五种辅助线证明三角形

1、1五种辅助线证明三角形幻在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点下 面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考.一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考 虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长 线段相等.例 1.如图 1,在厶 ABC 中，/ ABC=60 , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB .求证: AC=AE+CD .分析：要证 AC=AE+CD , AE、CD 不在同一直线上.故在 AC 上截取 AF=AE，则只要证 明 CF=CD .证明

2、：在 AC 上截取 AF=AE，连接 OF./ AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB，/ ABC=60 / 1 + Z 2=60 ,AZ 4=Z 6= / 1 + Z 2=60 .显然， AEOAFO，/ 5= / 4=60 ,/ 7=180 （/ 4+ / 5） =60 在厶 DOC 与厶 FOC 中，/ 6= / 7=60，/ 2= / 3, OC=OC DOCFOC, CF=CD AC=AF+CF=AE+CD .二、中线倍长三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路.例 2 已知三角形的两边长分别为7 和 5，那么第三边上中线长 x 的取值

3、范围是（）.分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断.解：如图 2 所示，设 AB=7 , AC=5 , BC 上中线 AD=x . 延长 AD 至 E, 使 DE = AD=x ./ AD 是 BC 边上的中线， BD=CD/ ADC= / EDB （对顶角） ADCEDB BE=AC=5在 ABE 中 AB-BE V AE V AB+BE即 7-5 V 2xv 7+5三、作平行线当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时， 可通过作平行线将相等的角转换到某一个三 角形中得到2另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明

4、全等提供条件.例 3 .如图 3， 在等腰厶 ABC 中， AB=AC， 在 AB 上截取 BD， 在 AC 延长线上截取 CE, 且使 CE=BD .连接 DE 交 BC 于 F.求证：DF=EF .分析：要证 DF=EF，必须借助三角形全等而现有图形中没有全等三角形由等腰三角形 条件，可知/B= / ACB，作 DH / AE，可得/ DHB= / ACB .则 DBH 为等腰三角形.证明：作 DH / AE 交 BC 于 H./ DHB= / ACB ,/ AB=AC，/ B= / ACB/ DHB= / B , DH=BD/ CE=BD DH= CE又 DH / AE，/ HDF= /

5、 E/ DFH= / EFC （对顶角） DFHEFC （AAS ） DF=EF四、补全图形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更 多的相等关系，有助于问题的解决.例 4.如图 4，在 ABC 中，AC=BC，/ B=90 , BD 为/ ABC 的平分线.若 A 点到直线 BD 的距离 AD 为 a,求 BE 的长.分析：题设中只有一条已知线段AD，且为直角边，而要求的 BE 为斜边要找到它们之间的关系，需设法构造其他的全等三角形.证明：延长 AD、BC 相交于 F.由 BD 为/ ABC 的平分线，BD 丄 AF .易证 ADBFDB FD= AD=

6、a AF=2a / F= / BAD又/ BAD+ / ABD=90。，/ F+Z FAC=90 / ABD= Z FAC/ BD 为 Z ABC 的平分线 / ABD= Z CBE Z FAC= Z CBE，而 Z ECB= Z ACF=90 , AC=BC3 ACFBCE (ASA )/ BE=AF=2a五、利用角的平分线对称构造全等角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边,利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角形是常 用的证明方法.例 5.如图 5,在四边形 ABCD 中，已知 BD 平分/ ABC，/ A+ /

7、 C=180 .证明：AD=CD .分析：由角的平分线条件，在 BC 上截取 BE=BA ,可构造 ABDEBD ,从而 AD=DE .则 只要证明 DE=CD .证明：在 BC 上截取 BE=BA，连接 DE .由 BD 平分/ ABC，易证 ABDEBD AD=DE / A= / BED又/ A+ / C=180。，/ BED+ / DEC=180 / DEC= / C,. DE=CD AD=CD二次根式双重非负性在实数范围内，我们知道式子表示非负数 a 的算术平方根，它具有双重非负性：(1)J-： ；(2)a0运用这两个简单的非负性，再结合非负数的性质“若几个非负数的和0,根据几个非负数

8、之和等于 0,则每个非负 = 02x-y + 6 =0，从而例 2 若实数 a、b 满足分析：因为；一：一” 0, 一 * +、0，故由非负数的性质，得fa +5 2 = 0,b-2a + 3-0.，两式相加，即得 2b a+i = 0.2010-dc|+7fl-2011=a，求 a -2010】的值.-2010+- 2011 = a,丄=2010,两边平方并整理，得：a -2010 一= 2011.等于 0,则这几个非负数都等于 0”可以解决一些似乎无从下手的算术平方根问题. 例 1已知也一+=0,求 x,y的值.分析：因为 0,疋+尹一3二02y+6=0,解之，得x =_i,y =4.数都

