医药高等数学_第二章ppt课件

1、第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数概念导数概念第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则第三节第三节 高阶导数高阶导数第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定的函隐函数及由参数方程所确定的函数数相关变化率相关变化率的导数的导数第五节第五节 函数的微分函数的微分第一节第一节 导数概念导数概念一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数可导性与连续性的关系四、函数可导性与连续性的关系一、一、 引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t那么 到 的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt

2、 而在 时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt so)(0tf)(tft xyo)(xfy C2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线)(:xfyCNT0 xM在 M 点处的切线x割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx切线 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx两个问题的共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限

3、 .类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数假设的某邻域内有定义 , 在点0 x处

4、可导, 在点0 x的导数. 运动质点的位置函数)(tfs 在 时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线)(:xfyC在 M 点处的切线斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 00)()(xxxfxfxyx0lim若上述极限不存在 ,在点 不可导. 0 x,lim0 xyx)(xf就说函数的导数为无穷大 .0limxx也称在注:0 x导函数的定义 如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作y)(xf dxdy 或dxxdf)( 易见易见.)()(. 10

5、0 xxxfxf 求导数的步骤求导数的步骤);()(xfxxfy (1)求增量;)()(xxfxxfxy (2)算比值.lim0 xyyx (3)(3)求极限求极限例例1. 求函数求函数)N()(nxxfn.处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nan说明：说明：对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21xhxhxhsin)sin(lim0例例2. 求函数求函数xxfsin)(的导数. 解解:,xh令那么)(xf hxfhxf)()(

6、0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cosh解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax 例例3)1, 0()( aaaxfx求函数求函数的导数的导数.ln)(aaaxx .)(xxee 即即例例4 求函数求函数 的导数的导数 )1, 0(log)( aaxxfa解解0()( )( )limhf xhf xfxh1(log)lnaxxa 01limlogahxhhx0log ()log ( )limaahxhxh01limlog (1)xhahhxx1.lnx

7、a即即1(ln )xx xy xyo解解( )(0),xf xfxx因为00( )(0)limlimxhf xfxxx, 1 00( )(0)limlim1xhf xfxxx .0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy处的可导性.处的可导性.在在讨论函数讨论函数0)( xxxf例例5),0()0( ff即即单侧导数单侧导数1.左导数左导数:0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 2.右导数右导数:0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 函数f(x)在某点处可导左导数和右导数都存在且相

8、等.函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一点可导 函数f(x)在闭区间a b上可导是指函数f(x)在开区间(a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导数 三、导数的几何意义三、导数的几何意义oxy)(xfy 0 xM1.1.几何意义几何意义)( 为倾角为倾角即即切线的斜率,切线的斜率,处的处的在点在点表示曲线表示曲线tanxfxfxf(x)y)(xf00)()(,M(00切线方程为切线方程为).)(000 xxxfyy 法线方程为法线方程为).()(1000 xxxfyy T 解 21xy 解解 所求法线方程为 并写出在该点处的切线方程和法线方程 所求切线及法线的斜率分别

9、为 4)1(2121xxk 所求切线方程为 )21( 42xy 即4x+y-4=0 )21(412xy 即2x-8y+15=0 4)1(2121xxk 41112kk 例6.求等边双曲线 在点 处的切线的斜率1yx1( ,2)2例例7. 问曲线问曲线3xy 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线131xy平行 ? 写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1) , (1,1) 处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原点 (0 , 0) 有垂直切线处可导在点x

10、xf)(四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续 .注意注意: 函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 处连续 , 但不可导.即解解1sinx因为是是有有界界函函数数, ,01lim sin0 xxx所以处处有有但但在在0 x1sin0( )(0)xf xfxxx1sinx( )(0)0f xfxx当当时时, ,在在 1

11、 1和和1 1之之间间振振荡荡而而极极限限不不存存在在. .( )0.f xx 所以在在处处连连续续0(0)lim( )0 xff x1sin,0( ),0,0 xxf xxx例例8 讨论函数讨论函数( )f x所以在在x=0处不可导处不可导在x=0处的连续性和可导性内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1

12、增量比的极限;切线的斜率;()xa lnxaa思考与练习思考与练习1. 函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联络:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数2. 设设)(0 xf 存在 , 那么._)()(lim000hxfhxfh3. 知知,)0(,0)0(0kff那么._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 设设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim

13、0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0( f此时)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x = 0 连续 .解解: 因为因为5. 设设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f解解: 因为因为6. 设设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1

14、( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 2.2 函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv

15、那么此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设, 那么vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如,返回(2)vuvuvu )(证证: : 设设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxu推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu( C为常数 )0

16、( ( )( ( )( ) ( )limhu xu v xvu x v xh0( )limhuv xh0( )limhu xvh0limhu vh 返回xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 解解 例例1 例 2 2 sincos4)(3xxxf 求 f (x)及)2 (f 443)2 (2f 例例2 y=ex (sin x+cos x) 求求y 2excos x 解解 y=(ex)(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x) e x (sin x+cos x)e x (cos x -sin x) (uv)uv (uv)uvuv 2)(vvuvuvu 求

17、导法则xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 例4 ysec x 求y xxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(secxx2cossinxxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(secxx2cossinsec x tan x )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因而,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)

18、()(xfxxfy,0 yx所以yx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11那么 例例6 求求(arctan x)及及(arccot x) 解解 因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx 类似地有 211)cotarc(xx 例例5 求求(arcsin x)及及(

19、arccos x) 解解 因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx 类似地有 211)(arccosxx )(1 )(1yfxf 反函数的求导法则:在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导.复合函数 fy

20、)(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy那么例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 解解 )()(xgufdxdy或dxdududydxdy 复合函数的求导法则:例 10 212sinxxy 求dxdy 例例7 解 函数212sinxxy是由 ysin

21、 u 212xxu复合而成的 因此 2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy 例例8. 求下列导数求下列导数:(1) () ;(2) () .xxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)例 13ylnc

22、os(e x) 求dxdy 例9解 )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeeexexx1cos11sin2 )()(xgufdxdy或dxdududydxdy 复合函数的求导法则:例 14xey1sin 求dxdy 例10 解 解 解 )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx)1(1co

23、s)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx 四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x2. 导数的四则运算法则 )(vuvu )( uCuC )(

24、 vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v4. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd3.反函数求导法则 1( )fx1( )fy例例11. 求解解:由于由于,1111xxxxy.y22212xxy12xx1y 所以1212x)2( x112xx例例12.设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln例例13. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2c

25、os x2sin xe112xx例例14. 设设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx例例15. 假设假设)(uf 存在 , 求(lncos )fx的导数.xfdd( lncos)fx(lncos ) x lncos( )uxf u这两个记号含义不同练习练习: 设设,)(xfffy .,)(yxf求可导其中( lncos)fx1(cos )cosxxtan(lncos )xfx解解: :)(fy)(xff)(f )(x

26、f)(xf 思考与练习思考与练习1. 设设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,2. 求下列函数的导数求下列函数的导数解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln3. 设设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用导数定义利用导数定义.0)0()(lim)0(0 x

27、fxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式利用求导公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f二、高阶导数的运算法则一、高阶导数的概念 2.3 高阶导数一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例：变速直线运动引例：变速直线运动定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(,ny

28、或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数 , 记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作则称证明 因为22212222xxxxxxy所以y 3y10 y(y) f (x)f (x) )(22dxdydxddxyd 22222222)1 (2xxxxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 证明证明 例例1 22212222xxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 证明 函数2

29、2xxy满足关系式013 yy 设( )fx存在，求下列函数的二阶导数22.d ydx解解:（1）dydx例例2.（1）();xyf e（2）( ).f xye()xxfe e()()xxfee22d ydx()()()xxxxfeefee()()()xxxxxfeeef e e2()()xxxxfe efe e（2）dydx( )( )f xefx22d ydx( )2( )( )( )f xf xefxefx设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212 ayxa3232) 1(nnxann依次类推 ,nnany!)(233xa例例3.考虑考虑: 设设

30、, )(为任意常数xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(问可得nx)1 ( ,3xaeay 例例4. 设设求解解:特别有:解解:! ) 1( n规定 0 ! = 1,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例5. 设设, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n,例例6. 设设,sinxy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证

31、:xxncos()(cos)()2n)2n例例7. 设设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x阶数二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 那么)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C为常数)()(. 3nvuvun)(

32、!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn) 1(vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .例例8. ,22xexy 求.)20(y解解: 设设,22xveux那么xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k(1) 逐阶

