不确定环境下的期权定价模型

1、Knight不确定环境下的期权定价模型 摘要：传统的金融学主要研究的是投资个体在风险环境中投资组合选择和资产定价问题。而knight不确定性与风险是有区别的。风险（risk）是概率分布唯一存在的、在数量上可确定的、封闭和完备的那种不确定性，而Knight不确定性则是指不具有这些性质的、易受“潜在意外”和新事物影响而经常变化的不确定性，这种不确定性不能被单一概率所揭示。Ellsberg悖论指出Knight不确定性的存在确实会影响当事人的选择行为。Knight不确定环境下的基础资产定价已经取得重大突破(Epstein, 1994）。本文此基础上提出Knight不确定环境下的期权定价方法，为衍生金融

2、工具的定价提供一条新思路。本文利用-模糊测度和Choquet积分来导出Knight不确定环境下欧式无红利期权的价格表示。认为在knight环境下期权的价格是一个区间而不是某个特定得值。该种方法在金融经济学领域有着广泛的使用前景。关键词：Knight不确定性，期权定价，-模糊测度，Choquet积分1. 引言主流的资产定价理论，包括被Cochrane(2001)认为是金融资产定价的两根“支柱”的均衡定价理论和套利定价理论，总是假定投资者不但清楚地知道未来可能出现哪些不确定性状态，而且能够对其发生的概率做出估计这些估计至少在投资者看来是可靠的，他们正是在此基础上进行选择或决策。这种处理外部不确定环

3、境的手法是从经济学那里承袭来的，新古典学派的理性经济人模型等经济学研究都普遍使用该方法。事实上，面对充满了不确定因素的金融市场，这个假定是有局限性的。Knight(1921) 和Keynes(1921) 在不同场景下对于风险和不确定性都作了相同的辨析，指出了可知的不确定性（风险）和不可知的不确定性（真正的不确定性）的本质差异。其后的研究者常常将“真正”的不确定性称为“Knight不确定性（Knightian uncertainty）”或“不明确性（ambiguity）”，并在模型研究中将风险（risk）限定为概率分布唯一存在的、在数量上可确定的、封闭和完备的那种不确定性，而设定Knight不确

4、定性为不具有这些性质的、易受“潜在意外”和新事物影响而经常变化的不确定性。Knight不确定性的本质并非“未知”而是不可知，处理未知可以使用贝叶斯方法，而处理不可知则需要完全不同的方法。Ellsberg(1961) 基于实验提出了著名的Ellsberg悖论，指出Knight不确定性的存在确实会影响当事人的选择行为，这种行为无法用单一概率测度的观点加以解释。因为这里的概率测度不但违背了著名的Von Neumann-Morgenstern公理系统，甚至违背Savage(1954) 提出的主观概率存在的公理体系，而这些体系是主流经济学和金融学讨论风险决策时所必须遵循的基本原则。由Ellsberg悖论

5、引发了大量实证研究，其中既有基于实验的也有基于市场的，这些内容在Camerer and Weber(1992)中有很好的综述。由于利息过程和红利过程都面临Knight不确定性（Papamarcou and Fine(1991)、Barsky and Delong(1992)），因此资产定价研究也需要考虑Knight不确定性。通过研究Knight不确定性，金融市场一些现存的“谜”，例如价格突变、资产收益率的超额波动性、经纪商的买卖差价、期权平价公式的背离以及投资组合惯性等，都能得到较好地解释（Basili(2001)）。Miao and Wang(2004) 甚至发现Knight不确定性会影响美

6、式期权执行时间的决定。Epstein and Wang(1994) 将Lucas无限期经济人代表模型扩展到Knight不确定环境下，讨论了证券的均衡定价问题。其中经济人代表的信念被描述成一个概率测度集合，并在此基础上导出连续均衡价格过程，发现均衡价格有不唯一的可能性，证明了同时存在的多个均衡价格必然分布在同一个连通闭集内的结论，并在此基础上很好地解释了超额波动现象。 Epstein and Wang(1995) 进一步放宽了上述条件，允许不连续均衡价格在一定范围内存在，解释了外界条件没有发生显著变化时证券价格也可能发生突变的奇异现象。Epstein and Chen(2002) 还将上述模型扩

7、展到连续时间场合，同样得到了类似的结论。 文献调研表明，资产定价研究中的Knight不确定性已经为越来越多的研究者所重视，在基础资产定价领域已经取得突破，衍生资产定价研究的大门也正在开启。尽管已经出现了一些触及Knight环境下衍生产品定价问题的研究，例如Mceneaney(1997) 用稳健性控制方法给完全市场中只考虑风险的环境下的期权进行定价，得出了与传统的B-S公式相一致的结果；郑承利(2003) 采用基于非可加测度的模糊期权定价方法对市政债券发债规模控制进行了实证研究；Miao and Wang(2004)关于Knight不确定性对美式期权执行时间决定的影响的理论研究等，但是都尚未深入

