扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷

1、扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答卷卡的相应位置上1. 在平面直角坐标系中，已知向量= (2，1)，向量= (3，5)，则向量的坐标为 【答案】（1，4）2. 设集合，则 【答案】3. 设复数z满足| z | = | z1 | = 1，则复数z的实部为 【答案】4. 设f (x)是定义在R上的奇函数，当x < 0时，f (x)x + ex（e为自然对数的底数），则的值为 【答案】5. 某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示

2、训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为 分钟S0For  I  From 1 to 28 Step 3 SS +IEnd ForPrint S（第6题）6 4 5 77 2 5 8 0 1 （第5题）【答案】726. 根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为 【答案】1457. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为 【答案】8. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的高为 cm【答案】9. 将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变

3、），得函数的图象，则的一个解析式为 【答案】 10.函数的所有零点之和为 【答案】 411. 设，且则的值为 【答案】12. 设数列an满足：，则a1的值大于20的概率为 【答案】13.设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，则maxx1x2，x2x3，x3x4，x4x5的最小值是 【答案】914.在平面直角坐标系xOy中，设，B，C是函数图象上的两点，且ABC为正三角形，则ABC的高为 【答案】2二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请把答案写在答题卡相应的位置上. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

4、骤15.（本小题满分14分）已知ABC的内角A的大小为120°，面积为（1）若AB，求ABC的另外两条边长；（2）设O为ABC的外心，当时，求的值【解】（1）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以bc=4 3分因为，所以.由余弦定理得 6分（2）由得，即，解得或48分设BC的中点为D，则，因为O为ABC的外心，所以，于是12分所以当时，；当时，14分16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面平面，BC/平面PAD，,ABCP（第16题）D求证： （1）平面；（2）平面平面【证】（1）因为BC/平面PAD，而BC平面ABCD，平面ABCD平面PAD = AD，

5、所以BC/AD 3分因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以平面6分ABCPDH（2）自P作PHAB于H，因为平面平面，且平面平面=AB，所以平面9分因为BC平面ABCD，所以BCPH因为,所以BCPB，而，于是点H与B不重合，即PBPH = H因为PB，PH平面PAB，所以BC平面PAB12分因为BC平面PBC，故平面PBC平面AB 14分17（本小题满分14分）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼

6、房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) 经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元. (每平方米平均综合费用) （1）求k的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？【解】（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米，所有建筑费用为(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)×1 000×10，所以，3分1 270，解之得

7、：k506分（2）设小区每幢为n(nN*)层时，每平方米平均综合费用为f (n)，由题设可知f (n) +25n+8252+8251225（元）.10分 当且仅当25n，即n8时等号成立12分答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元14分18. （本小题满分16分）已知函数f (x)(m3)x3 + 9x.（1）若函数f (x)在区间(，+)上是单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f (x)在区间1，2上的最大值为4，求m的值【解】（1）因为(0)9 > 0，所以f (x)在区间上只能是单调增函数 3分由(x)3(m3)x2 + 90在区

8、间(，+)上恒成立，所以m3故m的取值范围是3，) 6分（2）当m3时，f (x)在1，2上是增函数，所以f (x) maxf (2)8(m3)184,解得m<3，不合题意，舍去 8分当m3时，(x)3(m3) x2 + 9=0，得所以f (x)的单调区间为：单调减，单调增，单调减10分当，即时，所以f (x)在区间1，2上单调增，f (x) max f(2)8(m3)184，m，不满足题设要求当，即0m时，f (x) max舍去当，即m0时，则，所以f (x)在区间1，2上单调减，f (x) max f (1)m + 64，m2.综上所述：m216分19（本小题满分16分）在平面直角坐

9、标系xOy中，已知圆C：x2+y2r2和直线l：xa（其中r和a均为常数，且0 < r < a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q（1）若r2，M点的坐标为(4，2)，求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标【解】（1）当r2，M(4，2)，则A1(2，0)，A2(2，0).直线MA1的方程：x3y+2=0，解得2分直线MA2的方程：xy2=0，解得 4分由两点式，得直线PQ方程为：2xy2=0 6分（2）证法一：由题设得A1(r，0)，A2(r，0) .设M(a，t)，直线MA1的方程是：y =

