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定积分在几何上的应用3求旋转体的侧面积设旋转体是曲线yf(x)(0， axb) ，直线 x a，x b 绕 x 轴旋转而生成 任取一微区间 x ，x dx ，如图 1有 P(x， y) ， Q(x dx，yy) ，由弧微分中的讨论知：弧长s dso(dx)线段 o(dx) dso(dx)因为绕 x 轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A 的增量A，线段 PQ绕x 轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y 和 yy，侧高为的圆台的侧面积由圆台侧面积公式可知后者等于 (y yy) 2y dyo(dx)ds o(dx) 2yds o(dx) ，显然A o(dx) ，故有从而旋转体的侧面积为相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了例 18 求抛物线 y 22px(0 xa) 绕x 轴旋转生成的旋转体的侧面积由式得侧面积为例 19 求由圆 x2 (y a) 2 r 2(r a) 绕 x 轴旋转而成的环体的表面积故对哪个半圆周都有代入公式即得所求表面积为解 采用参数坐标较为方便令 x acost ， ybsint 0t 2弧长微分故表面积为我们说过椭圆的周长不能准确计算，但椭圆的旋转面积却能准确算出来当e习题29 求抛物线y2 4x，直线 x 8 所围成图形绕x 轴旋转所得旋转体的侧面积求旋转下列曲线所成曲面的面积33 x a(t sint)， y

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