华工网络教育学院高数3

1、经济数学总复习题第1页共10页华南理工大学网络教育学院经济数学总复习题一一概率统计层次(专业)：高升专(工商管理、电子商务、计算机)说明：本文档中，标注“”号的题目为更重要的复习题。问答题(共 4 题，每题 5 分，共计 20 分)1.试写出概率的古典定义答：概率的古典定义：设随机试验为古典概型，匕的样本空间- w-, w2| wn，即共有 n 个样本点，事件 A 由其中 m 个样本点组成，则事件 A 的概率为:m A 中的样本点数P(A)_ n _1 中样本点数. 2.试写出条件概率的定义答：条件概率的定义： 在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率定义为 3.试写出全概率公式定理.答：

2、定理 1 (全概率公式)设事件A,A2,m,An构成完备事件组，且P(A) 0(i =1,2,|l(, n)，则对任意事件 B，有nP(B)=瓦P A P B( A|)i仝特别地，当 n=2 时，全概率公式为P( B)二P( A) P( B | A)_P( A) P( B| A) 3.试写出贝叶斯公式定理.答：定理 2(贝叶斯公式)设事件AAJllA构成完备事件组，P(Ai) 0(i =1,21, n)， 则对任意事件 B(P(B)0)，有P(Ak|B )nP(Ak尸B Ak)k(= iLI2n.,)瓦p(A )P B A )i =1 4.试写出随机变量 X 的分布函数的定义答：随机变量 X

3、的分布函数定义： 设 X 为一个随机变量，称定义域为(：，=)，函P(A|B)二P(AB)P(B)(P(B) 0).经济数学总复习题第2页共10页数值在区间0, 1上的实值函数F ( x)= P( X：(x：卜匚)为随机变量 X 的分布函数。 5试写出连续型随机变量的数学期望和方差的定义.答：定义 1： 设连续型随机变量 X 的密度函数为P(x)，若广义积分：xp(x)dx 绝对 收敛，则称该积分为连续型随机变量 X 的数学期望，记为E(X)= J：xp；x dxQU定义 2：设有随机变量 X，其数学期望为 E (X)，如果E(X E(X)2存在,则称它为随机变量X 的方差，记为D(X)或匚X

4、，进而对于离散型随机变量有D(X)= J(x- E(X)f P(x)dx X 为连续型随机变量06 试写出离散型随机变量的数学期望和方差的定义。 答：定义 1:设离散型随机变量的分布列为PX=xi=Pi, i=1,2l丨，nn则和式 7x pi称为 X 的数学期望。记为i 2oOE(X)八XiPi.7定义 2：设有随机变量 X，其数学期望为 E (X)，如果E(X E(X)2存在,则称它为随机变量X 的方差，记为D(X)或匚X，进而对于离散型随机变量有D(X) =(Xk-E(X)2p, X 为离散型随机变量。k 7什么叫随机试验？什么叫基本事件？什么叫样本空间？什么叫事件？答：一个试验如果满足

5、下述条件：(1) 试验可以在相同条件下重复进行；(2) 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3) 每次试验之前，不能判定哪一个结果将会出现。那么，称满足这三个条件的试验为一个随机试验。经济数学总复习题第3页共10页随机试验的每个可能结果称为一个基本事件或样本点。全体基本事件的集合称为样本空间，记作Q样本空间Q的任何一个子集都称为一个随机事件， 简称事件。常用大写英文字母 A，B， C，. 表示。经济数学总复习题第4页共10页填空题(共 8 题，每题 4 分，共计 32 分) 1 在抛掷骰子的随机试验中，记事件 A=点数为偶数=2 ,4,6,事件 B=点 数3=3,4,5,6 , C

6、= 点数为奇数=1 , 3, 5 , D = 2 , 4，则(1) 包含 D 的事件有 A, D ;(2)与 C 互不相容的事件有 A , D ;(3) C 的对立事件(逆事件)是 A . 2用事件 A , B, C 的运算关系式表示下列事件，则事件“ A 出现，B, C 都 不出现”可表示为ABC;同样有(1) 事件“ A , B 都出现，C 不出现”可表示为ABC;(2) 事件“三个事件都出现”可表示为 ABC ;(3) 事件“三个事件中至少有一个出现”可表示为 A B C .3设有 N 件产品，其中有 M 件次品，若从 N 件产品中任意抽取 n 件，则抽到 4.设P(B)=0.8,P(A

