参考曲面积分与曲线积分

1、第十四章 曲线积分与曲面积分（ 高教社 刘玉莲 361） 14.1 曲线积分一、 第一型曲线积分首先讨论物质曲线的质量。如果在 xy 平面上有一条可求长的曲线 C，如图 14.1，已知 曲线 C 上点（ x,y ）的线密度是 （x,y）, 求曲线 C 的质量。在曲线 C 上依次任取一组点： A= A0 ， A1 ， A2， An 1， An =B ，记为分法 T。它 们将曲线 C分成 n个小弧： A0A1，A1A2， ，Ak 1Ak，An1An.设第 k个小弧 Ak 1 Ak的长是 sk ，在其上任取一点 Pk（ k， k）。在点 Pk的线密度（ k ， k ）近似代替第 k 个小弧 Ak 1

2、Ak 上每一点的线密度。于是，（ k ， k ） sk 应n是第 k 个小弧 Ak 1Ak 质量的近似值， k=1,2，n。它们的和，即（ k, k） sk应是曲k1线 C 质量的近似值。 设 （T）是分法 T 的 n 个小弧之长中最大者。（ T）越小，n（ k , k ） sk 越接近于曲线 C 的质量。于是，曲线 C 的质量 m 应该是极限k1nm= （lTim） 0（ k, k ） sk.k1抽取上式的物理意义就得到第一型曲线积分。设二元函数 f （x,y）在 xy 平面上一条可求长曲线 C（A,B） 上有定义。 用任意分法 T，将 曲线 C 依次分成 n 个小弧：A0A1， A1A2，

3、 ， An 1An ，其中 A0=A， An=B。设它们的弧长分别是 s1 ，s2 ，s3 ， ，sn 。在小弧 Ak 1 Ak上任取一点 Pk（ k ， k）， k=1，2，n，取该点的函数值 f （ k ， k ）与sk作乘积，然后作和nQn=f （k ,k ）sk ,（1）k=1称为二元函数 f （x.y）在曲线 C（A，B）的积分和 。令 ( T )=max s1， s2， sn 。定义 设二元函数 f （x,y）在可求长曲线 C（ A ， B）有定义。若当 （T） 0时，二元函数 f （x,y ）在曲线 C（ A，B）的积分和（ 1）存在极限 I，即nlim Qn = lim f (

4、k ,k )sk =I， (T ) 0 n (T)0 k k kk=1则称 I是函数 f （ x,y ）在曲线 C的第一型曲线积分， 记为 I= f （x,y）ds，其中 ds是 弧长微元。不难看到，在 xy 平面上一条物质曲线 C（ A ，B），若其上每一点（ x，y）的线密度是 （x，y），则物质曲线 C的质量 m 是第一型曲线积分，即nm= （lTim）0 （k,k）sk=C（A,B）（x,y）ds.k=1 根据第一型曲线积分定义，不难证明，第一型曲线积分有下述性质（仅列举其中四个 性质）：1 C（A,B）f（x,y）ds= C（B,A）f（x,y）ds，即第一型曲线积分与曲线 C的方向

5、（由 A 到B 或由 B 到 A ）无关。事实上， 在积分和 （1）中小弧 Ak 1Ak 之长 sk与曲线 C的方向无关。2C(A,B)f(x,y) g(x,y)ds= C(A,B)f(x,y)ds C(A,B)g(x,y)ds.3 C(A,B)kf(x,y)ds k C(A,B) f(x,y)ds，其中 k是常数.4 C(A,B)f(x,y)ds= C(A,F)f(x,y)ds+ C(F,B) f (x, y)ds.定理 1 若曲线 C（A ，B ）：x= （t），y= （t）， t,是光滑的， 即 （t）， （t）在 ， 连续，且不同时为零，函数 f （x,y ）在 C 连续，则函数 f