33、求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn例例9. 如何求下列函数的如何求下列函数的 n 阶导数阶导数?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 2312xxy(3)1121xx1(2)(1)xx解:(1)(2)(2)(1)xxxx( )1111( 1) !(2)(1)nnnnynxx 二、由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数2.4隐函数和

34、参数方程求导三、相关变化率一、隐函数的导数一、隐函数的导数显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 例如 方程xy310确定的隐函数为 31 xy 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出. 例1 求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数 (ey)(xy)(e)(0) 即 eyyy+xy0 方程中每一项对x求导得 解 从而 yexyy(xe y0) 例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在 x0处

35、的导数y|x0 因为当x0时 从原方程得y0 所以 5y4y2y121x60方程两边分别对x求导数得 解 由此得 2521146yxy 21|25211|0460 xxyxy 例例3. 求椭圆求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx 解 上式两边再对x求导 得 的二阶导数 例例4 例例 4求由方程0sin21yyx所确定的隐函数 y 方程两边对x求导 得 0cos211dxdyydxdy 于是 ydxdycos22 3222)

36、cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd y f(x)ln f(x) 对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数 此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数 设yf(x) 两边取对数 得ln yln f(x) 两边对x 求导 得对数求导法 )(ln1xfyy 例5 求yx sin x (x0)的导数 xxxxyy1sinlncos1 于是 )1sinln(cosxxxxyy )

37、sinln(cossinxxxxxx 解法二解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求. 解法一解法一 上式两边对x 求导 得 两边取对数 得 ln ysin xln x yx sin xe sin xln x )sinln(cos)ln(sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx)sinln(cos)ln(sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx 上式两边对x求导 得 说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的 例例6 例例 6 求函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数 先在两边取对数 得 ln y21ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(

38、x4) )41312111(211xxxxyy 于是 )41312111(2xxxxyy 解解 设xj(t)具有反函数tj-1(x) 且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yyj-1(x) 若xj(t)和yy(t)都可导 那么)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy即 )()(ttdxdy或dtdxdtdydxdy )()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy 二、由参数方程所确定的函数的导数 设 y 与 x 的函数关系是由参数方程)()(tytx确定的 若 x(t)和 y(t)都可导 则)()(ttdxdy 解解

39、 tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin( 解 tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin( 切点的坐标为224 cos0aax 切线方程为)22(22axabby 即 bxay2ab 0 224 cos0aax 224sin0bby 所求切线的斜率为abdxdyt4 例例7 7 求椭圆tbytaxsincos在相应于4 t点处的切线方程 再求速度的方向 设a是切线的倾角 则轨道的切线方向为于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为 x (t)=v1 y(t)=v2-gt 求抛

40、射体在时刻t的运动速度的大小和方向 例例8 抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为 22121gttvytvx 速度的水平分量与铅直分量分别为 先求速度的大小 解解 22)()(tytxv2221)(gtvv 12)()(tanvgtvtxtydxdy 讨论: 已知xj(t), yy(t) 如何求y对x的二阶导数y? 例例9. 设设,1221tytx求.dd22xyxydd;1t22ddxy21tt31t例例10. 设设)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty解解:的函数yf(x)的二

41、阶导数 解解 )()(txtydxdy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata 解 2cotcos1sintttdxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(22(t2np n为整数) 22)cos1 (1)cos1 (12sin21tatat)()(txtydxdy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata)()(txtydxdy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata 2cotcos1sinttt(t2n n 为整数) dxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(2222)cos1 (1)cos1

42、 (12sin21tatat 例例1111计算由摆线的参数方程)cos1 ()sin(tayttax所确定 三、相关变化率三、相关变化率)(, )(tyytxx为两可导函数yx ,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例例12. 一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上处离地面铅直上升升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 500h解解: 设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h , 仰角为仰角为

43、,那么tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001知,minm140ddth h = 500m 时,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(二、微分的几何意义一、微分的概念一、微分的概念 2.5函数的微分三、微分的运算法则四、微分在近似计算中的应用一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 那么,2xA0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x关于x

44、 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx边长由其的微分,定义定义: 若函数若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd定理定理: 函数函数)(xfy 在点 可微的充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在点0 x可微可微,定理定理 : 函数函数证证: “必要性必要性” 知)(xfy 在点 可微 ,0 x那么)()(00 xfxxfy

45、)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0定理定理 : 函数函数)(xfy 在点 可微的充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即xxfy)(d0在点 的可导,0 x)0)(0时 xf那么注注: :0)(0 xf时 ,xxfy)(d0)()(

