第六节两个重要极限ppt课件

1、00lim( )()xxf xf x 微积分讲义微积分讲义设计制作设计制作王新心王新心2.6 两个重要极限两个重要极限（一极限存在的准则（一极限存在的准则（二两个重要极限（二两个重要极限（一极限存在的准则（一极限存在的准则【定理【定理 2.11】（准则又称夹逼定理）】（准则又称夹逼定理）limlimyzA 证因为limlimyzA 所以0 , 从某一时刻以后，,yAzA 恒成立，,AyAAzA 第二章第二章 极限与连续极限与连续若在某一变化过程中，yxz系，, ,x y z三个变量总有关且，lim xA 那么下列两个不等式即所以,AxA 也就是lim xA 证毕。例例1证明证明0limsin0

2、 xx 证当时，2x 0sin xx由0lim0 ,xx 再根据准则1，得0limsin0 xx 证毕。第二章第二章 极限与连续极限与连续,xA 即又由,yxz 得AyxzA 例例2证明证明0limcos1xx 证201cos2sin2xx 由和准则1，20lim02xx 0lim(1cos )0 xx 即0limcos1xx 证毕。第二章第二章 极限与连续极限与连续222()22xx得【定义】单调数列【定义】单调数列 设数列( )nyf n 若对如何正整数，n1( )(1)nnyf nyf n 称数列为单调增加数列；ny若对如何正整数，n1( )(1)nnyf nyf n 称数列为单调减少数

3、列。ny第二章第二章 极限与连续极限与连续恒有恒有单调增加数列单调增加数列单调减少数列单调减少数列单调单调数列数列【定理【定理 2.12】（准则】（准则2单调有界数列必单调有界数列必【定义】有界数列【定义】有界数列若存在两个常数和，m()M mM 例数列是单调增加的数列，11,nyn且，01ny1lim(1)1nn第二章第二章 极限与连续极限与连续n意正整数，( )nyf n 为有界数列。使对任( ),nmyf nM 恒有则称数列有极限。（证明略）有极限。（证明略）则此数列有极限，01x 2 1 3 2 4 3几何解释几何解释11nyn说明在准则2中第二章第二章 极限与连续极限与连续对单调减少

4、数列，只要求有下界即可。对单调减少数列，只要求有下界即可。对单调增加数列，只要求有上界即可；对单调增加数列，只要求有上界即可；nx1nxM1x2xxamnx1nx1x2xxb121nnxxxxM lim()nnxaM lim()nnxbm 121nnxxxxm 第二章第二章 极限与连续极限与连续222111lim12nnnnn 例3求解利用夹逼准则22211112nnnn2lim1,nnnn 2lim11nnn 且2nnn 21nn 第二章第二章 极限与连续极限与连续所以222111lim112nnnnn （二两个重要极限（二两个重要极限 DCBAx1o0sin(1) lim1xxx (0,)

5、2x 证当圆心角时，AOB 的面积的面积 圆扇形圆扇形AOB的面积的面积AOD的面积的面积即111sintan222xxx11sincosxxx(0)2x 第二章第二章 极限与连续极限与连续sincos1xxx(0)2x 0limcos1 ,xx 0sinlim1xxx证毕。11sincosxxx(0)2x 得到是偶函数是偶函数sinxx例4计算0tanlimxxx解00tansinlimlimcosxxxxxxx 00sinlimlimcosxxxxx 1 第二章第二章 极限与连续极限与连续例例5计算计算0sinlim(0)xkxkx 解00sinsinlimlimxxkxkxkxkx 0s

6、inlimttktk 例例6计算计算201coslimxxx 解201coslimxxx 2022sin2lim4()2xxx 20sin12lim22xxx 12 第二章第二章 极限与连续极限与连续tkx 2202sin2limxxx 1(2)lim(1)xxex 证先证数列的情况，证先证数列的情况，1(1)nnxn231(1) 1(1)(2) 111!2!3!nn nn nnnnn (1)(1) 1!nn nnnnn 1111211(1)(1)(1)2!3!nnn 1121(1)(1)(1)!nnnnn 第二章第二章 极限与连续极限与连续利用二项式定理111(1)1nnxn 1111211

7、(1)(1)(1)2!13!11nnn 1121(1)(1)(1)!111nnnnn 112(1)(1)(1)(1)!111nnnnn 第二章第二章 极限与连续极限与连续比较可知1(1,2,)nnxxn 又1111(1)112!3!nnxnn 2111111222n 1121112n 1132n 3 根据准则 2 可知数列有极限。nx第二章第二章 极限与连续极限与连续记此极限为 e ，e 为无理数，其值为2.718281828459045e 再证再证1lim(1)xxex当时，x 1(1)1xn 1(1)xn1(1)xx 第二章第二章 极限与连续极限与连续1lim(1)nnen即1 ,nxn

8、设1(1)1nn 11(1)nn 而1lim(1)1nnn e 11lim(1)nnn e 故1lim(1)xxex 第二章第二章 极限与连续极限与连续11(1)1lim111nnnn 11lim(1) (1)nnnn 故1lim(1),xxex当时，x (1)11lim(1)lim(1)1xtxtxt 11lim(1)ttt e 综合两式得1lim(1)xxex第二章第二章 极限与连续极限与连续(1),xt 令t 那么若在极限中，1lim(1)xxex得极限的另一种形式10lim(1)ttte第二章第二章 极限与连续极限与连续1tx 令这种数学模型在实际中非常有用，“银行计算复利问题”。例如

9、设本金为，0Ar利率为，期数为，t如果每期结算一次， 则本利和为A0(1)tAAr0(1)mtmrAAm 例7计算2lim(1)xxx 解2222lim(1)lim (1)xxxxxx222222lim(1)lim(1)xxxxxx2e 第二章第二章 极限与连续极限与连续如果每期结算次，m期本利和为mAt若立即产生立即结算， 即。m 例例8计算计算22lim()1xxxx 解22lim()1xxxx 11lim (1)1lim(1)xxxxxx 11lim(1)1lim(1)xxxxxx 11ee第二章第二章 极限与连续极限与连续lim()lim()11xxxxxxxx 内容小结内容小结2.两

10、个重要极限重要的是形式）两个重要极限重要的是形式）1.极限存在的准则极限存在的准则 夹逼准则夹逼准则单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限0sinlim1 1lim(1)e 10lim(1)e 中是相同的变量第二章第二章 极限与连续极限与连续作业作业P93 22-27备用题备用题1.填空题sin1) lim_ ;xxx 12) lim sin_ ;xxx 013) limsin_ ;xxx 14) lim(1)_ ;nnn 0101e 第二章第二章 极限与连续极限与连续2.填空题( 1)1lim()nnnn ( 1)1(1)lim()nnnn （2019）解01e22limsin1xxxx

11、22(2)limsin1xxxx （2019）解2 12第二章第二章 极限与连续极限与连续( 1)1lim(1) nnnnn 22222sin21limlim211xxxxxxxx lim(sin1sin)xxx3.计算解sin1sinxx 112sincos22xxxx lim(1)xxx 因为1lim01xxx1cos12xx 故lim(sin1sin)0 xxx 第二章第二章 极限与连续极限与连续和差化积和差化积公式公式222111lim12nnnnnn4.证明证利用夹逼准则2221112nnnnn 22lim1,nnnn 22lim1nnn 且所以222111lim12nnnnnn证毕22nnn 22nn 第二章第二章 极限与连续极限与连续5.设11()(1,2,),2nnnaxx