数学高考数学选择题简捷解法专题

1、- SESnvhjfW. CElrii做為眼才哮筋菽债!、数形结合高考数学选择题简捷解法专题1画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。【例题】、07江苏6设函数f x定义在实数集上，它的图象关于直线x 1对称，且当X 1时,f(x) 3x 1,那么有(A、f (1) p f (3) p"3- '93221C、f(；)p f(；)p33f(2)f(3)2 31、f(-)Pf(3)pf(-)3 23321-f(;)P f(;)P f(;)233【解析】、当X 1时，fx3x1 , f (x)的图象关

2、于直线x 1对称，那么图象如下图。 这个图象是个示意图，事实上，就算画出fx |x 1|的图象代替它也可以。由图知,符合要求的选项是 B,【练习1】、假设P 2,-1 )为圆(x2 21) y2x y 30 C、 x提示：画出圆和过点【练习2】、07辽宁9,6提示：把25的弦AB的中点，那么直线 AB的方程是y 10 D、2xP的直线，再看四条直线的斜率,变量x、y满足约束条件，9 U6,C、,3即可知选A)y看作可行域内的点与原点所在直线的斜率,x0，那么y的取值范围是x06,D、 3,6不难求得答案，选 A o)学苑文化載布网F &comd - *= - jfa =亠_ 做碍題，才

3、环虧咸债!XjL» * 一_ 圭 4 _ 虹 一 _-m.I J'» / _Jk. . ta h. ,_ 4w I -(0,15)1252 2X (y 1)4(1 1)(4,3)5 3(,)12 4上不难看出，曲线方程 y 14 x2 x 2,2 2,1 y 3，表示以1,0为圆心，2为半径的上半圆，如图。直线y过定点2，4，那么斜率的范围就清楚了，选D【练习4】、函数y | x | 1x在区间A上是增函数，那么区间A是A,0B1、C、 0,D1、 5的图象k(x 2)提示：作出该函数的图象如右，知应该选B【练习5】、曲线|x| y |1与直线y23有两个交点，那么

4、m的取值范围是A m4或m4B、4mC m3或m3D、3m提示：作出曲线的图象如右，因为直线4，选 Ay 2x m与其有两个交点，那么 m 4或m【练习6】、06湖南理8设函数f(x)- ax，集合Mx|f(x)pOx| f'(x)f 0那么实数a的取值范围是A (,1) B 、(0,1)、1,、1,提示：数形结合，先画出当af 1时图象如右。f x的图象。f xx 11 a 1 J。当ap1时，图象如左;x 1x 1学她丈化期存两 £«nii,才朮虧戚,债！由图象知，当af 1时函数f(x)在(1,)上递增，f(x)f0，同时f(x)p0的解集为(1,)的真子集，

5、选C)【练习7】、(06湖南理10)假设圆x2 y2 4x4y 10 0上至少有三个不同的点到直线l : ax by 0的距离为2 2，那么直线I的倾斜角的取值范围是(A、12 4_ 512,12(提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为(x 2)2 (y 2)2(3. 2)2，由题意知，圆心到直线的距离d应该满足0 d .2，在圆中画一个半径为 2的同心圆，那么过原点的直线l : ax by【练习8】、(07浙江文A |2 b| > | a- 2b |C、|2 a| > | 2a-b |10)BD假设非零向量a,、|2b| v |、|2 a| v |a，b的关系图，为此| a-

6、b |2=a (a- 2 b) =0(提示：关键是要画出向量先把条件进行等价转换。| a-b |=| b | b | 2a 2+b2- 2a b= b2a±( a- 2b)，又 a- (a-2b ) =2b，所以 | a|， | a- 2b | ，|2 b|为边长构成直角三角形，|2 b|为斜边，如上图， |2 b| > | a- 2b |，选 A。另外也可以这样解：先构造等腰OAB使OB=AB再构造 血OAC如以下图，因为 06AC,所以选Ao)0与小圆有公共点，二选b 满足 | a-b |=| b | ，那么( a- 2b |2a-b |【练习9】、方程cosx=lgx的实