46、0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时, 有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当 例例1 求函数求函数yx2在在x1和和x3处的微分处的微分 dy(x2)|x1Dx2Dx 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3Dx6Dx 例2 求函数 yx3当x2 Dx 002时的微分 yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dy= f (x0)Dx 解 函数yx2在x1处的微分为 解解 先求函数在任意点x 的微分 dy(x3)Dx3x2Dx 再求函数当x2 Dx002时的微分 dy|x=2, Dx=0.02=3220.0

47、2=0.24=3x2| x=2, Dx=0.02 当|Dx|很小时 |Dydy|比|Dx|小得多 因而 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似代替曲线段 Dy是曲线上点的纵坐标的增量; dy是过点(x0 f(x0)的切线上点的纵坐标的增量. 当x从x0变到x0+Dx时二、微分的几何意义则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商自变量的微分自变量的微分, ,为称 x记作xdxyxd记d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(cs

48、c x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx (xm)m xm1 (sin x)cos x (cos x)sin x(tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (csc x)csc x cot x (a x)ax ln a (e x)ex微分公式: 导数公式: 1.基本初等函数的微分公式三、微分的基本公式和运算法则axxaln1)(logxx1)(ln211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cotarc(xxdxaxxdaln1)(logdxxxd1)(ln

49、dxxxd211)(arcsindxxxd211)(arccosdxxxd211)(arctandxxxd211)cotarc(微分公式: 导数公式: 2、 微分的四则运算法则微分的四则运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 那么)(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变微分形式不变3. 复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv 在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量 例例3 ysin(2x1)

50、求求dy 2cos(2x1)dx cos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sin u) cos udu 若yf(u) uj(x) 则dyf (u)du 解解 把2x1看成中间变量u 那么 例例4 例例 4 )1ln(2xey 求 dy )1 (11)1ln(222xxxedeeddyxdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212 解解 )1 (11)1ln(222xxxedeeddy xdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212xdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212 例例5. 设设,0)c

51、os(sinyxxy求 .dy解解: 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 , 有有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例6. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd) d() 1 (ttdcos) d()2(221xtsin1说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意: 数学中的反问题往往出现多值性.四、微分在近似计算中的应用1.函数的近似计算 )()(0 xoxxfy当

52、x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x证明证明: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1 (180dx29sin的近似值 .解解: 设设,sin)(xxf取300 x,62929180 x那么2123)0175.

53、0(485. 06sin6cos)180(例例7. 求求18029sin29sin5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3例例8. 计算计算xx1)1 (例例9. 有一批半径为有一批半径为1cm 的球的球 , 为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为已知球体体积为334RV镀铜体积为 V 在01. 0, 1RR时体积的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用铜约为16. 113. 09 . 8( g )用铜多少克 . )cmg9 . 8:(3铜的密度估计一下, 每只球

54、需要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,aA称为a 的绝对误差aaA称为a 的相对误差假设AaAA称为测量 A 的绝对误差限aA称为测量 A 的相对误差限误差传递公式误差传递公式 :已知测量误差限为,x按公式)(xfy 计算 y 值时的误差yydxxf)(xxf)(故 y 的绝对误差限约为xyxf)(相对误差限约为xyxfxfy)()(若直接测量某量得 x ,例例10. 设测得圆钢截面的直径设测得圆钢截面的直径 mm,0 .60D测量D 的 绝对误差限,mm05. 0D欲利用公式24DA圆钢截面积 ,解解: 计算 A 的绝对误差限

55、约为DAADD205. 00 .602715. 4 A 的相对误差限约为242DDADADD20 .6005. 02%17. 0试估计面积的误差 . 计算(mm)练习练习1.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21dtan2.dsinxxx3sec3. d( )sin2 dxxCx2cos214. 设)(xyy 由方程063sin33yxyx确定,.d0 xy解解: 方程两边求微分, 得xx d32当0 x时,0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y二、导数和微分的计算一、导数和微分的概念及应用一、导数和微分的概念及应用第二章习题课第二章习题课一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 导数 :xxfxxfxfx)()(lim)(0当时,为右导数当时,为左导数0 x)(xf0 x)(xf 微分 :xxfxfd)()(d 关系关系 :可导可微 应用 :(1) 利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他求导公式都可由它们及求导法则推