2017届高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第9节函数模型及其应用基丛点练理

1、第9节函数模型及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用函数(图象)刻画实际问题中两变量的变化过程1,2一次函数、二次函数模型4,5函数y=x+(a>0)模型10指数函数模型3,8,9,11分段函数模型6,7,9,12,13,14基础对点练(时间:30分钟)1.如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有(A)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图是匀

2、速的,故下面的图象不正确,中的变化率是越来越慢的,正确;中的变化规律是逐渐变慢再变快,正确;中的变化规律是逐渐变快再变慢,也正确,故只有是错误的.2.若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为(B)解析:根据题意得解析式为h=20-5t(0t4),其图象为B.3.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余的物质为原来的,当剩余的物质为原来的64125时,需要经过(C)(A)5年(B)4年(C)3年(D)2年解析:由指数函数模型知（）x=64125,解得x=3.4.(2014高考北京卷)加工爆米花时,爆开且不糊的

3、粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(B)(A)3.50分钟(B)3.75分钟(C)4.00分钟(D)4.25分钟解析:由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75分钟时,可食用率p最大.5.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一

4、个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是(C)(A)15,20(B)12,25(C)10,30(D)20,30解析:如图所示,过A作AGBC于G,交DE于F,则=,=,又=,所以=,AF=x,FG=40-x,阴影部分的面积S=x(40-x)300,解得10x30.故选C.6.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a<12),4 m,不考虑树的粗细,现在用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2, S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f

5、(a)的图象大致是(C)解析:设CD=x,则S=x(16-x)(4<x<16-a),u=Smax=f(a)=7.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为(C)(A)上午10:00(B)中午12:00(C)下午4:00 (D)下午6:00解析:当x0,4时,设y=k1x,把(4,320)代入,得k1=80,所以y=80x,当x4,20时,设y=k2x+b.把(4,320),(20,0)代入得解得所以y=400-20x.所以y=f(x

6、)=由y240,得或所以3x8.故第二次服药最迟应在当日下午4:00.8.某工厂采用高科技改革,在两年内产值的月增长率都是a,则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为. 解析:不妨设第一年8月份的产值为b,则9月份的产值为b(1+a),10月份的产值为b(1+a)2,依此类推,第二年8月份的产值是b(1+a)12.又由增长率的概念知,这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为=(1+a)12-1.答案:(1+a)12-19.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 mi

7、n后发现容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 解析:依题意有a·e-b×8=a,所以b=,所以y=a·若容器中的沙子只有开始时的八分之一,则有a·=a.解得t=24,所以再经过的时间为24-8=16 min.答案:1610.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8 000,已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年

8、产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?解:(1)每吨平均成本为(万元).则=+-482-48=32,当且仅当=,即x=200时取等号.所以年产量为200吨时,每吨产品的平均成本最低,为32万元.(2)设年获得总利润为R(x)万元,则R(x)=40x-y=40x-+48x-8 000=-+88x-8 000=-(x-220)2+1 680(0x210).因为R(x)在0,210上是增函数,所以x=210时,R(x)有最大值,为-(210-220)2+1 680=1 660.所以年产量为210吨时,可获得最大利润1 660万元.能力提升练(时间:15分钟)11.(2015高考四川卷)某

9、食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是(C)(A)16小时(B)20小时(C)24小时(D)28小时解析:依题意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,所以e22k=48192=,所以e11k=或-(舍去),于是该食品在33 的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·eb=（）3×192=24(小时).故选C.【教师备用】 在翼装飞行世界锦标赛中,某翼人空中高速飞行,如

10、图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v(x)与时间x的关系,若定义“速度差函数”u(x)为时间段0,x内的最大速度与最小速度的差,则u(x)的图象是(D)解析:由题意可得,当x0,6时,翼人做匀加速运动,v(x)=80+x,“速度差函数”u(x)=x.当x6,10时,翼人做匀减速运动,速度v(x)从160开始下降,一直降到80,u(x)=160-80=80.当x10,12时,翼人做匀减速运动,v(x)从80开始下降,v(x)=180-10x,u(x)=160-(180-10x)=10x-20.当x12,15时,翼人做匀加速运动,“速度差函数”u(x)=160-60=100,结合所给的图象,

11、故选D.12.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(xN*)件.当x20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y(万元)与x(件)函数关系式为,该工厂的年产量为件时,所得年利润最大.(年利润=年销售总收入-年总投资). 解析:当x20时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当x>20时,y=260-100-x=160-x,故y=xN*.当0<x20时,y=-x2+32x-100=-(x-16

12、)2+156,x=16时,ymax=156,而当x>20时,160-x<140,故x=16时取得最大年利润.答案:y=xN*1613.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t(0,14时,曲线是二次函数图象的一部分,当t14,40时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0且a1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳. (1)试求p=f(t)的函数关系式;(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.解:(1)t(0,14时,

13、设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),将(14,81)代入得c=-,t(0,14时,p=f(t)=-(t-12)2+82;t14,40时,将(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=,所以p=f(t)=(2)t(0,14时,由-(t-12)2+8280,解得12-2t12+2,所以t12-2,14,t(14,40时,由lo(t-5)+8380,解得5<t32,所以t(14,32,综上t12-2,32,即老师在t12-2,32时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.14.某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了“阶梯水价”计费方法,具体方法:每户每月用

14、水量不超过4吨的每吨2元;超过4吨而不超过6吨的,超出4吨的部分每吨4元;超过6吨的,超出6吨的部分每吨6元.(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系;(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(xN*)如表:月用水量x(吨)34567频数13332请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元);(3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府号召市民节约用水,如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”,随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表:月用水量x(吨)1234567频数10201616151310据此估计该地“节约用水家庭”的比例.解:(1)y关于x的

15、函数关系式为y=(2)由(1)知:当x=3时,y=6;当x=4时,y=8;当x=5时,y=12;当x=6时,y=16;当x=7时,y=22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为×(6×1+8×3+12×3+16×3+22×2)13(元).(3)由(1)和题意知:当y12时,x5,所以“节约用水家庭”的频率为77100=77%,据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.精彩5分钟1.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销,在一年内,根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L=-（+）(x>0).则当年广告费投入万元时,该公司的年利润最大. 解题关键:利用二次函数的图象与性质求解.解析:由题意得L=-（+）=-（-）2(x>0).当-=0,即x=4时,L取得最大值21.5.故当年广告费投