7、|B)=0.75，则由概率的乘法公式知，P(AB)=0.6 5.设P(B) =0.8,P(AB)=0.6，则由条件概率知，P(A|B)= 0.75. 6.随机变量数学期望的性质有(1)E(aX b)= aE(X)+b (a, b 为常数)；(2) 设有两个任意的随机变量 X， 丫， 它们的期望E(X),E(Y)存在， 则有E(X Y)二E(X)E(Y)。(3) 设X1,X2是 相互独立 的两个随机变量，且各自的期望均存在，则有E(X1X2)=E(XJE(X2). 7.(两点分布定义)若随机变量 X 的取值为 0, 1 两个值，分布列为PX=0= 1 p ,PX =1 =p (0 :：p：1)的

8、 n 件中检有m(m _ M )件次品的概率为 P= P =CMCN JMCN经济数学总复习题第5页共10页则称 X 服从两点分布(或 0-1 分布)，记作 XB (P). 8.(二项分布定义)若随机变量 X 的分布列为PX =k=C；pkqnJs,k =0,1，川,n,其中0：p门,q-p，则称 X 服从参数 n, p 的二项分布，记作 XB( n,p).9.(泊松分布定义)若随变量 X 的分布列为kPX =k= e ,k =0,1,2, Hl,k!其中为正常数，则称 X 服从参数为的泊松分布，记作 XP(，).,a 乞 x zb, b -a0,其他，则称 X 在区间a,b上服从均匀分布，记

9、作XUa,b.11 设(X1,X2,|l(Xn)为总体 X 的一个容量为n的样本，则称统计量1n(1)X二庆=、人为样本均值；ni:1n(2)S2= v(Xi-X)2为样本方差.n 7 12.由概率的加法公式知，(1) 对任意两个事件 A , B，有P(A B) =_(2) 如果事件 A , B 互不相容，则P(A B) =_;三计算题(共 6 题，每题 6 分，共计 36 分)10.(均匀分布定义)若随机变量X 的密度函数为P(x)二经济数学总复习题第6页共10页1设 A , B, C 为三事件，试用 A , B, C 表示下列事件：(1) A 不发生而 B, C 都发生；(2) A 不发生

10、而 B, C 中至少有一个发生；(3) A , B, C 中至少有两个发生；(4) A , B, C 中恰有两个发生.答案：(1)ABC；(2)A(B C)；(3)AB BC CA；(4)ABC+ABC+ABC；2袋中有 10 个球，分别编有号码 1 到 10,从中任取一球，设 A=取得球的号 码是偶数 , B=取得球的号码是奇数 , C=取得球的号码小于 5，问下列运算表示 什么事件：(1) A+B ； (2) AB ； (3) AC ； (4)AC ； (5)B C； (6) A-C.答案：(1)(2)； (3) 2 , 4 ； (4) 1 ,3, 5, 6,7,8,9, 10 ； (5)

11、6 , 8,10 ； (6) 6 , 8, 10； 3设有甲、乙两批种子，发芽率分别为 0.9 和 0.8，在两批种子中各随机取一 粒，求：(1) 两粒都发芽的概率；(2) 至少有一粒发芽的概率；(3) 恰有一粒发芽的概率.解：(1)由于两批种子的发芽率互不影响，且令 A、B 分别表示“取自甲中的种子 发芽”和“取自乙中的种子发芽”，则有P(AB)=P(A)P(B)= 0.9 0.8=0.72(2)P(A B) =P(A) P(B)-P(A)P(B)=0.9 0.8-0.72 = 0.98(3)P(AB AB P(A)P(B) P(A)P(B)= 0.9 0.2 0.1 0.8 = 0.26

12、4一批产品有 10 件，其中 4 件为次品，现从中任取 3 件，求取出的 3 件产品 中有次品的概率.解：样本点总数n二C；o.设 A=取出的 3 件产品中有次品.-C；1P(A) =1-P(A)=16C106 5设有甲、乙两名射手，他们每次射击命中目标的概率分别是0.8 和 0.7。现经济数学总复习题第7页共10页两人同时向同一目标射击一次，试求:(1) 目标被命中的概率；(2) 若已知目标被命中，贝U它是甲命中的概率是多少？解：设 A=甲命中目标 , B=乙命中目标 , C=目标被命中。则 C=A+B，在这个问题中，A 与 B 相互独立，而P(A) =0.8,P(B) =0.7，那么(1)