6、（ x,y）在 C（A，B）存在第一型曲线积分，且2）C(A,B) f(x,y)ds= f (t), (t) 2(t) 2(t)dt.证明 给区间 ， 任意分法 T，分点依次是 t0 t1 t2 . tn.第 k个小区间tk 1,tk 对应曲线 C上第 k个小弧 Ak1Ak，设其长是 sk .由 8.5 弧长公式与定积分中值定理， 有 sk= tk2(t)2(t)dt= 2( k)2( k) ，其中tk =tk tk 1 ，tk 1 k tk.在tk 1,tk 上任取一点 k,在曲线 C 上对应点是 P( ( k ), ( k).作和nnQn=f ( k), ( k ) sk =f ( k),

7、 ( k)k 1 k 1 ( k)2( k ) tk3)注意上面等式中 k与 k都属于 t k 1, t k ，但是不一定相等。 为此将它改写为Qn=f ( k), ( k)2( k) 2( k) tk+k tk ，(4)k 1 k1其中 k=f ( k), ( k) 2( k)2( k)- 2( k)2( k) .(4)式第一个和数是连续函数 f (t), (t)2(t)2 (t )在区间 ， 的积分和。因此，有l(lTim) 0f ( k), ( k ) 2( k)2( k) tkl(T ) 0 k 1= f (t), (t) 2(t)2(t)dt .n下面证明 limk tk 0.l(T

8、) 0k kk1事实上，已知函数 f (t), (t)在闭区间 ， 连续，从而它在 ， 有界；函数 2(t) 2(t)在闭区间 ， 连续，从而一致连续。 即 M 0, t , ,有| f (t), (t) | M .又0，0 ， tk(| k k | )，有| 2( k) 2( k) - 2( k)2( k)| .nn于是，当 l(T) 时，有| k tk | |f ( k), ( k)|.k1 k 122| 2( k)2( k) -( k)2( k)| | tk| M | tk |=M() ,k1nl(lTim) 0 k 1 k tk0.当 （T） 0时，有 l（T） 0.当 l（T）0时，

9、（ 4）式存在极限，即函数 f （x,y）在曲线 C 上存在第一型曲线积分，即 f(x,y)ds = f (t), (t) (t) (t)dt .(A,B)2）式将第一型曲线积分化成了定积分，它就是计算第一型曲线积分的公式。特别地，曲线 C（A，B）是由方程 y=y（x） 给出，且 y（x）在 a，b连续时，（2）式b2(A,B) f(x,y)ds= a fx,y(x) 1 y (x)dx.5）例1计算 I cxyds ，其中 C：x=acos t，y=bsin t ，0 t .x asint ，y bcost.由公式2 2 x ya2sin2t b2c o2st dt.2），有02 acos

10、t bsint a2 2 2 2 ab sin t b cos t dt=22sin 2t a21 cos2tb21 cos2t dt.1设 z cos2t，dz 2sin 2tdt或sin 2tdtdz，有22 2 2 2 a b b a zdz 222 2 2 2 3abI4ab2 2 a b b a 2 22 (z) 24 b2 a2 3 2 2ab a2 ab b23 a b0a 0.例 2 计算 I c x2 y2 ds ，其中 C 是圆周 x2 y2 ax ， c解 如图 14.2. C C1 C2.C1 ： yax x2 ，C2 ： yax x2 .2 a 2xy 2 ，2 ax

11、 x2ds1 y dx dx .ds1 y dx 2 ax x2 dx .由公式( 5)，有I x2 y2ds x2 y2ds x2 y2 dsc C1 C 20 x2 (ax x2 )a 2 dx 0 x2 (ax x2 )a 2 dx2 a a ax0 2 ax x20 2 ax x20 2 ax x2dx a a a a 2 a 2a .0 a x3设三维欧式空间 R3有一条可求长的曲线 C(A，B)。函数 f (x,y,z)在曲线 C 有定 义。可仿照平面(二维空间)第一型曲线积分定义给函数 f (x, y,z) 在空间曲线 C 上的第一 型曲线积分C(A,B) f (x, y, z)

12、ds(6)的定义，其中 ds 是空间曲线 C 的弧长微分。若三维欧式空间 R3中光滑曲线 C 的参数方程x x(t), y y(t), z z(t), t ，则三维欧式空间 R3 中第一型曲线积分( 6)可化成定积分，有公式2 2 2C(A,B) f(x, y, z)dsf x(t), y(t), z(t ) x (t) y (t) z (t)dt，(7) 22222 222 2 2 2 2ds x (t) y (t) z (t)dt x (t)2 y (t)2 z (t)2其中 x (t) y (t) z (t)dt 是空间曲线 C 的弧长微分，即dx 2 dy2 dz2 .例 3 计算 (

