巧用三角形的外角以及三角形内角和公式的变形答案

1、巧用三角形的外角以及三角形内角和公式的变形来解决三角形中角的有关求解与证明例 1： ABC 中，若/ A 2/ B+/C=0，则/ B 的度数是（ ）A.30 B.45C.60D.75提示：在厶ABC中，有/A+/B+/C=180，可适当变形为/A+/C=180Z B,而条件/A 2/B+Z C=0,也可变形为/A+ / C=2Z B，所 以可知180Z B=2Z B，解此方程即可得到Z B=60o例 2:如图， ABC 中，点 D 为边 AC上的一点，ZABD=ZADB，提示：在厶ABC中，有Z A+Z ABC+ Z C=180 ，在ABD中，有Z A+ Z ABD+ Z ADB=180 ，

2、由已知Z ABD= ZADB，可将 式变形为Z A+2 Z ADB=180 ，又因为Z ADB是厶BCD的一个外角，所以Z ADB = Z C+ Z DBC，代入式，式最终变形为Z A+ 2 （Z C+Z DBC）=180-，用可得2 （ZC+Z DBC )Z ABC-Z C=0 ,即卩2 (Z C+Z DBC) =Z AB C+Z C,整理后即得DBCABCC2例 3:已知，如图，在 ABC 中，AD、AE 分别是 ABC 的高和角 平分线， （1）若ZB=30，ZC=50，求ZDAE 的度数。（2）若ZCZB，试写出ZDAE 与（ZC-ZB）的数量关系。（不需要证明）提示：有三角形内角和1

3、80,可知ABC中/BAC=100，已知AE是/BAC的角平分线，所以/EAC=50。，在ADC中，/C=50,/ADC=90,有三角形内角和知/DAC=180-Z C-Z ADC=40 ,/DAE=/EAC-ZDAC=5040 =10由（1）的求解过程可知，要求得Z DAE的度数，需知道Z EAC与Z DAC的 度数，而我们知道Z DAC=180Z C-Z ADC=90 Z C，Z EAC的度数为1EAC BAC，2而 BAC 180 B C，则 EAC (180B C)，2所以 DAE= EAC- DAC例 4: ABC，如图 a，若 P 点是ZABC 和ZACB 的角平分线的交点，贝 S

4、P 901A2如图 b，若 P 点是ZABC 和外角ZACE 的角平分如图 c,若 P 点是外角ZCBF 和ZBCE 的角平分线= -(1802BC) - (90 - C)的交点则P 90- A2上述说法中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3提示：在BPC中，/P=180/PBC-Z PCB（三角形内角和），而PBC丄ABC,PCB - ACB,2 2所以P 180（11 ABC+-ACE），22而在&ABC中，有A+ABC+ACB=180，1适当变形为-A1ABC1ACB 90，222得到1ABC1ACB 90-A，222所以P 180（1ABC1ACB）22=180-（90-A

5、）2=90 + - A2在ABPC构成的“8字型”中，存在这样的关系：/A+/ABP=/P+Z PCA I （“8字型”在我的与三角形有关的角的 几个特殊类型一文里有详细介绍，这里不做赘述），1ABP - ABC（ BP 为角平分线）II，2PCA=! ACE（ PC 为角平分线），2而 ACE= A+ ABC（ ACE 为夕卜角），1所以 PCA=（ A+ ABC 川，2将I和川代入I即得11A+ ABC P -（ A+ ABC 22整理得 P=- A2在BPC中,由三角形内角和知：/ P+Z PBC+Z PCB=180 I,由的解题过程知CBF A ACB（ CBF 为夕卜角），BCE 二 A+ ABC（ BCE外角），PBC=1 CBF（ BP 为角平分线）21=-（AACB）n ,2PCB=1 BCE（CP 为角平分线）21=-（A+ ABC 川,2将n和川代入I即得1iP+-（ AACB）+-（ A+ ABC =180 ,22去括号得1111P+ A ACB+ A+ ABC=180IV ,2222而在 ABC 中，有 A+ ABC+ ACB=180,111所以1A1ACB +1ABC=90,222将其代入V式得1P+ A 90180 ,21整理得 P 90- A2因此答案