各种度,梯度,散度,旋度坐标变换

1、梯度散度旋度（3）A梯度一、场的概念：描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。 或说：若在一定空间中的每一点， 都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。女口：强度场、 速度场、引力场、电磁场。描述场用一个函数，它是空间和时间坐标的函数：标量场 曲Xjz"二曲疋。矢量场 2（xty,z,l） = A（xtQ当J 与=无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。 当已知场函数则可以了解场的各种性质口-随时空的变化关系（梯、散、旋 度）。同样已知梯度、散度、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。二、标量场的梯度梯度：大小等于该点变化率的最大

2、值，方向沿变化率最大的方向，并指向标量增 加的方向，即：即耐爭=任意方向的变化率： 皿等值面：门= 常数的曲面称为等值面 梯度与等值面的关系：梯度垂直于等值面。 丁是矢量微分算子，直角坐标系中的表示具有矢量性质，分量是微分符号T斛嗨+垮，不能互换B矢量场的散度、 矢量场的通量1. 矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方 向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线(对静电场称为电力线)，无穷多条这 样的曲线构成一个矢量族。2. 通量：上通过有限面积1的通量上=Arf二卫-ds j-闭合曲面，通量上丄 ，芯方向，由面内指向面外。：=：，场线进入的少，穿出得多，称丘面内有源。，

3、场线进入的与穿出得同样多，称打面内无源。：，场线进入的少，穿出得少，称 丘面内有负源。意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不能反映空间一点的情况。二、矢量场的散度为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将丘面缩小到体元，体元仅包围一个点，单位体积的通量-一.戶虫-divA 二 V- 二二 hm 二卩矢量 的散度(diverge nee )：C矢量场的旋度 一、矢量场的环量（环流）矢量二沿任一闭合曲线二的积分"4 ° 7 = :|表明在区域内无涡旋状态，不闭合, -表明在区域内有涡旋状态存在，闭合，意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在，

4、具有局域性质。二、矢量场的旋度 当匸无限缩小，它用的面积化为匚时,定义：矢量场的旋度的法向分量=lim-+I.IAS-上丄，“为法线上单位矢，它在法线方向上的分量为单位面积上的环量刻画矢量场场线在空间某点上 的环流特征。若空间各点止-、，则称为无旋场。 xJUo，则;5称为有旋场D梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表示、矢量微分算子（哈密顿算子）、矢量微分算子（哈密顿算子）直角坐标柱坐标球坐标諾苗協+幻抽诗、矢量微分算子（哈密顿算子）、矢量微分算子（哈密顿算子）、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系1.柱坐标与直角坐标z= z臨一虧 -隠 门 二二斗，一 二碍=0 阳 de 7ber = cosOT

5、十曲f 0鬲 爲-鈕返-cos8&y 裹=i.翌二毎二翌=oOr 冷 3r=1 = 02.球坐标与直角坐标爲二 sin cos 厲.+sin sin 俪$ 4- cos. 爲=cos cos + cossin 吗-sin5 可=-$i口 颯 +cos坷，8巨3es.一 =乱，一=弋一-U昶e 3P*沖臨岖昭 卄二=_ =I少&dr露-匿-苞一-=sin &e., _ = cos &西，一=- sin - cos6e 羽"对*3申'"三、梯度、散度、旋度在直角坐标、柱坐标、球坐标的表示V®胡丄些+爲丄空墟丄些站换 闵du 冷及乜V 1-1巩為爲舄打- 1 VxA =6d2Wh盹M珈卜? .hj 30 (、3) +/ 3气十3(hhj 九1 関呱1.直角坐标系:% =社=為=1,叭=w =y, =松爲塑)陆血石日不42.柱坐标系：人=底=1，冋=禺=广,辿=&,也二忑口-3®亠-18V<e色二十旳-二+%V J4 =丄 2r Sr7A=-。叭1 3%亠沪诃I-i 一卜 0998-51幽丿八de2 &33. 球坐标系：也二1也二匚血二啓1口厲均二匚吗二已均=0寸一跆- 1 a炉，1 两 V<i?= Je.e.沖 fi r-1 9 / 2 . 19sin弓韶I