13、x2 y2 z 2 ) ds ，其中 C 是圆柱螺旋线：Cx acost ， y asint， z bt，0 t 2 .解 x asint， y acost ，z b.ds2 y2z dt22a 2 b2 dt .8b2 3) .3C(x2 y2 z2)ds 0 (a2 b2t2) a2 b2dt a2 b2 (2a2二、第二型曲线积分 首先讨论力场作功问题。我们知道，若质点在常力F(大小与方向都不变)的作用下沿直线运动，位移是 l (有向线段) ，则常力 F所作的功 W 是F与l的内积，即 W F L |F | |l|cos，其中 是F与l之间的夹角。设有一质点在平面力场 F (P(x,y)

14、,Q(x,y)的作用下，沿光滑的有向曲线 C由点 A 运动到点 B，如图 14.3，求力场 F 所作的功。有任意分法 T，将曲线 C分成 n个有向的小弧： A0 A1 ， A1A2 ， ， An 1An，其中 A0 A， An B.设Ak的坐标是( xk , yk )。将第 k个有向小弧 Ak 1Ak的弦记为 Ak 1 Ak ，则弦 Ak1Ak在x 轴与 y轴上的投影分别是 xk xk 1与yk yk 1，即Ak 1Ak (xk xk 1, yk yk 1) ( xk, xk ) .在第 k个小弧 Ak 1Ak上任取一点 Ek( k, k).在点 Ek的(力)向量是Fk( k, k) (P(

15、k, k),Q( k, k) .以点Ek的向量近视代替第 k个小弧 Ak 1Ak上每一点的向量。于是，内积 Fk( k, k) Ak1Ak应是质点在力场F的作用下，沿第 k个小弧 Ak 1Ak由点 Ak 1运动到点 Ak所作功的近似值。它们的和nFk( k, k) Ak 1Ak k1应是质点在力场 F的作用下，沿曲线 C由点 A到点B所作功 W的近似值。当 (T)越小，近似程度越好。于 是，当（T） 0时，有nW(liTm) 0Fk( k, k) Ak 1Ak.(T) 0 k 1由内积公式，有Fk(k,k)Ak 1Ak(P( k, k),Q(k,k)(xk,yk)P( k, k) xk Q(

16、k, k ) ykn即 W (liTm) 0k1P( k, k) xk Q( k, k) yknn8）(liTm) 0k1P( k, k) xk (liTm) 0k1Q( k, k) yk.抽出（ 8）式的物理意义就得到第二型曲线积分。设平面上有光滑有向曲线 C（A，B），二元函数 f （x, y） 在曲线 C上有定义。用任意分法T，将曲线 C依次分成 n个有向小弧：A0A1,A1A2, ,An1An ，其中 A0 A，An B.设第k个小弧 Ak1Ak的弦 A A 在x轴与y轴上的投影区间的长 （带有符号）分别是 xk与 yk .在第 k 个小弧 Ak 1Ak 上任取一点 Ek（ k, k）

17、 .作和nnf （ k , k ） xk 与f （ k , k ） yk ，（9）k1 k 1分别称为二元函数 f（x,y）在曲线 C（A，B）关于 x 与y 的积分和.令 （T） max s1, s2, , sn.（ sk是第k个小弧 Ak 1Ak的长。）定义 设二元函数 f （x,y） 在有向光滑曲线 C（A，B）有定义。若 （T） 0时，二元函数 f（x,y）在曲线 C（A，B）关于 x（或 y）的积分和（ 9）存在极限 Jx（或 Jy），即 称 Jx(或 Jy)是 f(x,y)dx(或 f ( x, y) dy )在曲线 C(A，B)的第二型曲线积分 ，记为(liTm) 0f ( k,

