备战2019高考数学大二轮复习专题四数列专题能力训练11等差数列与等比数列理

1、专题能力训练11等差数列与等比数列一、能力突破训练1.在等差数列an中,a4+ao+a6=3O,则ai8-2ai4的值为()A.20B.-20C.10D.-102. 在各项均为正数的等比数列an中，若 log2(a2a3a5a?a8)=5,则a1a9=()A.4B.5C.2D.253. 设an是等比数列，$是an的前n项和.对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a2,则S01的值为( )A.2B.200C.-2D.04.已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是S,若a3,a4,a8成等比数列，则()Aa1d0,dS0B.a1d0,dS0,dS0D.a1d0an +115.已知

2、数列an满足1,且a2=2,则a4等于()A.-B.23C.12D.116.已知各项均为正数的等差数列_ an的前n项和为S, $0=40,则a3a8的最大值为 _.7._ 设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则aan的最大值为 _.Illx z&设x,y,z是实数，若 9x,12y,15z成等比数列，且成等差数列，则,=_.n*9. 已知Sn为数列an的前n项和,且a2+S2=31,an+1=3an-2 (n N).(1)求证:an-2n为等比数列;求数列an的前n项和S.10. (2018 全国，理 17)记S为等差数列an的前n项和,已知a=-7,S=-15.(1

3、)求an的通项公式；求Sn,并求Sn的最小值.11.已知数列an是等比数列.设a2=2,a5=16.2 .22(1)若a1+a2+.=(口 1 十切+%),n N,求实数t的值；1 1 1 1 1若在，之间插入k个数b1,b,，bk,使得,b1,b2,成等差数列，求k的值.2二、思维提升训练12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是2,接下来的两项是 2,21,再接下来的三项是20,21,22,

4、依此类推.求满足如下条件的最小整数N N100 且该数列的前N项和为 2 的整数幕.那么该款软件的激活码是()A 440B. 330C. 220D. 1101 1 1十:等于()14. 已知等比数列an的首项为，公比为-,其前n项和为S,若 ACS/wB对n N*恒成立，则B-A的最小值为_.15. 无穷数列an由k个不同的数组成，S 为an的前n项和，若对任意n N,S 2,3,则k的最大值为_.16.等比数列an的各项均为正数，且 2a1+3a2=1；=9a2a6.(1)求数列an的通项公式；、出设bn=log3a1+og3a?+log3an,求数列的前n项和.17.若数列an是公差为正数

5、的等差数列，且对任意n N*有anS=2n3-n2.(1)求数列an的通项公式.是否存在数列bn,使得数列anbn的前n项和为A=5+(2n-3)2n-1(n N*)?若存在，求出数列bn的通项公式及其前n项和Tn;若不存在，请说明理由.3专题能力训练 11 等差数列与等比数列一、能力突破训练1. D 解析 因为a4+aio+ai6=3O,所以 3aio=3O,即aio=1O,所以ai8-2ai4=-aio=-1O.故选 D.522. A 解析 由题意得 log2(比 a3a5 a7a8)=log/=5log2a5=5,所以a5=2.所以aia9= =4.故选A3. A 解析设公比为q, /a

6、n+2an+i+an+2=0,2二ai+2a2+a?=0,ai+2aiq+aiq =0,2q +2q+1=0,二q=-1.1(1 -严)21 - ( - l)101又ai=2, S1=1 -g1 +1=2.4. B 解析 设an的首项为ai,公差为d,则a3=a+2d,a4=ai+3d,a8=ai+7d./a3,a4,a8成等比数列, (ai+3d)=(ai+2d)(ai+7d),即 3aid+5d =0./0,55- aid=- d 0,且ai=- d.4d (a2+ a4)2/dS4=2d(2ai+3d)=- d20,a80,所以7.64 解析 由已知ai+a3=10,a2+a4=aiq+

7、asq=5,的 +a310两式相除得厂 ,1解得q=,ai=8,127nj+ 2 +.+ (n- i) = 2T+T17所以aia2an=8n,抛物线f(n)=- n2+ n的对称轴为6.16 解析因为$0=16,当且仅当a3=a8=4 时取等号n=-I)=3.5,4又n N,所以当n=3 或 4 时，aan取最大值为(12y)2= 9x x 15z.! 2 1134_ = _ + _=26=64.8 r 解析由题意知7x32-2=5解得xz= y2= :y2,x+z= ;y,x z x2+ z2(x + z)2- 2xz =-=-从而丫x9.(1)证明 由an+i=3an-2 可得an+1-

8、2n+1=3an-2n-2n+1=3an-32n=3(an-2n).又a2=3a2,贝US2=a1+a2=4a1-2,得a2+S2=7ai-4=31,得a1=5,则a1-2=3 工0.故an-2n为等比数列.解 由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n, an=2n+3n,2(1 - 2n)3(1 - 3n)3H+ 17S=I；=2 叶+10.解(1)设an的公差为d,由题意得 3a计 3d=-15.由a1=-7 得d=2.所以刘的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得S=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4 时,Sn取得最小值，最小值为-16.11.解 设等比数列an的

9、公比为q,由a2=2, &=16,得q=2,a1=1.(1)/日+$+ +a2n=t( |+),aL(l -严)卅(1 -严)1 -32 1 . 2 加:- 2 - *-14=t1Q ,即12=t1 对nN都成立，二t=3.1 111 1且,b1,b2,，bk/ 成等差数列1 121 1公差d=：=- ,且：=(k+1)d,1x|4)即-1=(k+1),解得k=13.二、思维提升训练12. A 解析 设数列的首项为第 1 组,接下来两项为第 2 组,再接下来三项为第 3 组,以此类推，设第n(l + n)1 - 2nn组的项数为n,则前n组的项数和为第n组的和为- -=2n-1,前n组

10、总共的和为2(1 - 2n)-n =2n+1-2-n.121632(x + z)216?IS7615.4 解析 要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,-1,0,0,0,不同的数组成16.解(1)设数列an的公比为q.1由.=9a2a6得.=9 ,所以q2=1由条件可知q0,故q=1由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以a =1故数列an的通项公式为an=(2)bn=log3a1+log3a2+log3ann(n+1)=-(1+2+n)=-n(l + n)由题意，N100,令100,得n14 且门 N*,即N出现在第 13 组之后.若要使最小整数Sn(l+ n)N满

11、足：N100 且前N项和为 2 的整数幕,则S-应与-2-n互为相反数,即 2k-仁 2+n(kN,n14),所以k=log2(n +3),解得n =29,k=5.29 X (1 + 29)所以 N= +5=440,故选 A.13.B 解析 因为an=1X2n-1=2n-1,所以anan+1=2n-1宀所以 j 是等比数列.1-2n=22n-1=2X4n-1,所以-1 1= X11aHaN+12- +-故Tn=_；+5914 r8 i 4-1 u1, _h )I 311因为y=S-所以y-r841匸在牯上单A B,因此B-A的最小值为5972,所以最多由ixG-114解析7丄 2 岸-亠故：=一 I =-211 1 1817.解设等差数列 an 的公差为d,则d0,| 2 心an=dn +(ai-d),S= dn+ _ n.对任意n N*,恒有J尹乳* + axanSn=2n3-n2,则dn+(a-d).严=1，.d0,an=2n-1.数列anbn的前n项和为A=5+(2n-3)2-(n N),/当n=1 时，ab=A=4,b1=4,当n2时，anbn=A-An-1=5+(2n-3