7、根的个数是()A、1 B 、2 C 、3 D 、4由两个函数图象的交点的个数为3,知应选C)【练习10】、(06江苏7)假设A、B、C为三个集合，AU B BI C，那么一定有(K ft IT 4 MB W IE学苑文化期育网尸 务 hjn* hjrW.HiiJ吗 j,u. b做碍题吻常虧咸债!A、A C B、C A C、A C D、A提示：假设 A B C ，那么 AU B A,BIC B A成立，排除C、D选项，作出Venn图，可知A成立【练习11】、07天津理7在R上定义的函数fx是偶函数，且f x f 2 x。 假设f x在区间12上是减函数,在区间在区间在区间在区间A、B、C、D那么

8、 fx-2，-2，-2，-2，-1-1-1-1上是增函数，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，在区间 上是减函数，在区间3，3，3，3，4上是增函数4上是减函数4上是增函数4上是减函数B-2 -1 °|123提示：数形结合法，fx是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选【练习12】、07山东文11改编1方程X3 x 2的解X。的取值区间是2A 0，1 B 、1，2 C、2，3 D、 3，4提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数y x3, y Qx2的图象，那么立刻知选 B,如上右图2二、特值代验包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项来确定

9、答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。学施尢化辭ffi网*内秆瑕轉is记畀巧晶浮舲虬柿徘用购琲打Q究井阳冀池描黄仏门歡;氐2化点仃mi第4页共15页【例题】、93年全国高考在各项均为正数的等比数列an中，假设a5a69 ,那么log3a1 log 3 a2 Llog 3 a10A、12B、10C、8D、2 log 3 5【解析】、思路一小题大做:由条件有459a§a6ag gq2 9a1 q ,从而a1 ga2 ga3gL ga10101 2 La1 gq9 a；q95310，所以原式=log3a1a2L alog3 31010，选 Bo思路二小题小做:由 9a5a

10、6 a4a75玄3玄8玄2比印玄®知原式= log3a5a610log 3 33,选Bo学苑ittnri网丄. hjx. r<i ini 首 4-= 亠 4"-做将込才常虧威债! I思路三(小题巧做)：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列a5 a6 3,q 1即可，选B。【练习1】、(07江西文8)假设Op xp ，那么以下命题中正确的选项是()2所以f(n)2(1 84)1 82(nn 41)，选D。这属于直接法。思路2 :令n 0，那么【练习3】、(06全国12(841)，对照选项，只有 D成立。)1 27理9)设平面向量 a、比、a3的和a1+a2+a3=0

11、，如果平面向量 B、b2、b3满足| b|=2|f (0)2 24272102 1(2)A sin x p2£ 2、sin x p3£ 3xB、sinxfxCx D、sinxfx(提示：取xJ验证即可，选B)63【练习2】、(06北京理7)设f(n)2JJ22210L23n 10(n N)，那么 f(n)(.21)2n 1八n 31) D、2n 4八A、一(8B、二(8 1)C、-(8-(n1)7777(提示：思路一：f (n)是以2为首项，8为公比的等比数列的前 n 4项的和,ai |，且ai顺时针旋转30o以后与b同向，其中i=1、2、3那么( )A、-b1+b+b3=

12、0B、b1-b2+b3=0C b+b-b3=0 D b1+b2+b3=0(提示：因为a1+a2+a3=0，所以a1、a?、a3构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，那么b实际上是将三角形顺时针旋转30°后再将其各边延长 2倍，仍为封闭三角形，应选Do)【练习 4】、假设 f (x) ax(a f 0,a 1), f 1(2) p 0,那么 L(x 1)的图象是()(提示：抓住特殊点2 , f 1(2) p 0，所以对数函数f 1 (x)是减函数，图象往左移动一个单位得1f (x 1)，必过原点，选A)【练习5】、假设函数y f(x 1)是偶函数，那么y f(2x)的对称轴是()1A、x