18、 k) xk k1Jxn lim (T) 0 k 1 f( k , k ) xkJ y ），C(A,B)f(x,y)dx(或 C(A,B) f(x,y)dy)由( 8)式不难看到，质点在平面力场F (P( x, y), Q( x, y)的作用下，沿光滑的有向曲线 C由点 A 运动到点 B，力场 F所作的功 W 是 P(x,y)dx与Q(x, y) dy在曲线 C(A，B)上的第二型曲线积分之和，即nnW (liTm) 0k1P( k, k) xk (liTm) 0k1Q( k, k) ykC(A,B)P(x,y)dx C( A,B)Q(x, y)dy .通常上式简写为W C(A,B)P(x,

19、y)dx C(A,B)Q(x,y)dy.(10)由弧长微分知， dx与dy分别是弧长微分 ds在x轴与 y轴上的投影。弧长微分 ds的方 向就是曲线 C(A，B)的方向，则弧长向量微元 ds (dx, dy) .于是，功 W 可写成向量形 式的积分WC(A,B)F(x,y) ds .(11)注 第二型曲线积分与曲线 C(A，B)的方向有关 .因为 xk与 yk 分别是第 k个有 向小弧 Ak 1Ak 的弦 A A 在 x 轴与 y 轴上的投影， 当改变曲线 C 的方向时， xk 与 yk 要改变符号，所以第二型曲线积分也要改变符号，即C(A,B)f(x,y)dx C(B,A) f(x,y)dx

20、与 f (x, y)dyf(x, y)dy.C( A,B) C(B,A)定理 2 如果二元函数 f (x,y) 在有向光滑曲线 C(A,B )：x=x(t) ，y=y(t) ，t连续，且 A(x( ), y( )，B(x( ),y( )，则 f(x,y)dx与 f(x,y)dy在 C(A,B )的第二 型曲线积分都存在，且C(A,B) f (x,y)dxfx(t), y(t ) x (t)dt ，(12)13)C(A,B) f(x,y)dyfx(t),y(t)y(t)dt .C(A,B)证明 只给出等式( 12)的证明，同法可证等式( 13) .给区间 , 任意分法 T，分点式t0 t1 t2

21、tn.第 k 个小区间tk1,tk对应曲线 C是哪个第 k个小弧 Ak 1Ak，在tk1,tk上任取一点 k.在第k个小弧 Ak 1Ak上有对应的点 Ek( k, k) ，其中 k x( k)， k y( k).于是，nnn f ( k , k ) xkf ( k , k )(xk xk 1)k1 k 1nfx( k),y( k) x(tk) x(tk 1) k1ntkfx( k),y( k) t x(t)dt k 1tk 1k1tkfx( k),y( k)x(t)dt k114)另一方面，( 12)式等号右端可改写成J fx(t), y(t)x(t)dtnttktk fx(t), y(t)x

22、(t)dt . k 1 tk 115)14 )式与( 15)式等号两端之差是n tkn J tk fx( k),y( k) fx(t),y(t) x(t)dt.k1 tk1因为函数 f x(t), y(t) 在闭区间 , 连续，所以它在 , 一致连续，即0，0， T：l(T) ， t tk 1,tk，k 1,2, ,n，有|fx( k),y( k) fx(t),y(t) | .又因为 x (t )在闭区间 , 连续，所以 x(t) 在 , 有界，即 M 0， t , ，有|x(t) | M是，当 l（T ）时，有|nntkJ| t |fx( k),y( k) fx(t),y(t)|x(t)|d

23、tk 1 k1nMk1t dt M ( ) ， tk 1从而lim nl(T ) 0J ，即C(A,B) f (x,y)dxfx(t), y(t ) x (t )dtC ( A ,B )若光滑有向曲线 C(A ， B)的方程是y y(t) ， a x b .Aa,y(a)，Bb,y(b)，而 y (t)在a,b连续，则bC(A,B) f (x,y)dx a fx, y(x)dx.例4计算 y2dx x2 dy ，其中曲线 C 是上半椭圆 x a cost ， y bsint，0 t ，取顺时针的方向。dxasin t d t，dy b cos tdt ，由公式（12）与（13）有C y 2dx

