回归分析（理）

1、1、两个变量的关系、两个变量的关系不相关不相关相关相关关系关系函数关系函数关系线性相关线性相关非线性相关非线性相关问题问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？些呢？相关关系：相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。之间的关系。思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况.问题问题2：对于线性相关的两个变量用

2、什么方法：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？来刻划之间的关系呢？2、最小二乘估计、最小二乘估计最小二乘估计下的线性回归方程：最小二乘估计下的线性回归方程：ybxa121()()()niiiniixXyYbXX aYbX 对一作直线运动的质点的运动过程作了8次观测，得到下表，试估计x=9s时的位置y的值。时刻x/s12345678位置观测值y/cm5.547.5210.02 11.73 15.69 16.12 16.98 21.06例如：例如：i12345678xi12345678 4.50yi5.547.5210.0211.7315.6916.1216.9821.0613.0

3、8xiyi5.5415.0430.0646.9278.4596.72118.9168.5560.1xi21491625364964204根据线性回归的系数公式，可以得到a=3.5361,b=2.1214得到线性回归方程 y =3.5361+2.1214 x当x=9时，可以估计其位置值为22.6287. y3、回归分析的基本步骤回归分析的基本步骤:画散点图画散点图 求回归方程求回归方程预报、决策预报、决策 数学必修统计1. 画散点图画散点图2. 了解最小二乘法的思想了解最小二乘法的思想3. 求回归直线方程求回归直线方程4. 用回归直线方程解决应用问题用回归直线方程解决应用问题4、线性回归模型线性

4、回归模型yabx其中其中a+bx是确定性函数，是确定性函数， 是随机误差是随机误差注：注： 产生的主要原因：产生的主要原因： (1)所用确定性函数不恰当；所用确定性函数不恰当； (2)忽略了某些因素的影响；忽略了某些因素的影响； (3)观测误差观测误差.思考：在时刻x=9s时，质点运动位置一定是22.6287cm吗？bxay 称为称为线性回归模型线性回归模型. .应该考虑下面两个问题应该考虑下面两个问题: :1)1)模型是否合理模型是否合理; ;2)2)在模型合理的情况下在模型合理的情况下, ,如何估计如何估计a,b.a,b.探究探究在模型合理的情况下在模型合理的情况下, ,如何估计如何估计a

5、,b?n nn ni ii ii ii ii i= =1 1i i= =1 1n nn n2 22 22 2i ii ii i= =1 1i i= =1 1( (x x - -x x) )( (y y - -y y) )x x- -n nx xy yb b = = =, ,( (x x - -x x) )x x - -n nx xa a = = y y- -b bx xy y线性回归方程线性回归方程 y = bx+ay = bx+a(x,y)(x,y)1） 称为样本点的中心称为样本点的中心.2） 称为回归截距称为回归截距; 称为回归系数称为回归系数.a b y 称为回归值称为回归值. .3）

6、的意义是：以的意义是：以 为基数，为基数，x每增加每增加1个单位，个单位，y相应地平均增加相应地平均增加 个单位个单位.a b ,a b 例题例题1.一个车间为了规定工时定额，需要确定一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，次试验，测得数据如下：测得数据如下：零件数零件数（x）个）个10 20 30 40 50 60708090100加工时加工时间间y6268 75 81 89 95102108 115 122(1)y与与x是否具有线性相关？是否具有线性相关？(2)若若y与与x具有线性相关关系，求回归直线方程具有线性相关关系

7、，求回归直线方程.(3)预测加工预测加工200个零件需花费多少时间？个零件需花费多少时间？分析：这是一个回归分析问题，应先进行分析：这是一个回归分析问题，应先进行线性相关检验或作散点图来判断线性相关检验或作散点图来判断x与与y是否是否具有线性相关才可以求解后面的问题具有线性相关才可以求解后面的问题.作散点图如下：作散点图如下：不难看出不难看出x,y成线性相关成线性相关.解解（1）列出下表：）列出下表：i12345678910 xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401

8、035012200问题：有时散点图的各点并不集中在一条直线的附近，仍然可以按照求回归直线方程的步骤求回归直线，显然这样的回归直线没有实际意义.在怎样的情况下求得的回归直线方程才有实际意义？即建立的线性回归模型是否合理？探究探究怎样判断模型是否合理呢怎样判断模型是否合理呢?散点图只是形象地描述点的分布情况散点图只是形象地描述点的分布情况,它的它的“线性线性”是否是否明显只能通过观察明显只能通过观察,要想把握其特征要想把握其特征,必须进行定量的研究必须进行定量的研究相关系数相关系数 1.1.计算公式计算公式 2 2相关系数的性质相关系数的性质 (1)|r|1(1)|r|1 (2)|r|(2)|r|

9、越接近于越接近于1 1，相关程度越强；，相关程度越强；|r|r|越接近于越接近于0 0，相关程度越弱相关程度越弱 注注: :b b 与与 r r 同号同号 问题：达到怎样程度，问题：达到怎样程度，x x、y y线性相关呢？它们的相线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？关程度怎样呢？n ni ii ii i= =1 1n nn n2 22 2i ii ii i= =1 1i i= =1 1( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )r r = =( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )2 2_ _n n1 1i i2 2i i2 2_ _n n1

10、1i i2 2i in n1 1i i_ _ _i ii iy yn ny yx xn nx xy yx xn ny yx x建构数学建构数学负相关负相关正相关正相关n n(x -x)(y -y)(x -x)(y -y)iiiii=1i=1r=r=nnnn2222(x -x) (y -y)(x -x) (y -y)iiiii=1i=1i=1i=1相关系数相关系数正相关；负相关通常，正相关；负相关通常， r r-1,-0.75-0.75-负相关很强负相关很强; ; r0.75,1正相关很强正相关很强; r-0.75,-0.3-负相关一般负相关一般; ; r0.3, 0.75正相关一般正相关一般;

11、 r r-0.25, 0.25-0.25-相关性较弱相关性较弱; ; 相关系数相关系数r r的绝对值与的绝对值与1 1接近到什么程度才表明利用接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢线性回归模型比较合理呢? ?对对r r进行进行显著性检验显著性检验 检验方法步骤如下检验方法步骤如下: :1.1.提出统计假设提出统计假设H H0:0:变量变量x,yx,y不具有线性相关关系不具有线性相关关系; ;2.2.如果以如果以95%95%的把握作出推断的把握作出推断, ,那么可以根据那么可以根据1-0.951-0.95( (其中其中1-0.95=0.051-0.95=0.05称为检验水平称为检验水平)

12、 )3.3.计算样本相关系数计算样本相关系数r r有线性相关关系有线性相关关系=0.05=0.05与与n-2n-2在附录在附录1 1中查出一个中查出一个r r的临界值的临界值05. 0r4.4.作出统计推断作出统计推断: :若若|r| ,|r| ,则否定则否定H H0,0,表明有表明有95%95%的把握认为的把握认为x x与与y y之间具有线性相关关系之间具有线性相关关系; ;05. 0r若若|r| ,|r| ,则没有理由拒绝原来的假设则没有理由拒绝原来的假设H H0,0,即即就目前数据而言就目前数据而言, ,没有充分理由认为没有充分理由认为y y与与x x之间之间05. 0r例题例题: :下表是随机抽取的下表是随机抽取的8 8对母女的身高数据，对母