8、。然而在一个完整的资产定价体系中，衍生产品定价是不可或缺的基本组成部分，所以有必要系统地研究Knight不确定性环境下期权定价的理论和方法。本文旨在提出一种基于Knight不确定环境下的期权定价方法。2. 用-模糊测度表征Knight不确定性环境下投资者个体的信念用来描述Knight不确定性下的个体信念迄今为止有两种方法，其一是以Epstein and Wang(1994，1995)为代表的多先验概率模型。个体的期望效用表示为。未来的不明确性用一族概率测度来表述，P()就是这样的一个概率测度族。它表示如果现在的状态是，则P()包含了将来出现各个状态的概率的所有可能值m。值得注意的是P()中的元

9、素m是一个定义在(,)上的概率测度，而不是某个特殊状态的概率值。它实际上是选取得所有概率测度下的最小的期望值。另一种表达信念的方法是以Chateauneuf(1991)等为代表的用一个非可加测度（容度）和基于非可加测度的Choquet积分来表征个体的效用评价，并且指出了在满足某些条件的前提下，两种方式是等价的。本文遵循着后一种方法，即用一个非可加测度来表征个体效用。在这里我们使用一种特殊的非可加测度，即-模糊测度来表示Knight不确定环境下的投资人信念。令为自然状态空间，为的子集所构成的-代数。定义1：一个定义在上的实值集函数是一个容度，如果它满足：(a) (Ø)=0，()=1(b

10、) 单调性，即"A、BÎ，若AÌB，则(A)(B)。进一步地，若还满足"A、BÎ，有(AÈB)+ (AÇB)³(A)+(B)，则称是凸容度；若(AÈB)+ (AÇB) (A)+(B)，则称是凹容度。显然容度不满足可加性。定义2：对于任意非负随机变量f: R+，f关于的 Choquet积分定义为：。定义3 (Wang and Kilr, 1992)：: 0, 是一个上的-模糊测度当且仅当：(a) 它满足-规则，即存在使得，其中对于中的不交序列En 有。(b) 至少存在一个集合E有(E)<。若

11、还满足()=1，则称是一个正规的-模糊测度。定义4：扭曲函数是一个定义在0, 1上的连续的严格单调递增映射，且满足(0)=0，(1)=1。设P是(,)上的一个概率测度，则=P是一个容度，并且若是一个凸函数，则是一个凸容度；若是一个凹函数，则是一个凹容度。本文中我们使用Wang and Kilr(1992)中给出的扭曲函数来构建一个正规的-模糊测度，即：. (1)易知，在（1）式的扭曲函数下，=P是一个正规的-模糊测度，当然也是一个容度。同时，当0时，概率测度与-模糊测度之间存在一一对应关系。若是一个上的-模糊测度，则P=log1+(1+)是一个上的概率测度；反之，若P是一个上的概率测度，则是上

12、的-模糊测度(Zhang and Ye, 1997)。当>0时，是一个凹函数，因此是一个凹容度，它满足超可加性；当<0时，是一个凸函数，因此是一个凸容度，它满足次可加性。这里我们给出-模糊测度和Choquet积分的经济解释。使用扭曲函数来构建-模糊测度需要依赖于一个被扭曲的概率测度P，我们可以把它看作是事件发生的客观概率。在投资者个体不能清楚地知道这个客观概率时，个体只能选择一个非可加测度来替代这个概率测度。因此只要0，就意味着经济行为人面临Knight不确定性。对于投资者个体来说，应该是一个外生给定的量，因为它反映了个体所能够捕获到的市场信息，这个信息量的大小一般说来不会受到个体

13、本身的影响。换句话说，个体所能得到的信息量是客观的。然而对于信息的加工和处理过程最终并形成个体的信念，对未来状态发生概率的估计，是属于个体自身的因素，具有主观性。当>0时，个体表现出对Knight不确定性的厌恶态度，并且随着值的增大，采用一种超可加测度的信息处理方式，经济行为人表现出越来越悲观的心态；而当<0时，个体表现出对Knight不确定性的喜好态度，并且随着值的减小，个体采用一种次可加测度的信息处理方式，经济行为人表现出越来越乐观的心态（关于不确定性厌恶和不确定性喜好的概念，请参阅Chateauneuf(1991)）。同时，投资人个体的值并不是一成不变的，会受到整个市场的影响

14、：当市场繁荣时，个体的态度会趋于乐观，值会逐渐减小；当市场萧条时，个体的态度会趋于悲观，值会逐渐变大。于是，事实上可以成为反映市场的心理指数。3. 欧式无红利股票期权价格的导出本节我们导出Knight不确定环境下的欧式无红利股票期权的定价公式。假设在一个两期经济中，市场上只存在一个经济代表人。欧式无红利股票看涨期权的期末支付为CT=maxST-K, 0，其中ST是期权到期时标的资产的价格，K是期权的执行价格，假设T是到期时间，rf是0, T时间内的无风险利率， EQ·是等价鞅测度Q下的期望。则看涨期权的价格为（Cochrance, 2001）：。 （2）为了解决Knight不确定环境