13、 目标被命中的概率为P(C) = P(A + B) = P(A) + P( B) _ P(AB)二P(A) P(B) - P(A)P(B)= 0.8 0.7 -0.8 0.7 =0.94或者利用 A 与 B 的相互独立性，有p(c)= 1 _ P(C) = 1 - P(A 一 B) = 1 一 P(AB)= 1 P(A)P(B)=1-0.2 0.3 = 0.94(2)在已知目标被命中条件下，贝尼是甲命中的概率为6.袋中有 m 个白球，n 个黑球，无放回地抽取两次，每次取一球，求:(1) 在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率；(2) 在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的条件概

14、率 . 解：用 A 表示“第一次取到白球”，B 表示“第二次取到白球”。(1)袋中原有 m+n 个球，其中 m 个白球。第一次取到白球后，袋中还有 m+n-1球，其中 m-1 个为白球。故(2)袋中原有 m+n 个球，其中 m 个白球，第一次取到黑球后，袋中还有 m+n-1个球，其中 m 个为白球。故P( BAF 7.批产品由 8 件正品和 2 件次品组成，从中任取 3 件，求：(1)这三件产 品全是正品的概率；(2)这三件产品中恰有一件次品的概率；(3)这三件产品中至少 有一件次品的概率。P(A|C)=P(AC)P(C)P(A) 0.8 _ 40P(C)一0.94一47P( B | Am -

15、1m n -1经济数学总复习题第8页共10页解：用 A，B，C 分别表示取出的三件产品“全是正品”，“恰有一件次品”，“至少有 一件次品”。经济数学总复习题第9页共10页P(A) =0.2,P(B) =0.45,P(AB) =0.15, 求:P(A| B)；则(1)(2)(3)P(A) =CCioP(B)3G3)67120 一1556120715c；c2+c8c；P(C)二Co64120815P(B|A);P(A|B).P(AB) 3解：P(A|BHPPA,P(B|A)=4P(B) 3P(A) 4P(A|B)=MJP(B) 11 9.已知下列样本值xi: 0.5, 0.6, 0.4, 0.8,

16、0.9, 1.3,列表计算样本均值x和样本方差S2._ 6_列表计算(为-X)2,7 Xi, 、 (Xi-X)2:i吕i=1结 ?果 变&123456求和Xi0. 50. 60. 40. 80. 91. 34. 5( -X)20. 060. 020. 120. 000. 020. 300. 52由公式(4 2-5)得到X J：x = 0.756 im16-代入公式(4-2-6)得到s2工(09。 10.某工厂生产一批商品，其中一等品点丄，每件一等品获利 3 元；二等品占2每件二等品获利 1 元；次品占-，每件次品亏损 2 元。求任取 1 件商品获利 X 的 613数学期望E(X)与方差D(X)

17、。 8.设 A , B 为随机事件,经济数学总复习题第10页共10页经济数学总复习题第11页共10页EX2=6X0.4+7X0.6=6.6(1)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=5+6.6=11.6(2)E(X1X2)=E(X1)E(X2)=5 6.6=333(3) D(X1)=EX1-E(XJ2八(Xk-E(XJ)2Rkm=(-32)0.3 f21 )0号(7) . 21 32D(X2)= EX2-E(X2)2八(Xk-E(X2)2PkkT22十0.6)20.4 (0.4)20.6 =0.24D(X1X2)=D(X1) D(X2) =13 0.24 =13.24四应用题(共 2 题，

18、每题 6 分，共计 12 分)8 某市场零售某蔬菜，进货后第一天售出的概率为0.7,每 500g 售价为 10 元；进货后第二天售出的概率为 0.2，每 500g 售价为 8 元；进货后第三天售出的概率为0.1,每 500g 售价为 4 元，求任取 500g 蔬菜售价 X 元的数学期望E(X)与方差D(X).9甲、乙两工人在一天的生产中，出现次品的数量分别为随机变量X!,X2，且分布列分别为：解:EX =3 - 1 - (一 2)1=1.523632 2D(X) =EX _E(X)八(XkE(X) Pk=(3)2 1(一1)2 1(-7)22223213X12412X267Pk0.30.50.2Pk0.40.6即 X=X1+X2,且已知它们的分布(1)E(XiX2)； (2)E(X1X2); (3)X2).11 设某仪器总长度 X 为两个部件长度之和,列分别为D(X1求:解: 因为EX1=2X0.3+4X0.5