9、等于 0,可知例 3 已知实 a满足解：由 a -2011 上 0，得 a二 2011。故已知式可化为 a4解：考虑被开方数，得 -(“4)勺 0 从而 -:-,又 I -H,故-一 0,x = 4.原式=1.例 5 设等式丫一工一门_= .J； 一；一 T在实数范围内成立，其中 a、x、 3* + xy 于y是两两不同的实数，求_的值.解：由 a(x a)0 及 x aO 得 a0 ;由 a(y a)0 及 a yO得 a0,故 a = 0,从而已知式化为V _ 1 厂., x = y0,故原式=一-i_ = j .构造性辅助线四例在几何证明中除常见的连接、延长、作平行、作垂直等辅助线之外，

10、还有一种作辅助线的 思路，就是通过巧妙的几何变换构造出全等或是特殊图形。这种作辅助线方法我们通常称为构 造性辅助线。一、翻折构造例 1 如图 1 ,在等腰直角 ABC 的斜边 AB 上，取两点 M、N，使/ MCN=45。，记 AM=m ,MN=x , BN=n。则以 x、m、n 为边长的三角形的形状是()CA.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.随 x、m、n 变化而变化分析：要判断以 x、m、n 为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段长集中到 同一个三角形中；如何用好已知条件中的/ MCN=45 ，应同时考虑/ ACM+ / BCN=45 。为将长为 x、m、n 的三条

11、线段集中，可考虑将 ACM 沿 CM 翻折(如图)，这样可将 m、x 两条线段集中。再连接 PN，若能证明 PN=BN，则长为 x、m、n 的三条线段就集中到了 PMN 中。由/ ACM+ / BCN=45。 ， / PCM+ / PCN=45 二/ BCN= / PCN, 可证 BCNPCN , PN=BN=n。/ MPC= / A=45。，/ NPC= / B=45 /-Z MPN= / MPC+ / NPC=90 以 x、m、n 为边长的三角形的形状直角三角形。提示：当要证的结论需集中某些线段，且图形中出现了等量角的关系、角的平分线等条件 时，可考虑翻折构造。二、旋转构造例 2 如图 2

12、，已知 O 是等边三角形 ABC 内一点，Z AOB、/ BOC、/ AOC 的度数之比 为 6 : 5 ：4,在以 OA、OB、OC 为边的三角形中，求此三边所对的度数。例 4 在实数范围内，求代数式|7-(x-4)2-l|-2的值.5考虑到等边三角形的的特点，若将 AOB 绕 A 点旋转 60 到厶 AMC，因为 AOM 为 等边三角形， MO=AO，又 OB=MC，贝 U OA、OB、OC 就集中到了 COM 中。OA、OB、OC 为三边所对的角即为求厶 COM 的三个内角。由/ AOB、/ BOC、/ AOC 的度数之比为 6 : 5 : 4，设/ AOB=6x , / BOC=5x

13、, / AOC=4x 则有6x+5x+4x=360 , x=24 ,/ AMC= / AOB=6x=144。，/ AOC=4x=96 由/ AOM= / AMO=60 / MOC= / AOC- / AOM=36 ;Z OMC= / AMC- / AMO=84 / ACM=180 - (/ MOC+ / OMC ) =60 以 OA、OB、OC 为边的三角形三边所对的度数分别为：60、36、84提示：旋转构造一般多用于等边三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是应同时考虑 到旋转后的对应边能够重合，旋转角度能构成特殊角等两个条件。三、轴对称构例 3 如图 3，/ AOB=45。，角内有点 P,

14、 PO=10，在两边上有点 Q、R （均不同于 O）, 则厶 PQR的周长的最小值是 _ 。分析：要确定厶 PQR 的周长最小，关键是如何确定Q、R 的位置。而只有利用轴对称将折线段化为直线段才能求出最小值。已知条件中/ AOB=45 ，如果分别作 P 关于 OA、OB 的对称点 M、N，连 OM、ON , 根据轴对称性质则有/ MON=90 ，可构造出直角三角形。作 P 关于 OA、OB 的对称点 M、N，连 MN 与 OA、OB 的交点 Q、R，由轴对称性质，此 时厶 PQR的周长的最小，最小周长等于线段MN 的长度。连 OM、ON。由轴对称性质， OM=OP=ON=1O，/ MON=90

