一元二次方程-韦达定理的应用及答案

1、一元二次方程韦达定理的应用知识点：一元二次方程根的判别式：当厶。时_方程_，当4=0 时_方程有_，当厶2 时，原方程永远有两个实数根例 2.已知关于 x 的方程kx2(x 1)x k -0有两个不相等的实数根.(1) 求 k 的取值范围；(2) 是否存在实数 k,使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出 k 的值;若不存在，说明理例 3已知关于 x 的方程x1 2_2(k _3)x k2_4k =0(1)若这个方程有实数根，求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为1 ,求 k 的值;一21例 4.已知关于 x 的一兀二次方程x ，(m-2)xm-3 = 0(1)求证:无论 m

2、取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。若这个方程的两个实数根Xi,X2满足2xix2 =m 1,求 m 的值。2例 5.当 m 为何值时， 方程8x -(m-1)x m-7 = 0的两根：(1)均为正数；均为负数；一个正数， 一个负数；一根为零；互为倒数；都大于 2.例 6.已知 a,b,c,是厶 ABC 的三边长， 且关于 x 的方程b(x2T)2ax c(x2-1) = 0有两个相等的实 根，求证：这个三角形是直角三角形。1pm例 7.若 n0，关于 x 的方程x2-(m-2n)xmn = 0有两个相等的正的实数根，求一的值。4n课堂练习:1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

3、A.x22x -1 = 0B.x22、2x 2= 0C.x2. 2x1= 0D.x2x 2 = 021 12已知xX2是方程x -3x 0的两个根，则 的值是（）X1X21A.3B.-3 CC.D .132 23. 关于 x 的二次方程（m-1）xx m 2m-3 = 0的一个根为 0,则 m 的值为（）A.1B.-3C.1 或一 3D.不等于 1 的实数2 24. 方程x -（k -25）x （k-2） =0的两根互为相反数， k 的值为（）A. k =5 或-5B. k =5C. k = -5D.以上都不对25. 若方程x mx 4 = 0的两根之差的平方为48 ,贝Um 的值为（）A.8

4、B.8C.-8D.46.已知关于x 的方程10 x -(m 3)x m - 7 - 0,若有个根为 0,则 m-,这时方程的另个根疋3;若两根之和为一一，贝 9 m=,这时方程的两个根为7.已知方程5x2px-1 =0的一个根为-2,5,可求得P-8.若2 -3是关于 x 的方程2x2-8x - k = 0的一个根，则另一个根为,k-。29.方程2x6x5=0两根为a,B,则a2+B2=,G - 丫-。10. 要使9a*与3an是同类项，贝 U n=_11. 解下列方程：2 2 2(1)(2xT) =16(2)x -4x 3 =0 5x -3x-2=0212.关于 x 的方程ax2-（2a -

5、1）x （a -3） =0有实数根，求 a 的取值范围。13设,x2是方程2x 4x7=0的两根， 利用根与系数关系求下列各式的值:14.关于 x 的方程x2_(2a-1)x-(a-3) =0,试说明无论 a 为任何实数，方程总有两个不等实数根。15已知关于 x 的方程x22(m-1)x 3m2-11 = 0，(1)m 为何值时，方程有两个相等的实数根？(2)是否存在实数 m，使方程的两根 一+二=-1?若存在， 求出方程的根；若不存在， 请说明理x2x1由。216.关于 x 一元二次方程(c-b)x 2(b-a)x a-b =0有两个相等的实数根，其中 a, b, c 是三角形 三边的长,试

6、判断这个三角形的形状。(1)(x1)(x21)；X.x2;xi2xiX2X2217已知 RtKBC 中，两直角边长为方程x2-(2m 7)x 4m(m - 2) = 0的两根， 且斜边长为 13，求S ABC的值韦达定理的应用测试题日期：_月_日 满分：_100 分 姓名：_得分：_21.关于 x 的方程ax -2x 0中，如果 a0,那么根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.不能确定2将方程X3-4X-1=0的左边变成平方的形式是（）2 2 23 29 93设X1,X2是方程2X -6X 3=0的两根， 则X12X22的值是（）2A.（X-2） =1B