13、 0 B 、x 1 C 、xD 、x 22(提示：因为假设函数y f (x 1)是偶函数，作一个特殊函数 y (x 1),那么y f(2x)变为y (2x 1),-a t:kmi= L .cA*- tak. _-J - 工«» 丄 tok . ».学St ft41 ft网店曲并点轉15丽畀可银浮舲fit. /阳和簡目的琲并Q寛井<1戈itfKCfE. HH/f%学苑丈网务 s ywhjjrw. m - 做碍题才木筋成债!-4-4 -十亠二一 _.+一-1即知yf2x的对称轴是x ,选C2【练习6】、数列an的通项公式为an=2n-1,其前n和为S,那么12n

14、GS1+ CnS2 + Cn Sn=()n nn nn nA、2-3B、3 -2 C、5 -2提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式n n、3 -4an=2 1求得和的公式 Sn,再代入式子 CnSl + Cnd + Cn0n, 再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些书上就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的 解思路来求做：令 n=2,代入式子，再对照选项，选B【练习7】、06辽宁理10直线2k与曲线9k2x2 y218k2 x k R, k 1的公共点的个数是()A、 1提示：取k 1，原方程变为x1)221，这是两个椭圆，与直线9y 2有4个公共点，选DF分别是 三棱锥S-ABC

15、的侧棱SA SB SC上的点， 且 SD DA=SE EB=CF FS=2: 1，那么平 面DEF截三棱锥 的体积之比为A、4 : 31C、4: 23【练习8】、如图左，假设D E、S-ABC所得的上下两局部、6: 23、2: 25K是FC的中点,提示:特殊化处理，不妨设三棱锥S-ABC是棱长为3的正三棱锥,示上下两局部的体积那么 Vs defVs abcSS DEF 2h / 2 22()Ss ABC 3h33827V 8 4V2 27 8 4423C【练习9】、 ABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为LUJLTH, OHuuu m(OAuuuOBuuurOC)，贝U m的取值是A)

16、-1 B 、1C 、-2 D 、2提示：特殊化处理,不妨设 ABC为直角三角形，那么圆心O在斜边中点处,此时有uuirOHuurr uuu uuur OA OB OC ,选B。【练习x210】、双曲线方程为Ik 2 5 k2y 1，那么k的取值范围是k f 5 B、2pkp5 C、2 p k p 2 D、2p k p 2或 kf 5提示：在选项中选一些特殊值例如k 6,0代入验证即可，选 D三、筛选判断审内弄卡竹桁丽畀町托浮舲fit.齐徘用F画世目的，逛店Q究井1咒池痛盘仟山加学軌dfm令阳皆呵第6页共15页0)22)22222222CABDC、yA ysin x(包括逐一验证法一一将选项逐一

17、代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。【解析】、经逐一验证，在 2、3、4、5中，只有4符合方程2n n =20,选C。【练习2】、06重庆理9如图，单位圆中 Ab的【例题】、设集合A和B都属于正整数集，映射 f : A B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素, 那么在映射f下，像20的原像是【练习1】、06安徽理6将函数y假设选D,那么与“按向量a=,0平移不6长度为x， fx表示Ab与弦ab所围成的弓形的面的A 2 B 、3 C 、4 D、5的图象按向量 a= ,0平移以后的图象如下图，那么6符，选C。此题属于容易题2倍，那么函数y f x

18、的图象是sinxf 0，贝y x sinxp x，其图象位于 y x下方；当 x ,2 时，sinxp 0，x sinxf x，其图象平移以后的图象所对应的函数解析式是sin(x )6sin(2x )3,与图象所示周期不符;提示：解法1设 AOB ，那么x学施文化馭冇网 杓勺秆求轉15丽畀可眾浮舲fit.柿那用肾址目叫辿展Q究井1龙黄fE.泮軌孟化传和阳皆呵sin (x ) B6ysin (2x) D3y提示:假设选A或B,那么周期为冲1那么S弓形=S扇形-S AO=x 12 丄sin COS 2 2 2 2(x sin ) (x sin x),当 x (0,)时, 2 2做務駆、吻颅站臥綾!

