-2扭转剪应力在圆轴横截面上是怎样分布的？指出下列应力分布图中哪些是正 确的？19-3 一空心轴的截面尺寸如图所示。它的极惯性矩 按下式计算？为什么？I p和抗扭截面模量 Wn是否可-：D432a-：-4)二D316(1-4)19-4 若将实心轴直径增大一倍，而其它条件不变，问最大剪应力，轴的扭转角将 如何变化？19-5 直径相同而材料不同的两根等长实心轴，在相同的扭矩作用下，最大剪应力 max、扭转角和极惯性矩Ip是否相同

12、？19-6 何谓纯剪切？何谓剪应力互等定理？(a)(b)(d)思考题19-3图思考题19-2图习题19-1绘制图示各杆的扭矩图。(a)(c)伦-q2kN -m 1kNm 4kN -m 1kN -m题19-1图19-2 直径为D =5cm的圆轴，受到扭矩Mn=2.15kNm的作用，试求在距离轴心1cm 处的剪应力，并求轴截面上的最大剪应力。19-3 已知作用在变截面钢轴上的外力偶矩m1 =1.8kN m，m2=1.2kNm。试求最大剪应力和最大相对转角。材料的G=80GPa。19-4 已知圆轴的转速n =300r/min，传递功率 330.75kW，材料的.=60MPa，G =82GPa。要求在

13、2m长度内的相对扭转角不超过1o,试求该轴的直径。19-5 图示一圆截面直径为 80cm的传动轴，上面作用的外力偶矩为 m)1=1000N m, m2 =600N m, m3 =200N m, m4 =200N m, (1 )试作出此轴的扭矩图， (2)试计算各段 轴内的最大剪应力及此轴的总扭转角(已知材料的剪切弹性模量G=79GPa); (3)若将外力偶矩m1和m2的作用位置互换一下，问圆轴的直径是否可以减少？19-6 发电量为15000kW的水轮机主轴如图所示，D =55cm, d =30cm，正常转速n =250r/min。材料的许用剪应力=50MPa。试校核水轮机主轴的强度。题19-3

14、图m4 m3m2mi1 m1.5 m2m题19-5图D2题19-7图19-7 图示AB轴的转速n =120r/min，从B轮输入功率 N=44.15kW，此功率的一半 通过锥形齿轮传给垂直轴C,另一半由水平轴 H输出。已知D1=60cm ,D2=24cm ,d1=10cm,d2=8cm， d3=6cm， . =20MPa。试对各轴进行强度校核，19-8 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速n =100r/min，传递的功率N=7.5kW，材料的许用应力.=40MPa。试选择实心轴直径 d1和内外径比值 为1的空心轴的外径D2。219-9 已知一皮带轮传动轴。 主动轮A由电动机

15、输入功率 Na = 7.35 kW，B轮和C轮 分别带动两台水泵，消耗功率 Nb =4.41 kW， Nc=2.94kW，轴的转速n =600r/min,轴的 材料=20MPa，G=80GPa，节=1o/m，试按强度和刚度条件确定轴的直径 d。2d-192V题19-8图M b |_|M c题19-9图19-10 钢质实心轴和铝质空心轴（内外径比值0=0.6）的横截面面积相等。钢=80MPa , 铝=50MPa。若仅从强度条件考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩?19-11 传动轴的转速 n =500r/min，主动轮I输入功率 2 =367.5kW，从动轮2、3分 别输出功率 N2=147kW, N

16、3=220.5kW。已知=70MPa ,扪=1o/m, G =80GPa （1 ）试 确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。（ 2）若AB和BC两段选用同一直径，试确定直 径d。（ 3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。N1题19-11图#19-12 图示圆轴的直径 d=50mm,外力偶矩 m=1kN?m,材料的 G=82GPa。试求：（1）横截面上A点处（pA=d/4 ）的剪应力和相应的剪应变；（2）最大剪应力和单位长度相对扭转角。19-13 由厚度t=8mm的钢板卷制成的圆筒，平均直径为D=200mm。接缝处用铆钉铆接。若铆钉直径 d=20mm,许用剪应力T=60 MPa，许用挤压应力%=160 MPa，筒的 两端受扭转力偶矩 m=30kN m作用，试求铆钉的间距 s。题19-12图题19-13图19-14 圆截面杆AB的左端固定，承受一集度为 m的均布力偶矩作用。试导出计算 截面B的扭转角的公式。19-15 受扭转力偶作用的圆截面杆，长l=1m,直径d=20mm,材料的剪切弹性模量G=80GPa，两端截面的相对扭转角护0.1 rad。试求此杆外表面任意点处的剪应变，横截面上的最大剪应力和外加力偶矩m。ml题19-15图19-16 圆柱形密圈螺旋弹簧， 簧丝横截面直径 d =18mm,弹簧平均直径 D =125mm, 弹