24、 x 2dy0 2 2 2 2b2 sin2t( asint) a 2 cos2 t b cost dt2 0 3 2 0 3 4 2 ab2 sin3tdt a2b cos3tdt 34ab2.例5计算 I2 xydx x2 dy ，其中曲线 C 分别是 1）直线 y x ；2）抛物线y x2 ； 3）立方抛物线 y x 3 .都是由原点 （ 0,0）到点（ 1,1）.1）沿直线 y x ， dy dx ，有111I 2xydx x2 dy2x2dxx2dx3x2dx 1.C 00022）沿抛物线 y x2，dy 2xdx ，有2 3 3 3I 2xydx x2 dy2x3dx2x3 dx4

25、x3dx 1.323)沿立方抛物线 y x3， dy 3x2dx ，有2 1 4 1 4 1 4例6I 2xydx x2 dy2x4dx3x4 dx5x4dx 1.计算 J xydx (y x)dy ，其中曲线 C与例 5 相同，并有与例 5相同的始点与终点 .1)沿直线 y x， dy dx ，有1 2 1J xydx ( y x)dy x dx .C 0 32)沿抛物线 y x2，dy 2xdx ，有J xydx ( y x)dy3x 3 2x2dxC01123)32沿立方抛物线 y x3， dy 3x 2dx ，有1 5 4 3J xydx ( y x)dy 3x 5 x4 3x3dx1

26、20有质量为 m 的质点，在重力的作用下，沿铅垂面上曲线 重力 F 所作的功，如图 14.4.例7C 由点 A 到点B，计算解 设平面曲线 C 的参数方程是 x x(t), y y(t), t .A(x( ),y( )，B(x( ),y( ).已知 F (0,mg).于是，重力所作的功(A,B)(t)dt mgy( ) y( ) .F ds= C(A,B) (0,mg) (dx,dy) C(A,B) mgdy此例说明，质点从点 A 移动到点 B，重力 F所作的功只与 A 与 B的位置有关，而与曲 线 C 无关。这是重力场的一个重要物理特性。从上述三例看到，当始点与终点相同，沿着不同的曲线，有的

27、曲线积分相等(如例 5 与例 7)；有的曲线积分不相等(如例 6)。那么在什么条件之下，当始点与终点取定时，曲 线积分与所沿的曲线无关呢？后面我们将讨论这个问题。3设三维欧式空间 R3中有向光滑曲线 C(A,B) ，函数 f (x,y,z)在曲线 C上有定义。可仿照平面(二维空间) 第二型曲线积分定义， 给出 f(x,y,z)dx(f(x,y,z)dy与f(x,y,z)dz) 在 曲线 C(A,B) 的第二型曲线积分C(A,B)f(x,y,z)dx ( C(A,B)f(x,y,z)dy与 C(A,B)f(x,y,z)dz)，其中dx( dy与dz )是有向弧长微元 ds在x轴(y轴与 z轴)上

28、的投影。当曲线 C(A,B) 改变方向时，有 C(A,B) f (x, y, z) dxC(B,A) f(x,y,z)dx.不难写出，向量场 F= (P(x,y,z) ,Q(x,y,z),R(x,y,z) )在有向光滑曲线 C( A ， B)的第二 型曲线积分是 C(A,B)P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz,其中 ds=(dx,dy,dz).如果三维空间的有向光滑曲线 C( A， B)是参数方程 x=x(t),y=y(t), z=z(t), tt 由到对应曲线 C 上由点 A 到点 B，则三维欧式空间 R3 的第二型曲线积分可化成定积分，有公式C(A

29、,B) f(x, y, z)dxfx(t),y(t),z(t)x(t)dt ，C( A,B)C(A,B) f(x, y, z)dxf x(t ), y(t ), z(t) y (t )dt ，C( A,B)17)C( A,B)f (x, y, z)dxfx(t),y(t),z(t)z(t)dt .例 8 计算 (x y z) dx ，其中曲线 C：x cost, y sint,z t,0 t ，从 t=0 C到t解 由公式( 17 )有C (x y z)dx(cost sint t) sin t )dt2 cost sin tdtsin 2 tdtt sin tdt0 0 0三、第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系在三维欧式空间 R3中，由于弧长微分 ds 与它在坐标轴上的投