19、 乜幺噸通学她丈化挫"网 4 = I I - N =- 屯 d 学苑丈化救"购 -4 上' tab. b.做碍軀，才有筋成债！位于y x上方。所以只有选 D。这种方法属于小题大作。解法2结合直觉法逐一验证。显然，面积f(x)不是弧长x的一次函数，排除 A;当x从很小的值逐渐增大时，f (x)的增长不会太快，排除 B；只要Xf那么必然有面积f (x)f ，排除C,选D。事实上，直觉好的学生完全可以直接选D)3】、(06天津文8)假设椭圆的中心点为7，那么这个椭圆的方程是(2【练习线方程是x2(x1)2 2y2212(x 1)221(提示：椭圆中心为(-1 , 0),它

20、的一个焦点为 F (-3 ,0),相应于焦点的准(x 1)25(-1 , 0),排除A、C,椭圆相当于向左平移了1个单位长度，故c=2,(提示：如果直接解， 排除D,选A)【练习5】、(06江西理12)某地一年内的气温 Q(t ) (C)与时间t (月份)之间的关系如右图， 该年的平均气温为 段0 , t的平均气温，差不多相当于一道大题！取x 2 ,代入原不等式，成立，排除B、C;取x如以下图，那么正确的应该是(10C。令C (t )表示时间C( t )与t之间的函数关系)+ a(t)AB(提示：由图可以发现，t=6时，C (t ) 温超过10C,排除B,选Ao)C(t)C(t)C(t)tDC

21、( t )C、=0,排除 C; t=12 时,=10,排除D; t >6时的某一段气【练习6】、集合M (2n 1) |n Z与集合N (4k 1)|k Z之间的关系是A M N B、M N C、M(提示：C、D是矛盾对立关系，必有一真,N D所以、M NA、B均假；2n 1表示全体奇数，4k 1也表示奇数,第8页共15页a25，选D)【练习4】、不等式x2f 2的解集是()x 1A、(1,0)U(1,)B、(1)U(0,1)C、(1,0)U(0,1)D、(，1)U(1,)学媚丈化期徉网- -= £ = q Jkd、一 =- 丄7»做将銀专味虧咸债!k=0,±

22、; 1，土 2,± 3,然后观察两个集合的关系就知道故M N且b假，只有c真，选g此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系。 当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令答案了。【练习7】、当X4,0 时,x2 4x-X 1恒成立，那么a的一个可能的值是353提示：假设选项A正确，那么B 确。选DC、D也正确；假设选项 B正确，那么 C D也正确;假设选项C正确，那么D也正【练习8】、01广东河南10对于抛物线2y4x上任意一点Q点P a, 0都满足PQ a，那么a的取值范围是,0 B 、(，2 C、0,2 D 、(0,2)av 0符合条件，那么排除 C D;又取a vd v |PQ|,即

23、说明a 1符合条件，排除那么P是焦点，记点A,选B。另外,2设点Q的坐标为/,y0，由PQ42得y2(弓a)242 2a2，整理得yo(yo168a) 0，2 y。20 , y016 8a2y0-恒成立，而2827的最小值是2， a2，选 B【练习9】、07全国卷I理12函数f(x)2cos X2 xcos -的一个单调增区间是2A、236' 20'3提示:“标准答案是用直接法通过求导数解不等式组,再结合图象解得的，选A。建议你用代入验证法进行筛选:因为函数是连续的，选项里面的各个端点值其实是可以取到的，由叫，显然直接排除提示：用逻辑排除法。画出草图，知Q到准线的距离为d,那么

24、由抛物线定义知道，此时很多资料上解此题是用的直接法，照录如下，供“不放心的读者比拟C现在就验算 A,有D,在A B、C中只要计算两个即可，因为B中代入一会出现，所以最好只算A、6 12f亍P午，符合，选A四、等价转化解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要通过必要的训练，到达见识足、 技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。【例题】、05辽宁12一给定函数 y f x的图象在以下图中，并且对任意a 0,1，由关系式第9页共15页学苑Aft®ft网做霸麵，才帝虧咸债！=.*=b 4 一尸一 上=-=亠= H *f an得到的数列满足an 1

