抛物线圆结合专题含解析

1、抛物线与圆的结合问题例1、抛物线y ax2 bx c交x轴于A、B两点，交y轴于点C ,抛物线的对称轴为 x 1 , B(3,0),C(0, 3),求二次函数y ax2bx c的解析式;在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大?/ C点的坐标为0, 3, A点的坐标为1,0 , 直假设存在，求出P点坐标；假设不存在，请说明理由；线AC的解析式是y3x3，又对称轴为x 1Mgy)、N(X2,y),所求圆的半径为r,那么X2X2X12 .(2)由1、 2 得：x2ry2x 2x 3，得y2(r 1)2(r1) 3,y,当当y 0时，r2 r40 ,解得，*1、1722r 40

2、,解得，11、17r2 ，2所以圆的半径是1一17或点P的坐标1, 6.(3)为 2r , .(1)/对称轴为x 1 ,1 . .3将Nr 1,y代入解析式.4整理得：y2r 4 .由于r= ±1.171.171.172舍去.舍去，当y 0时,平行于x轴的一条直线交抛物线于 M、N两点， 假设以MN为直径的圆恰好与 x轴相切，求此圆的半径.解：1将 C(0,3)代入 y ax2 bxc，得 c3.将 c 3 ,B(3,0)代入2y axbx c ,得 9a 3b c 0.x 1是对称轴，b1 .将2代入12a得a 1 ,b2.二次函数得解析式是y x2 2x3 .2 AC与对称轴的交

3、点 P即为到B、C的距离之差最大的点.例2、如图，在直角坐标系中，O C过原点0,交x轴于点A (2, 0),交y轴于点B( 0,2J3 )。求圆心的坐标；抛物线y= ax2 + bx + c过O A两点，且顶点在正比例函数x的图象上，求抛物线的解析式;过圆心C作平行于x轴的直线DE交O C于D E两点，试判断 D E两点是否在中的抛物线上；假设中的抛物线上存在点P (xo,yo),满足/ APB为钝角，求xo的取值范围。解：(1 )vO C经过原点O, AB为O C的直径。过点C作CH垂直x轴于点H,那么有CH -OB= 3 , 2 C为AB的中点。1OHk OA= 1。 2圆心c的坐标为(

4、i, 一3)。(2)抛物线过 O A两点，抛物线的对称轴为x= 1。 抛物线的顶点在直线 y= 3x 上, 顶点坐标为(1 , 3 )3把这三点的坐标代入抛物线抛物线y= ax2 + bx + c,得33 抛物线的解析式为y2 3"V0c 04a 2b c解得o_33.3 22 3xx 。33(3) / OA= 2, OB= 2 .3 ,AB,'22 (2 3)24.即O C的半径 r = 2o D(3,3 ),E ( 1 ,. 3 )代入 yNx检验,3知点D E均在抛物线上(4)v AB为直径,当抛物线上的点 P在O C的内部时，满足/ APB为钝角。二一1v x0<

5、; 0,或2v x°v 3。例3、如图，抛物线的顶点坐标为 M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B 两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点Co求抛物线的解析式及点 A、B C的坐标;假设直线y=kx+t经过C、点P在抛物线的对称轴M两点，且与x轴交于点 x=1上运动，请探索：在D,试证明四边形 CDAN是平行四边形； x轴上方是否存在这样的 P点，使以P为圆心的圆经过 A B两点，并且与直线 CD相切， 假设存在，请求出点 P的坐标；假设不存在，请说明理由。解：(1)由抛物线的顶点是 M( 1 , 4),设解析式为y= a ( x-1 2+ 4 (a< 0)又抛物线

6、经过 点N (2, 3),所以3= a (21 2 + 4 解得a=- 1所以所求抛物线的解析式为y =2 2 2(x 1 + 4= x + 2x + 3.令 y = 0，得一x + 2x + 3= 0,解得：x= 1, x2=3.得 A(-1, 0) B (3, 0);令 x= 0，得 y= 3，所以 C (0, 3)(2)直线y=kx+t经过C、M两点，所以上=3即k = 1, t = 3直线解析式为y = x+ 3.k +1 =4连接AN,过N做x轴的垂线，垂足令 y= 0，得 x= 3,故 D (- 3, 0) CD = 3、2为F. 设过A、N两点的直线的解析式为y = mx+ n,

7、那么-卄"=°解得m= 1, n = 12m+ n=3所以过A、N两点的直线的解析式为 y = x + 1 所以DC/ AN.在Rt ANF中，AN= 3, NF=3，所以AN= 3、2 所以DC= AM因此四边形CDAN是平行四边形.(3)假设在x轴上方存在这样的 P点，使以P为圆心的圆经过 A、B两点，并且与直线 CD相切，设P (1, u)其中u>0，那么PA是圆的半径且PA2= u2 + 22过P做直线CD的垂线,垂足为Q,那么PQ= PA时以P为圆心的圆与直线 CD相切。由第(2)小题易得： MDE为等腰 直角三角形，故厶PQM也是等腰直角三角形，由P (1

8、, u)得PE= u, PM= |4-u| ,PQ=PM =|4-u| H = PT由pq2= pa2得方程:u) = u2+ 22，解得 u = - 42.6，舍去负值u= 4 2.6，符合题意的u= 4+ 2.6 , 所以，满足题意的点 P存在，其坐标为(1, 4+ 2-、6 )例4、：如图，抛物线 yX2 兰 x ,3的图象与x轴分别交于A, B两点,33与y轴交于C点,e M经过原点0及点A C，点D是劣弧Oa上一动点D点与A,不重合.1 求抛物线的顶点 E的坐标； 2 求e M的面积;3连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG 2 , 试探究当点D运动到何处时，直线 GA与e M相切，并请说明理由.O例4、解1抛物线y空X2 2x 1 、一 3山 山x 1 2於3333E的坐标为说明：用公式求E点的坐标亦可(2)连 AC ;Qe M 过 A,O,C,Z AOC90°AC为eO的直径.而 OA 3, OC 、3AC2.3Se Mr2理由：在Rt ACO中，OA3,OC3Q tan / ACO亞Z ACO60°,ZCAO 30°Q点d是Oa的中点AdDoz ACG z DCO30°OFO