15、 , MN=10提示：一般地，求证几条折线段之和的问题通常考虑作轴对称，将折线段转化为直线段。四、特殊构造例 4 如图 4，在四边形 ABCD 中，/ ABC=30 ，/ ADC=60 , AD=CD。求证：2 2 2BD =AB +BC 。OA、OB、OC 三条线段集中到同一个三角形中。A6分析：所求证的关系为平方形式，联想到构造直角三角形运用勾股定理求证。/2 2ABC=30 ,已 BC 为边向外作等边三角形厶 BCE，则可得到/ ABE=90 , BC=BE，可将 AB +BC 转化为直角三角形 ABE 中 AB2+BE2。这样只需证明 AE=BD 即可。由/ ADC=60 , AD=C

16、D，连接 AC ,则厶 ADC 为等边三角形。易观察到易证厶 DCB 也 ACE，于是 AE=BD提示：根据题设条件中的特殊角构造特殊图形（等边三角形、直角三角形、正方形等），也是几何证明中常用的辅助线。动点最值问题解法探析一、问题原型：（人教版八年级上册第 42 页探究）如图 1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向 、J 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二、基本解法：对称共线法。禾 U 用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确 定动点位置，计算线路最短长度。三、一般结

17、论：线段和最小，常见有三种类型：（一）“ |定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动 点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值,最小值为定点线段的长。1.两个定点+ 一个动点。如图 1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点匚，线段丄（J 是另一定点）与 的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。例 1 （ 2006 年河南省中考题）如图 2，正方形 一_的边长为_ , _是一 T 的中点，一是DB7对角线 上一动点，则:二的最小值是_8解析：J 与二关于直线丄对称，

18、连结则丄丄亡E_ 1 _ 1连结，在.煨工乞中，二一，则DE=IDCEC2=72a7i2一；二一丄 2 J _ _! - 1 故；IT 的最小值为-从2 1例 2 （2009 年济南市中考题）如图 3，已知：抛物线+小- 111的对称轴为.1 ,与；轴交于、J 两点，与轴交于点，其中 丄工Miy（1）求这条抛物线的函数表达式；（2） 已知在对称轴上存在一点 ，使得KPBC的周长最小，请求出点一的坐标。解析：（1）对称轴为:,丄，由对称性可知： 一.山。根据、三_2 .4= _ xH x 2点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：（2）与 J 关于对称轴丄 【对称，连结与对称轴交点即为所求_点。

19、=_2X_2设直线解析式为：-二。把二、J 代入得，.5y二-乙卜1）-2二-夕 刊_1厂3），则J2.两个定点+两个动点。两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。EE29用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。10例 3 如图 4,河岸两侧有、J 两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥, 桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解析：设桥端两动点为一匸、T，那么 T 点随点而动，傢:等于河宽，且.拆；垂直于 河岸。将 J 向上平移河宽长到 丄，线段丄与河北岸线的交点即为桥端T 点位置。四边形上二：为平行四边形，_，此

20、时二 t 二二J 二 去值最小。那么来往 丄、丄两村最短路程为：二im -工一二一二“。例 4（2010 年天津市中考）在平面角坐标系中，矩形0ABC的顶点 0 在坐标原点，顶点虫、分别在丄轴、轴的正半轴上，土-，_，二为边上 的中点。（1） 若匸为边一上的一个动点，当 二二二的周长最小时，求点 匸的坐标；（2） 若二，：为边一上的两个动点，且 口 ，当四边形的周长最小时，求 点.芯，:的坐标。QDOD* = OD = = 2TYrn为 解析：作点二关于：轴的对称点：，则1，。（1）连接_交;.轴于点二，连接_1，此时匸一的周长最小。由bAOEs血COE.DOr）i?_JCxLi,t?_3x2

21、_1可知一 一 ，那么.，则J 1。（2 ）将向左平移 2 个单位（门-：）到点，定点、分别到动点二、的距离 和等于为定点 二、：到动点匸的距离和，即 f J - _7 II 二。从而把“两个定点和两 个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在，一上截取，连接丄 1交轴于匸，四边形为平行四边形，上_。此时-_ - I 一一 _ 值最小，则四边形一亠的周长最小。由可求直线 D J 解析式为yn ,当丿二时，八 3，即欧护），（也可以用（1）中相似的方法求匸坐标）11（二）“ |动定|+|动动|”型：两动点分别在两条直线上独立运动， 一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。利用轴对称变换

22、，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短）， 且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例 5 （2009 年陕西省中考）如图 6,在锐角 中，一 ：，_， 的平分线交一于点二，二分别是丄_：和匸上的动点，讥- .的最小值为 4。解析：角平分线所在直线是角的对称轴，丄？上动点关于匕的对称点匚在上,：，】，当一 J _二时，厂最小。作于：，交二于二, V 工-I?AB4旋作丄丄一匚交丄于，例 6 如图 7 四边形ABCD是等腰梯形，丄、一在轴上，在轴上，二二, 二兀“历，朋二 5