25、f ann N ，那么该函数的图象是BACx，只能选A。【解析】问题等价于对函数f x图象上任一点(x, y)都满足y f【练习1】、设t sincos，且 sin 3+ cos 30，那么t的取值范围是A、-2 , 0)、- 2 2 C (-1 , 0) (1,、2 D 、( - . 3 , 0)(3)2+ cos3+ cos2sin - sin cos +0知非锐角，而我(提示：因为sin 3+ cos = (sincos2>0 恒成立，故 sin 3+ cos 32+ cos ) (sin - sin cos0 t v 0,选A。另解：由sin们知道只有为锐角或者直角时sin co

26、s 迈, 所以排除B、C、D，选 A 【练习2】、2x 2F1, F2是椭圆y41的左、右焦点，点 P在椭圆上运动，那么uuur uuuurPF1gPF2的最大值是提示:设动点P的坐标是(2cos ,sin，由F1, F2是椭圆的左、右焦点得匕(3,0) , F2(、3,0),uuir uuuu那么 PF1 PF2| (2cos、3,sin )Q2cos,/3,sin) | | 4cos23 sin2|3cos2F列“简捷解法是掉进了命题人的“陷阱的uur uuuaPF1 PF2uuu uumi|PFj HIa24)2| 2，选0这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题。特别

27、提醒:【练习3】、假设loga 2 p logb2p 0，那么A 0papbp1 B、0pbpap1 C、a f b f 1 D、b f af 1提示：利用换底公式等价转化。B)lq 2 lq 2log a 2 p log b 2 p 0p p 0 lg b p lg a p 0 / 0 p b p a p 1，选lg a lg b+内*卡歼ft ft if町mvit*.不徘用F m,辿店Q究井Ki戈忆ir山加学軌i阳皆呵第10页共15页学她文化"网做筋麻才瘠坊成,磧！- Kywhjyw.fLJ一 士 j - 1J J _亠 a【练习 4】、a,b, c, d R,且 d f c,

28、a bd,a d p b c，那么()、bf cf d f a 、bf d f a f cA d f bf af c BC b f d f cf a D提示：此题条件较多，又以符号语言出现， 令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化， 如图，用线段代表a,b,c,d,立马知道选C。当然这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化分别用数字1，4，2，3代表a,b,c,d,容易知道选Co也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是作为选择题，可以事先把条件“a,b,c,d R 收严些变为“ a,b,c,d R【练习5】、xf 0,假设函数 f (x) sin sinx在一一 上单调递增，那么的

29、取值范围是24 3 'A0'3B 、0冷C 、0,2D、2,提示：化简得f (x)1 . sinx ,T sinx 在上递增，22 2xx，而f x在 上单调递增22224 3 '-0 3 ,又f 0, 选 B)4'32 ' 22()【练习6】、把10个相同的小球放入编号为 1, 2, 编号数，那么不同的放法种数是3的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的A、C63B、Cg C、Cg D、2提示：首先在编号为 1, 2, 3的三个盒子中分别放入 0, 1 , 2个小球，那么余下的7个球只要用隔板法分成3堆即可，有C62种，选B;如果你认为难以想到在三

30、个盒子中分别放入只0, 1, 2个小球，而更容易想到在三个盒子中分别放入只1, 2, 3个小球，那也好办：你将余下的 4个球加上虚拟的或曰借来的小球，在排成一列的 7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。【练习7】、方程x, x2 x3 x4 12的正整数解的组数是A 24 B 、72 C 、144 D 、165提示：问题等价于把12个相同的小球分成 4堆，故在排成一列的12球11空中插入3块隔板即可，答学施尢化教育网审内辛卡歼肯丽畀町杠评旳K.卅徘用F膚世目的，琲展Q究井1瓷址描黄圧皆间第11页共15页噸通学鉅丈网F iijnwhjfw. m3案为 C11165 ,选D)【练习8】、A 35