7、.（X-2） =1C. （X- 2） 2 =5 D.（X-2） =54已知 x 方程mx2 nx k = 0(m = 0)有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是()A.n24mk ：0 OB n24mk =0C.n24mk 0D.n24mk_05. 若关于 x 的一元二次方程kx2-6x 9=0有两个不相等的实数根，贝yk 的取值范围为()A. k0 D. k1 且 k026. 关于 x 的方程(a -2)x -2ax a 1 = 0有两个不相等的实数根，a 的值为()A. a-2B. - 2a-2 且 a 工 2 D. a 二 2 且 a 工 227._设 n 为方程x +mx + n

8、=0(n #0)的一个根，贝U m + n等于_2 28. 如果一元二次方程x +4x+k =0有两个相等的实数根，那么 k=_9. 如果关于 x 的方程2x (4k 1)x 2k 1=0有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是210. 已知,x2是方程-x -5x-2=0的两根，贝y：2(1)X1X2=_； (2)xX2=_； (3)(X1-X2)=_11. 解下列一元二次方程：2 2 2(1)2x 3x 1 = 0(2)7x4x3 = 0 x6x 2 = 0A.15B.12C.6D.312.已知关于 x 的方程2x(m 1)x V-mnO的一个根为 4,求 m 值及此方程的另一个根。2

9、 213.已知： 关于 x 的一元二次方程x -2(2m-3)x，4m -14m 0,若 m 0,求证：方程有两 个不相等的实数根。14.若规定两数 a, b 通过“运算，得到 4ab,即玄b=4ab.例如 2 探 6=4x2X6=48.(1)求 3 探 5 的值；(2)求乂x+2探x-2探4=0 中 x 的值。15.求证： 不论 k 取什么实数， 方程x2_(k 6)x 4(k -3) =0定有两个不相等的实数根元二次方程韦达定理的应用参考答案知识点:一元二次方程根的判别式：2当厶。时b -4ac 0方程有两个不相等的实数根，2当4=0 时b -4ac =0方程有有 两个相等的实数根，当2

10、时，原方程永远有两个实数根.分析：厶=b2-4ac=(-2m)2- 4 1 (8m-4)配方法 论证例 2.已知关于 x 的方程kx2-2(k 1)x k -1=0 有两个不相等的实数根.(1) 求 k 的取值范围；(2) 是否存在实数 k,使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在， 求出 k 的值;若不存在，说明理由.1(1)k且k = 0(2 )不存在，k=-1 时无实数根3例 3.已知关于 x 的方程x2-2(k -3)x k2-4k -1 =0(1)若这个方程有实数根，求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为1 ,求 k 的值；(1)k 0，关于 x 的方程x2-(m-2n)x

11、mn = 0有两个相等的正的实数根，求一的值。4nm=1,4n课堂练习:A.x22x仁0B.x22.2x 2= 0C.x2、2x仁0D.x2x 2 = 021 12已知x,x2是方程x -3x 1 =0的两个根，则的值是(A )捲x21A.3B.-3 CC. -D .133. 关于 x 的二次方程(m-1)x2 x m2 2m-3 = 0的一个根为 0,贝Um 的值为(B )A.1B.-3C.1 或一 3D.不等于 1 的实数2 24. 方程x -(k -25)x (k -2) =0的两根互为相反数，k 的值为(C)A. k =5 或-5B. k =5C. k = -5D.以上都不对25. 若

12、方程xmx 0的两根之差的平方为48，贝Um 的值为(A)A.8B.8C.-8D.46._已知关于x的方程10 x2(m+3)x + m7 = 0,若有一个根为 0,贝Um=_7_,这时方程的亠3另一个根是_0_;右两根之和为，则 m=_-9_,这时方程的两个根为_5-7._已知方程x2+px1=o的一个根为2 + J5,可求得 p=_X1=E, X2=-1_58. 若2 -3是关于 x 的方程2x2-8x - k = 0的一个根，则另一个根为23, k=_2_ 。分析：八=(m 2n) $ _mn = (m_n )(m_4 n) =0X2X19. 方程2x26x5=0两根为a,3,贝Ua2+