15、下期权的定价方法，本文用l-模糊测度和Choquet期望分别去替代概率测度和风险中性概率下的期望。于是（2）式被改写为：， （3）其中，这里Q是风险中性概率，它是某个客观概率的等价鞅概率，若经济代表人的信息是清晰明确的，则=0；如果考虑Knight不明确性，则这个客观概率被扭曲，用一个相应的非可加测度来描述。CE·表示关于容度的Choquet期望。我们利用对偶测度构建模糊价格区间，即，其中，AÎ，AC=-A。显然，若是上的-模糊测度，则是上的*-模糊测度，被称为l的对偶参数。当=0时，表示经济代理人能够准确的用一个概率来描述未来状态的发生。偏离0越远，信息越不明确，因而代理

16、经济人越不能确定期权的具体价格。对于一个给定的l-模糊测度和它的对偶测度，Knight不明确性下的期权价格区间为： ，其中；以及 。（1）若在1期，股票价格有两个状态，即uS、dS，为避免退化的情况，u<1+rf<d。对于看涨期权， （5） （6）于是，当0时，c, c*构成一个期权的价格区间。同样地，对于看跌期权有：这与Epstein(1994)中所指出的，在Knight不确定环境下，金融资产的均衡价格是一个区间而不是一个确定的值，在思路上是一致的。当期末标的资产的收益率服从正态分布时，情况会变得复杂些，下面我们简单的进行一下讨论。（2）若在期末，股票收益率服从正态分布，易知风险

17、中性概率Q也是正态分布的，则 （7） （8）其中，N·表示标准正态的累积概率分布函数。上式中若=0，结果则与Black-Scholes期权定价公式一致。这说明，B-S公式没有考虑信息的不明确性对资产价格的影响。 同理可得看跌期权的定价公式：；，其中。图1：欧式期权价值随变化图图1指出欧式期权随的值变化而使得交易区间不断增大。这意味着当投资人个体的信息越来越模糊时，期权的均衡价格范围也越来越大。值得指出的是，郑承利(2003)中也提出了异质经济人环境下的期权定价方法，其中也用到了-模糊测度，虽然推导过程相似，但经济原理显然不同。在郑承利(2003)中所考虑的是异质经济行为人对市场信息不

18、同的处理方式最终导致不同的均衡价格，而其本质上还是在风险的环境下考虑期权定价问题。本文是在经济代表人面临Knight不确定环境的期权定价问题的研究。从研究对象上来说，经济环境不一样，经济结构也不同。因此这个结果所表示的经济含义也截然不同。虽然两者最后都归到一个价格区间，然而郑承利(2003)中的价格区间所反映的是经济人由于对市场的看法不同故价格会受到经济人行为的影响，在这种情况下要解释均衡是比较困难的。本文是代表经济人模型，均衡的问题比较容易处理，同时均衡价格在一个区间内则是因为代理人所掌握的信息结构不完全所导致。5. 结论风险和Knight不确定性（有时也称不明确性（ambiguity）有本

19、质差异。通常风险（risk）可以被唯一的概率测度所描述，而在Knight不确定性情况下，投资者对未来的主观评估不能用唯一的概率来表示。通常是用一族概率测度或某个非可加概率来表示。本文我们使用-模糊测度和Choquet积分来表达经济行为人的信念。并且指出，当0，意味着经济行为人面临Knight不确定性。当>0时，个体表现出对Knight不确定性的厌恶态度，并且随着值的增大，经济行为人表现出越来越悲观的心态；而当<0时，个体表现出对Knight不确定性的喜好态度，并且随着值的减小，经济行为人表现出越来越乐观的心态。基于-模糊测度和Choquet积分，我们证明了Knight不确定环境下，

20、无红利欧式期权的均衡价格是一个区间而不是一个确定的值，这将为Knight不确定环境下衍生资产定价的进一步研究提供一些思路。参考文献:1 Barsky, R. B., and J. B. Delong (1992): “Why Does the Stock Market Fluctuate?” NBER Working Paper 39952 Basili, M. (2001): “Knightian Uncertainty in Financial Markets: An Assessment”, Economic Notes 30, 1-263 Camerer, C., and M. Web

21、er (1992): “Recent Developments in Modeling Preferences: Uncertainty and Ambiguity”, Journal of Risk and Uncertainty 5, 325-3704 Chateauneuf, A. (1991): “On the use of Capacities in modeling uncertainty aversion and risk aversion”, Journal of Mathematical Economics 20, 343-3695 Cochrane, J. H. (2001

22、): Asset Pricing, Princeton University Press, Princeton and Oxford6 Ellsberg, D. (1961): “Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms”, Quarterly Journal of Economics 75, 643-6697 Epstein, L. G., and T. Wang (1994): “Intertermporal Asset Pricing under Knightian Uncertainty”, Econometrica 62, 283-3228 Epstein, L. G., and T. Wang (1995): “Uncertainty, Risk-Neutral Measures and Security Price Booms and Crashes”, Journal of Economic Theory 67, 40-829 Epstein, L. G. and Z. Chen (2002): “Ambiguity, Risk and Asset Returns in Continuous Time”, Econometrica 70, 1403-144310 Keynes, J. M. (1921): A Tr