31、 B提示：逆向思维,从1,、562, 3,，10中每次取出3个互不相邻的数，共有的取法数是C 、 84 D 、 120问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的7个数的8个空中，那么问题做聘込吻常虧咸债 !昨一4-4一 丄.*匚厶.转化为求从8个空位中任意选3个的方法数，为 C； 56，选B【练习9】、理科limx十3，那么b=B 、-5 C:逆向思维，、-4 D 、5分母x 1 一定是存在于分子的一个因式，那么一定有ax2bx 1(x1)(ax1)ax' bx 1 ax (1 a)x 1，必然有 b (1 a)，且 limx 1 x 1lim( ax 1),【练习10】、过空间一

32、点a 4, 异面直线O的直线那么这样的直线有A 1 B 、2提示：把异面直线5，选 Bm, n所成的角为60°,l与m,n所成的角等于60°，条C 、3 D、4m,n平移到过点O的位置，记他们所确定的平面为，那么问题等价于过点O有多少条直线与m,n所成的角等于60°，如图，恰有3条，选C)2【练习11】、不等式ax bx c f 0的解集为x解集为21p xp 2，那么不等式a(x 1) b(x1) cf 2ax的A、x 0p x p 3 Bx x p 0,or x f 3 C、x 2p xp 1x x p 2,or x f 12 2提示：把不等式ax 1 bx

33、1 cf 2ax化为ax 1 bx 1 cf 0 ,其结构与原不等式2ax bx cf 0相同，那么只须令1 p x 1p 2，得 0pxp3，选 A)五、巧用定义7%那么经过x季度增长定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。【例题】、某销售公司完善管理机制以后，其销售额每季度平均比上季度增长yyy11r而3每工低耳俚仃用址第12页共15页到原来的y倍，那么函数y f x的图象大致是学牠丈化取ff网A.lb rd做筋込才朮虧咸债!选Do【解析】、由题设知，y(1 0.07)x， 1 0.07f 1，这是一个递增的指数函数，其中xf 0,所以【练习1】、对于任意x, y R ,

34、都有 f (x) f (y)2咛)咛)，且 f(0)0，那么 f (x)是()A、奇函数 B、偶函数C 、奇函数且偶函数非奇且非偶函数(提示：令y0,那么由f(0)0得f(0)1 ；又令yx，代入条件式可得f (x) f (x)，因此 f (x)是偶函数，选B)【练习2】、点A、圆M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，那么圆心B、椭圆 C、圆或线段 D、线段P、M为两定点，那由椭圆定义知圆Q的轨迹是(提示：设O P的半径为R,么 |QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数, 心Q的轨迹是椭圆，选 B)2x【练习3】、假设椭圆41内有一点P( 1，-1)，F为右焦点，椭圆上有

35、一点M,使|MP|+2|MF|最小,那么点皿为()(吕屈1) B、3(1,|)(提示：在椭圆中,2,b.3，那么 c 1,ea(才虑1)31-，设点M到右准线的距离为|MN|，那么由椭圆的第2| MN | 2| MF |，从而 |MP |2|MF | |MP | MN |，这样，过点P作右准线的垂直射线与椭圆的交点即为所求M点，知易M(-V6,1)，应选 A)3uuurPF22 2【练习4】、设F1, F2是双曲线笃占a b1(af 0,bf 0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，假设PF1的最小值为8a，那么该双曲线的离心率e的取值范围是(A 2，3 B 、( 1，3 C3,D 、1,2第13页共15页盘芒鑿需鸞做尊題，才嚅蛛咸债！的剧初4亠 _ = . _< = * .昆 一, “* - -r- 4 . 4 -_/ _= 上 * 一 - T_ 、金. iiZ'LSPn.-JuL-.-.(提示:iuuur 2 PF?I M *LLUIU(2a IPF1)2PFiPFi4a2