10、(x+r)，直线MA1的方程是：y = (xr) 8分解得10分解得 12分于是直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程为 14分上式中令y = 0，得x，是一个与t无关的常数.故直线PQ过定点 16分证法二：由题设得A1(r，0)，A2(r，0) .设M(a，t)，直线MA1的方程是：y=(x+r)，与圆C的交点P设为P(x1，y1) 直线MA2的方程是：y=(xr)；与圆C的交点Q设为Q(x2，y2) 则点P(x1，y1) ，Q(x2，y2)在曲线(a+r)yt(x+r)(ar)yt(xr)=0上， 10分化简得 (a2r2)y22ty(axr2)+t2(x2r2)0 又有P(x1，y1) ，

11、Q(x2，y2)在圆C上，圆C：x2+y2r20 t2×得 (a2r2)y22ty(axr2)t2(x2r2) t2( x2+y2r2)0，化简得：(a2r2)y2t(axr2) t2 y0所以直线PQ的方程为(a2r2)y2t(axr2)-t2 y0 14分在中令y = 0得 x = ，故直线PQ过定点16分20（本小题满分16分）设无穷数列满足：，.记.（1）若，求证：=2，并求的值；（2）若是公差为1的等差数列，问是否为等差数列，证明你的结论【解】（1）因为，所以若，则矛盾，若，可得矛盾，所以 4分于是，从而 7分（2）是公差为1的等差数列，证明如下： 9分时，所以， ，13分

12、即，由题设，又，所以，即是等差数列16分数学II（附加题）21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤OAEBDFCA. 选修41：几何证明选讲如图，是的直径，是上的两点，过点作的切线FD交的延长线于点连结交于点. 求证：.【证明】连结OF因为DF切O于F，所以OFD=90°所以OFC+CFD=90°因为OC=OF，所以OCF=OFC 因为COAB于O，所以OCF+CEO=90° 5分所以CFD=CEO=DEF，所以DF=DE因为DF是O

13、的切线,所以DF2=DB·DA所以DE2=DB·DA 10分B. 选修42：矩阵与变换设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为，求矩阵M的逆矩阵【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是,由,得因为在圆上,所以，化简可得3分依题意可得，或而由可得6分故,10分C. 选修44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标中,已知圆,圆（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆的公共弦的参数方程【解】（1）圆的极坐标方程为， 圆的极坐标方程为，由得，故圆交点坐标为圆5分（2）由（1）得，圆交点直角坐标为，故圆的公共弦的参数方

14、程为 10分注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣2分D选修45：不等式选讲设正数a，b，c满足，求的最小值【解】因为a，b，c均为正数，且，所以于是 ，当且仅当时，等号成立 8分即，故的最小值为110分22. 必做题, 本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤如图，在三棱柱中，且（1）求棱与BC所成的角的大小；（第22题）BACA1B1C1（2）在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则 ，故与棱BC所成的角是 4分BACA1B1C1zxyP（2）P为棱中点，设，则设平面的法向量为n

15、1，则故n18分而平面的法向量是n2=(1，0，0)，则，解得，即P为棱中点，其坐标为10分23必做题, 本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤设b>0，函数，记（是函数的导函数），且当x = 1时，取得极小值2（1）求函数的单调增区间；（2）证明【解】（1）由题于是，若，则，与有极小值矛盾，所以令，并考虑到，知仅当时，取得极小值所以解得4分故，由，得，所以的单调增区间为（2）因为，所以记因为， 所以，故10分数学讲评建议第1题 考查向量的坐标运算及向量减法的几何意义. (1,4).第2题 考查集合的运算，一元二次不等式及不等式组的解法.本题评讲时着重运算的精准与快速.xy