13、 B2=_14_,(a 0)2= _19_。10. 要使9anJn*与3an是同类项，贝Un=_2 或 3_11. 解下列方程：22 2(1)(2x -1) =16(2)x -4x 3 =0(3)5x -3x-2=053,门2彳X1=2,X2=2片=1,X2 =3X1=,X2=1212. 关于 x 的方程ax -(2a -1)x (a -3) =0有实数根，求 a 的取值范围。1a且a 08213.设,X2是方程2x - 4x7=0的两根， 利用根与系数关系求下列各式的值：44(X11)(X21)；(2)凶生；(3)X12X22.9.如果关于 x 的方程2x2-（4k1）x 2k2-1 =0有

14、两个不相等的实数根,那么 k 的取值范围是(1)(2)6(3)314.关于 x 的方程x2-(2a-1)x-(a-3) =0,试说明无论 a 为任何实数， 方程总有两个不等实数根。分析：=(2a-1)24(a-3)=4a2-1115已知关于 x 的方程x22(m-1)x 3m2-1仁0，(1)m 为何值时，方程有两个相等的实数根？(2)是否存在实数m，使方程的两根x1+x2-_？若存在，求出方程的根；若不存在，请说明理X2X1由。2 2 2(1): =4(-1) -4(3m -11)-8m -8m 48 = 0，耳=2口2=-32(2)程 互=_2 =-1，可得3m2-4m-7=0，解得mi=

15、7,m = -1x1x2x1x2316.关于 x 一元二次方程(c-b)x2 2(b-a)x a-b =0有两个相等的实数根，其中 a, b, c 是三角形三边的长,试判断这个三角形的形状。解答：；：=4(b-a)24(a b)(c-b) =4(a b)(a-c) =0，a =b或a= c等腰三角形217已知 RtKBC 中，两直角边长为方程x -(2m 7)x 4m(m - 2) = 0的两根， 且斜边长为 13，求S ABC的值.答案：m =5,S.ABC =309.如果关于 x 的方程2x2-（4k1）x 2k2-1 =0有两个不相等的实数根,那么 k 的取值范围是韦达定理的应用测试题日

16、期：_月_日 满分：_100 分 姓名：_得分：_21.关于 x 的方程ax -2x 0中，如果 a0 ,那么根的情况是（C ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.不能确定22将方程x -4x -1 =0的左边变成平方的形式是 （D ）2 2 2A.（X-2） =1B.（X-2） =1C.（X- 2） 2 =5 D.（X-2）=53设羽兀是方程2x -6x? 3 =0的两根，则xj X25的值是（C）A.15B.12C.6D.324.已知 x 方程mx nx k = 0（m = 0）有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是（ D）A.n2-4mk ：00&

17、; n2-4mk =0c.n2-4mk 0D.n2-4mk_025. 若关于 x 的一元二次方程kx -6x *9=0有两个不相等的实数根，贝Uk 的取值范围为（ D）A. k0 D. k1 且 k05 28. 如果一元二次方程x +4x+k =0有两个相等的实数根，那么 k=_戈_6. 关于 x 的方程（a -2）x2-2ax a0有两个不相等的实数根，a 的值为（C ）A. a-2B. - 2a-2 且 a 工 2 D. a 二 2 且 a 工 227. 设 n 为方程x +mx + n=0（n式0）的一个根，贝U m + n等于 -1_9.如果关于 x 的方程2x2-（4k1）x 2k2

18、-1 =0有两个不相等的实数根,那么 k 的取值范围是210已知,x2是方程-x -5x-2=0的两根，贝 y：2 2元二次方程x -2(2m-3)x，4m -14m，8 = 0,若 m 0,求证：方程有两个不相等的实数根。a, b 通过“运算，得到 4ab,即玄b=4ab.例如7:6=4x2X6=48.(1)求 3 探 5 的值；(2)求乂x+2 探x-2 探 4=0 中 x 的值。(1) 4x3x5=60；(2)x1x2=2；(3)(X1-X2)=_17.11.解下列一元二次方程:2(1)2x23x 1 = 02(2)7x -4x - 3 = 0(21)x(1)(7x 3)(x -1) =03-1X二-212.已知关于 x 的方程X1弓X2=122x -(m 1)x，1-m = 0的一个根为 4,求 m 值及此方程的另一个根。296m, x1：13.已知：关于 x 的14.若规定两数15.求证：不论 k 取什么实数，方程x- (k 6)x 4(k -3) -0定有两个不相等的实数根分析：，;.=b2-4ac=(k 6)2-16(k-3) 0仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur