垂直平分线和角平分线典型题

1、线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质(1)垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等定理的数学表示：如图1,已知直线m与线段AB垂直相交于点D, 且AD= BD 若点 C在直线 m上，贝V AC= BC.定理的作用：证明两条线段相等(2)线段关于它的垂直平分线对称.课堂笔记2、线段垂直平分线性质定理的逆定理(1)线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图 2,已知直线m与线段AB垂直相交于点D, 若AC= BC则点C在直线 m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.课堂

2、笔记：3、关于三角形三边垂直平分线的定理(1)关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等定理的数学表示：如图 3,若直线i,j,k分别是 ABC三边AB BC CA的垂直平分线，则直线i, j,k相交于一点 Q且OA= OB= OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形在三角形外部反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角

3、三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形经典例题:fi例1 如图1，在 ABC中，BC= 8cm, AB的垂直平分线交 AB于点 D,交边 AC于点BCE的周长等于18cm,则AC的长等于（）A. 6cmB. 8cmC. 10cm D . 12cm课堂笔记:1）如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交 AB于点 D,交 AC于点E,如果 EBC勺周长是24cm 那么BC=如图，AB=AC=14cm,A的垂直平分线交 AB于点D,交AC于点E,如果BC=8cm那么 EBC的周长是如图，AB=AC,AB的垂直平分线交 AB于点D,交AC于点E,如果/ A=28度

4、，那么/ EBC是例 2.已知：AB=AC, DB=DC E 是 AD上一点，求证： BE=CE课堂笔记:针对性练习：已知：在厶ABC中, ON是 AB的垂直平分线，OA=OC求证：点O在BC的垂直平分线ANBC例3.在厶ABC中，AB=AC AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°, ABC的底角/ B的大小为课堂笔记：针对性练习：1. 在厶ABC中，AB=AC AB的垂直平分线与 AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为例4、如图8,已知 AD是 ABC的BC边上的高，且/ C= 2Z B,求证：BD= AC+ CD.证明：在BD上取一点E,使

5、DE= DC连接AE贝V AE= AC课堂笔记:课堂练习：1. 如图,ACAD, BG=BD 贝U（）垂直平分AD垂直平分CD平分/ ACBD.以上结论均不对2. 如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部,那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3. 下列命题中正确的命题有（）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条； 点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN则MN是线段AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线 .4. ABC中，AB的垂直平分线交AC于D,如果AG=5

6、 cm BC=4cm那么 DBC勺周长是（）A.6 cmB.7 cm C.8 cm cmC5. 已知如图，在 ABC中, AB=AC 0是厶ABC内一点，且OB=OC 求证：AOL BC.6. 如图，在 ABC中, AB=AC, / A=120°, AB的垂直平分线MN分别交BC AB于点M N.求证：CI=2BM课后作业:1.如图7,在厶ABC中, A3 23 , AB的垂直平分线交 AB于点D,交BC于点E, ACE的周长为50,求BC边的长.2. 已知：如图所示，/ ACB / ADB都是直角，且 AC=AD P是AB上任意一点，求证： CP=DP线段的垂直平分线与角平分线（2

7、）知识要点详解R4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4,已知OE是/AOB的平分线，F是OE上一点, 若CF丄OA于点C, DF丄OB于点D,贝V CF= DF.定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.课堂笔记：5、角平分线性质定理的逆定理:角平分线性质疋理的逆疋理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上DPA图5定理的数学表示：如图 5,已知点P在/ AOB的内部，且PC丄OA于 C, PD 丄OB于 D,若P3 PD,则点P在/ AOB的平分线上

8、.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系课堂笔记:FIEQ6、关于三角形三条角平分线的定理：(1)关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等定理的数学表示：如图 6，如果AP、BQ CR分别是 ABC的内角/BAC Z ABC Z ACB的平分线，那么：AP、BQ CR相交于一点I ;若ID、IE、IF分别垂直于 BC CA AB于点 D E、F,贝V DI = EI = FI.定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角

9、形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：(1)会作已知线段的垂直平分线;(2)会作已知角的角平分线;(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形课堂笔记:经典例题:例1、已知：如图，点B、C在Z A的两边上，且PE丄AB PF丄AC，垂足分别是 E、F。求证：PE=PF课堂笔记:针对性练习: 已知：PA、PC分别是 ABC外角/ MAC和/ NCA平分线，它们交于 P, PD丄BM于 D, PF丄BN于F,求证:BP为/ MBN勺平分线。例2、如图10,已知在直角梯形 ABCD中, AB/ CD AB丄BC E为BC中点，连接 AE DE DE平分/ ADC求证：AE平分/ BAD.课堂笔记:针对性练习：女口 图所示,AB=AC BD=CD DEL AB于 E , DF丄 AC于 F ,求证：DE=DF例3、如图11-1 ,已知在四边形 ABCD中 ,对角线 BD平分/ ABC且/BAD与Z BCD B互补， 求证：AD= CD