切比雪夫滤波器设计

1、切比雪夫滤波器设计巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此,当通带的边界处满足指标要求时， 通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将 精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。H(j )|(b图1切比雪夫I型滤波器的振幅特性(a) N=3, 2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性(b)N=4, 2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性图2切比雪夫II型滤波器的振幅特14(b切比雪夫滤波器的振幅特T生就具有这种等波纹特1生。 是等波纹的，在阻带内是单调的称为切比雪夫I型

2、滤波器；振幅特性在通带内是单调的它有两种类型：振幅特性在通带内 在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图1和图2分别画出了N为奇数、偶数时的切比雪夫1、切比雪夫I型滤波器的基本特点I II型滤波器的频率特性。A2()H(j)21N现在介绍切比雪夫I型滤波器的设计，切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为 为小于1的正数，表示通带内振幅波动的程度。越大，波动也越大。/ p为对H(j )|H(j )N为奇数$(j )|N为偶数P为截止频率，也是滤波器的通带带宽(注：切比雪夫滤波器的通带带宽并不一定是3dB带宽)。CN(X)是N阶切比雪夫多项式定义为截止

3、频率P的归一化频率5chx ch1(x) arcch(x) ln(xx21)上式可展开为多项式的形式如表1所示：由表1可归纳出各阶切比雪夫多项式的递推公式 为CN1 (x)2XCN(X)CN1 (x)图3示出了N=0, 4，5时切比雪夫多项式的特性。由 图3可见：其中COS 1(x)为反余弦函数;定义如下所示cos(Ncos x) 0 x 1CN(X1)ch(Nch x)ch(x)为双曲余弦函数；ch i(x)为反双曲余弦函数；它们的1切比雪夫多项式的零值在0 x1的间隔内。NCN(X)011X22x21334x 3x48x48x212当xl时，|CN(X)1，且具有等波纹幅度特 性。CN(X

4、)是双曲余弦函数，随着调增加。再看函数2厂/、2 0N(X),是小于1的实数，CN(X)的值在x1之内，将在2220至之间改变。而1CN(X)的函数值在X1之内，将在2至1之间改变。然后将192CN(X)取倒数，即可得切比雪夫型滤波器幅度平方函 数。2大值为1，最小值为增大,25N() ? 1,贝y H(j )很快接近于零。图5 7画出了切比雪夫I型滤波器振幅特性曲线从中可以看出：振幅特性H(j)的起伏为1:上因少所以在J1时，H(j) r，即切比雪夫I型滤波器的截止频率并不对应41r3dB的衰减。表1切比雪夫多项式3根据以上所述，在1的区间外，1 H(j)在接近1处振荡，其最x而单CN(X)

5、图3切比雪夫多项式曲线2、切比雪夫I型滤波器设计方法要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数，需要确定三个参数：何确定这三个参N。下面研究如 数，具体步骤如下：(1)将实际频率 归一化得代入(2)确定和再根据已知的Ps，幅度平方函数|H(j )|212CN(确定定义通带波纹(即通带衰减(以分贝为单位)为:ioig2l0ig22CN(H(jioigioig2cN(P)22SN心22CN(P)10P1022CN(S)2ch2Nch1( s)因为P 1CN(1)1,所以1O10ch2Nch1(s)10% 110P7t1其中ch la)ch J)1O1011O101这样可以求出和N,其中ch1(x) in

6、x . x21 o3、综上所述，设计切比雪夫低通滤波器的基本步骤如下:(1)计算归一化频率(2)根据通带波纹(通带衰减)Pdb，按照210斋1式计算；(3)根据阻带起始频率s，阻带衰减s和。按照N式计算滤波器的阶数N;1的低频特性求出待定系数do，注：当N为偶数时，H (0):;当N为奇数时，H (0)1 !2(5)去掉归一化影响根据截止频率P按照H (s) H ( p) p卫式计算切比雪夫滤波P器的系统函数H (s)；4、举例说明已知通带波纹为ldb，截止频率P0.3rad / s，阻带截止频率带衰减大于15db，试设计满足上述性能指标的切比雪夫I型低通滤波器。解：已知PO.3，p1dB，s0.5，s15dB(1)计算归一化频率p P1， s s 1.6667。p(2)计算。p210而110.11 0.2589(4)根据滤波器阶数N,查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数H (p)；根据H(p)s 0.5rad /s，阻(3)计算滤波器的阶数N;1O101|101P110151 10。川28757ch1(a)ch1(s)1需)2.8013选定N=3。(4)根据滤波器阶数N,查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数H(P);p 0.9883 p 1.2