16、O第3题 考查复数的概念，数形结合等数学思想.评讲时对复数的有关概念进行适当地疏理，防止学生出现知识盲点. 法一：设za+bi，由|z|z1|=1得，两式相减得.2 a=1，.第3题 法二：如图，圆x2+y2=1与圆(x1)2+y2=1交点的横坐标为. 法三：由z=1，(z1) (1)=1得z+=1，即2 a=1，. 法四：|z|1则令zcos+isin，再有|z1|=1得，(cos1)2+sin21，cos.第,4题 本题考查函数的奇函数的性质评讲时重点构造奇偶函数，考虑奇偶函数对称，由部分区间的函数求出相应对称区间的函数. 法一：(-ln6) e-ln6ln6-.法二：当x>0时，f

17、(x)-f (- x)x e-x.所以，ln6e-ln6ln6-.第5题 本题考查茎叶图的概念，重在看懂所给的茎叶图.评讲时对统计的有关知识适当归纳总结一下，统计重在操作，记住解题的步骤，按照课本的要求步骤解题.计算本题时，适当讲一些算平均值的方法与技巧.第6题 本题考查算法的概念，算法主要考查流程图与伪代码，复习时要求能看懂流程图与伪代码就行，不宜过难过深.第7题 本题考查圆锥曲线的几何性质.研究圆锥曲线的性质常用二种方法，一是由方程研究曲线的几何性质，二是由曲线的几何性质求曲线的方程.另外，在解题时，适当利用圆锥曲线的定义可以取到“时半功倍”之效. 法一：由题可得，椭圆两焦点F1(0,2)

18、，F1(0,-2)，c=2，2a=4， 即a2.所以，离心率e. 法二：设椭圆方程为：，由题意得：，解之得，c=2，离心率e.第8题 本题是由课本上的习题改编，主要圆锥的底面半径、高与母线之间关系，旋转体的侧面展开等知识. 由题设，圆锥的母线l=2，底面半径r=1，故其高h=.第9题 本题考查三角函数图象变换. 将函数的图象上每一点向右平移1个单位得 ，将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），则，即.第10题 本题考查函数的零点，对称性质及数形结合等.原函数的零点可看作函数f(x)sinx，g(x) 的交点的横坐标，因为f(x) 与g(x)均关于点(1,0)对称，故f(x)

19、与g(x)在(-1,3)上的四个交点的横坐标之和为4.第11题 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的恒等变换等. 法一：由得，由，所以. =. 法二：由得，由法一可知，. . 法三：由，得，= .第12题 本题考查数列、递推数列，概率及分类讨论. 法一：由得a216，或a26再由a216，或a26及，得a1=32，14，12，4.故概率为. 法二：由，得a2=a1+2，或a2=a1，a3=a2+2，或a3=a2， a3=a1+4，或a3=a1+4，或a3=a2，或a3=(a1+2) .由a3=8，得a1=32，14，12，4.(下略)第13题 本题考查不等式的有关知识与方法. maxx1x

20、2，x2x3，x3x4，x4x5maxx1x2，x3x4，x4x59. 当x1= x3= x5=9，x2= x41. 第14题 本题考查学生综合应用数学知识解决问题的能力.本题解法较多，但有些解法计算繁琐，下面介绍三个常规的简单的解法：法一：设正三角形ABC的边长为a，B(-1+acos(+30º)，1+ asin(+30º)，C(-1+acos(30º)，1+ asin(30º) ，由B、C在y=上，所以，两式相减得：a2cos2asimacos0，得a， 两式相加得：，a2sin2=4 由、 a.所以三角形的高为2. 法二：将直角坐标系旋转45º，则A(0，)，双曲线方程为：.设BC的方程为：y=kx+b，联立，消去得：(1k2)x22kbxb22=0.，BC中点D(，)，而直线AD的方程是：. 所以，=，AD，BC|x1x2| =，由ABC为正三角形，所以ADBC.k27. 故AD=2. 法三：提示，直接设BC直线方程为y=kx+b，与双曲线联立，仿照解法二可求得.第15题 第（1）问考查正弦定理、余弦定理的简单应用，第（2）问综合考查数量积，关键是将