勾股定理(基础)知识讲解

1、勾股定理（基础）撰稿：吴婷婷 责编：常春芳【学习目标】1掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题.【要点梳理】【高清课堂勾股定理知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两直角边长分别为a, b，斜边长为c，那么a2 b2 = c2.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）禾U用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长 可以建立方程求解，这样就将数与

2、形有机地结合起来，达到了解决问题的 目的.2二 a b - 2ab .（3）理解勾股定理的一些变式：2 2.2.2 2 2要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（a c -b , b 二c -a ,1）所示的正方形.图（1 ）中:，所以!-:方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中：，所以二nu方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.苛如CD '要点三、勾股定理的作用1.2.3.-,，.-,所以./ C= 90°, b = 6, c = 10,(2 )设a = 8.a = 3k , c/ C= 90°=

3、5k ,b = 32,已知直角三角形的任意两条边长，求第三边; 用于解决带有平方关系的证明问题； 与勾股定理有关的面积计算；4. 勾股定理在实际生活中的应用.【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用 、在 ABC中，/ C= 90°,/ A、/ B/ C的对边分别为 a、b、C .(1) 若 a = 5, b = 12,求 c ；(2) 若 c = 26, b = 24,求 a .【思路点拨】利用勾股定理a2，b2=c2来求未知边长.【答案与解析】 解：(1)因为 ABC中，/ C= 90°, a2 b2 =c2, a = 5, b = 12,所以 c2 =a2 b2 =52

4、 122 =25 144 =169 所以 c = 13.2 2 2(2)因为 ABC中,/ C= 90° , a b 二C , c = 26, b = 24,所以 a2 二 c2 b2 =262 -242 =676 576 =100 所以 a = 10.【总结升华】 已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式.举一反三：【变式】在厶 ABC中，/ C= 90°,/ A / B/ C的对边分别为 a、b、c .(1) 已知 b = 6, c = 10,求 a；(2) 已知 a:c=3:5, b = 32,求 a、c.【答

5、案】解: (1)22, 222a 二 c - b =10 - 6 =64 ,a2 b2即(3k)2 322 =(5k)2.解得k = 8.a = 3k = 3 8 = 24 , c = 5k = 5 8 = 40 .类型二、与勾股定理有关的证明2、如图所示，在 Rt ABC中，/ C= 90° , AM是中线，MNLAB 垂足为 N,试说明 AN2 - BN2 二 AC2 .2 2 2 2 2 2解：因为 MNLAB,所以 AN MN = AM , BN MN = MB ,所以 AN2 - BN2 二AM 2 -BM 2.因为AM是中线，所以 MC= MB又因为/ C= 90

6、6;,所以在 Rt AMC中, AM2-MC2=AC2 ,所以 AN2 - BN2 = AC2 .【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化.若 没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明.举一反三：【变式】如图，在 ABC中，/ C = 90°,D为BC边的中点，DE丄AB于E,贝U AE2-BE2等于（）A . AC2B . BD22C . BC2D . DE2liti【答案】连接AD构造直角三角形，得匸n 工 匚二 匸,选 a.类型三、与勾股定理有关的线段长【高清课堂勾股定理例3】3、如图，长方形纸片 ABCD中，已知AD

7、- 8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B 落在点F处，折痕为AE,且EF= 3,则AB的长为（）A. 3 B . 4 C. 5 D . 6E【答案】D;【解析】解：设 AB= X，则 AF= x, ABE折叠后的图形AFE, ABEA AFE BE= EF,EC= BC- BE= 8- 3 = 5, 在 Rt EFC 中，由勾股定理解得FC= 4,2 2 2在 Rt ABC中, x2 8= x 4 ，解得 x = 6 .【总结升华】 折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解. 类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线I上有二个正方形a, b, c,若a,

8、c的面积分别为5和11,则b的面 积为（）A. 6B . 5 C . 11 D . 16【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求 ABCCDE由勾股定理可求 b的面积=a的面积+c的面积.【答案】D【解析】解：/ ACB+Z ECD=90，/ DEC+Z ECD=90 ,/ ACB玄 DEC在厶ABC和 CDE中，ABC "CDEEACB "DECAC =CE ABCA CDE BC=DE/ AB2 BC2 二 AC22 2 2- AB DE 二 AC b的面积为5+11=16，故选D.【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题,

9、 解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键.考查了对勾股定理几何意义的理类型五、利用勾股定理解决实际问题圆形饭盒,底面半径为8cm，高为12cm，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖?【答案与解析】 解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm，所以底面直径 DC长为16cm .则在 Rt BCD中，BD2 =DC2 BC2=162+122=400，所以 BD =20 (cm).答：筷子最长不超过 20 cm，可正好盖上盒盖.【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长.举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有