23、,CD= 3，抛物线 V i；一 过丄、两点。12（1）求、；（2） 设丁是|轴上方抛物线上的一动点，它到：轴与轴的距离之和为，求：的最大 值；（3） 当（2）中二点运动到使：取最大值时，此时记点 二为T，设线段丄/与轴交于 点二，：为线段丄上一动点，求；到点与到轴的距离之和的最小值，并求此时 ：点的 坐标。解析：（1）由|一一 匸 丄亠可得：丄二、2、二匕勿；根据、J 的坐标可求出抛物线解析式为 ; - -1（2）设 MQ），且（-lx4），则 d*+|x|=（-/+3x + 4）+|x|，用零点分段法 甘-：_（工_1）2+%:片兰 Q）可求得，-优-2 尸+8（。需NKNP=5丄匕有最小

24、值 5。函数: 十 1 ，此时：. 一,则“二匚，即匚。3. “|定动|+|动动|+|动定型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。例 7（2009 年漳州中考）如图 8, 一 ，一是上 内一点， III :-分别是1 和上的动点，求丄周长的最小值。解析：分别作 厂关于、上 的对称点、二，连接一，则十13当在线段上时，f.周长最小，二二二 II |【：。 则-周长的最小值为丨|.例 8（2009 年恩施中考）恩施到张家界高速公路/与沪渝高速公路二垂直，如图 9 建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（.1）位于两高速公路同侧_11：.:,到直线丄的距离为.；到直线

25、二和？的距离分别为.厂和 JI：；。 请你在二旁和旁各修建一服务区 厂、：_，使厂、：_组成的四边形的周长最小，并 求出这个最小值。解析：作点关于二轴的对称点弋，点 J 关于 T 轴的对称点.詁，连接 f ,；。当；、在线段上时，二匕丄一最小。过匚、匚分别作二轴、口由的平行线交于。在二亠二中，丄， 交二轴于，交厂轴于。f- .-，而丄丨四边形一.込巴的周长最小值为：- -三视图中的小正方体计数问题通过小正方体组合图形的三视图，确定组合图形中小正方体的个数，在中考或竞赛中经常 会遇到。解决这类问题如果没有掌握正确的方法，仅仅依赖空间想象去解决，不仅思维难度很 大，还很容易出错。通过三视图计算组合

26、图形的小正方体的个数，关键是要弄清楚这个小正方体组合图形共有 多少行、多少列、每行每列中各有多少层，理清了这些行、列、层的数量，小正方体的个数就 迎刃而解了。在三视图中，通过主视图、俯视图可以确定组合图形的列数；通过俯视图、左视 图可以确定组合图形的行数；通过主视图、左视图可以确定行与列中的最高层数。以上方法可简要地概括为：主俯看列，俯左看行，主左看层，分清行列层，计数不求人。”一、结果唯一的计数例 1 在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了 出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有（）。14TIE21左视图主视圉俯视图图 1A. 9 箱B.10 箱C.11 箱D

27、. 12 箱分析：由三视图可知，这堆货箱共有从前到后3 行，从左到右 3 列。由左视图：第一行均为 1 层，第二行最高 2 层，第三行最高 3 层；由主视图：第一列、第三列均为 1 层，第二列（中 间列）最高为 3 层。故第二行、第二列为 2 层，第三行第二列为 3 层，其余皆为 1 层。各行、 各列小正方体的个数如俯视图中所表示。这堆货箱共有3+1 + 1+2+1 + 1=9 （箱）。二、结果不唯一的计数图 2分析：由给出的主视图、俯视图可以看出，该几何体共有2 行，3 列。第 1 列均为 1 层,第 2 列最高 2 层，第 3 列最高 3 层。左视图为 A 时，第 1 行、第 2 行最高均

28、为 3 层。几何体中，第 1 列第 1 行为 1 层；第 2 列 第 1 行、第 2 行均可为 1 层或 2 层，但不能同时为 1 层；第 3 列两行均为 3 层。此时，小正 方体的个数如俯视图A 所示，最少为 1+2+1+3+3=10 （个），最多为 1+2+2+3+3=11 个。左视图为 B 时，第一行均为 1 层，第二行最高为 3 层。几何体中，第 1 列第 1 行为 1 层； 第 2 列第 1行为 1 层，第 2 行均可为 2 层；第 3 列第 1 行为 1 层，第 2 行为 3 层。此时，小正 方体的个数如俯视图 B所示。小正方体个数为 1 + 1 + 1+2+3=8 （个）。左视图为 C 时，第 1 行最高为 2 层，第 2 行最高为 3 层。几何体中，第 1 列第 1 行为 1 层； 第 2 列第 1 行为