高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用课件

1、高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用1第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 一、一、 平面图形的面积平面图形的面积 二、二、 体积体积 三、三、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用2xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab一、一、 平面图形的面积平面图形的面积dxxdx:面积元素xdxfsd)(:面积元素xdxfxfds)()(12曲边梯形的面积baxdxfA)(阴影部分的面积baxdxfxfA)()(12, ,ba分割, ,ba分割积直角坐标系中图形的面. 1高等数学

2、(第一节)第二节定积分在几何上的应用3dxxxdA)(2面积元素dxxxA)(210.312xy 2yx 所围成的和计算由两条抛物线例221xyxy.图形的面积两曲线的交点为解.),(),(1100和,10 xx 为积分变量选10332323xx高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用4解.两曲线的交点. ),(, ),(, ),(934200236xyxxy选 为积分变量x,32x, ,)(021xdxxxxsd)(2316 , ,)(302xdxxxxsd)(63222xy xxy63 所围成的和计算由曲线例2362xyxxy.图形的面积高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用5于

3、是所求面积21SSSdxxxx)(20236dxxxx)(63230.12253注意各积分区间上被积函数并不相同积分变量只能选 x 吗？选取 y ?, ,)(021xdxxxxsd)(2316 , ,)(302xdxxxxsd)(6322高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用6解.两曲线的交点. ),(, ),(4822 422xyxy选 为积分变量y,42y,dyyydA242面积元素.1842dAAxy22 4 xy所围成的和直线计算由曲线例4232xyxy.图形的面积),(22 ),(48高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用7cd:.由参数方程给出曲线 2.求曲边梯形的面积

4、oxy )(tx )(ty ):(21ttt1t2tdxyds 面积元素解.dttt)()( ab badxys曲边梯形之面积 21ttdttt)()( oxy1t2t2s:2s面积再求左图中曲边梯形的ydxds 面积元素dttt)()( dcydxs2 12ttdttt)()( ?!积分上下限不同高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用8,sincos. byax已知椭圆的参数方程为例4.s求椭圆的面积等于第一象限部分由对称性知解s.倍面积的 402 adxys04 024 dabsinsin 2024 dabsin.2214 abba bydxs04.又解 204 dbacoscos.

5、cos 2024 dabba 高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用9极坐标情形.3 0 )( xo d )( r,)( 及射线由曲线 r,围在一曲边扇形 .A求其面积 drdA221 面积元素 d)(221 drA221 d d)(221, , 分割, dA.小的曲边扇形曲边扇形被分割成多个)( r d. drsd221 面积元素:熟记高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用10例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积.解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos440221 .)2

6、(2cos2024ada xy 2cos22a 1A ddA221 面积元素面积元素)(14346P高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用11例例 6 6 求求心心形形线线)cos1( ar所所围围平平面面图图形形的的面面积积)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0)(9345P高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用12 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转

7、一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、二、 体积体积 1. 旋转体的体积旋转体的体积高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用13?,体体积积为为多多少少一一周周而而成成的的立立体体直直线线如果旋转体是由连续曲如果旋转体是由连续曲一般地一般地,)(,xfy 轴轴旋旋转转轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕及及线线xxbxax,xyo)(xfy dx,x取积分变量为取积分变量为,bax上任取上任取在在,ba. ,xdxx小区间小区间轴旋转而成的薄片轴旋转而成的薄片为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕取以取以xxd,的体积为体积元素的体积为体积元素xdxfdV2)( 旋

8、转体的体积为旋转体的体积为baxdxfV2)( 高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用14直线直线的直线的直线及点及点连接坐标原点连接坐标原点例例,),(rhPO1轴轴将它绕将它绕轴围成一个直角三角形轴围成一个直角三角形及及xxhx.计计的的圆圆锥锥体体高高为为旋旋转转构构成成一一个个底底半半径径为为,hr.算圆锥体的体积算圆锥体的体积.解解的方程为的方程为直线直线 OPxhry ,x取积分变量为取积分变量为, ,xdxxh上上任任取取小小区区间间在在 0, ,hx0yrhPxo高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用15以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的轴

9、旋转而成的薄片的体积为体积为dxxhrdV2 圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoxhry 高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用16 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cddyy2)( dcV高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用17例例 3 3 求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱与的一拱与0 y所围成的图形分别绕所围成的图

10、形分别绕x轴、轴、y轴轴旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用18绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差轴旋转构成旋转体的体积之差.dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatt

11、a 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a )cos1()sin(tayttax高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用19dx0 a b X)(xfy .,的的公公式式推推导导求求旋旋转转体体体体积积轴轴一一周周生生成成旋旋转转体体曲曲边边梯梯形形绕绕vY上小曲边梯形上小曲边梯形划分划分解解, ,.dxxxba ,轴轴旋旋转转生生成成圆圆柱柱面面绕绕Y, )(xfx 2面面积积为为.dx厚厚度度为为.)(dxxfxdv 2 体体积积元元素素.)( badxxfxv 2补充高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用20dxxfxVbay| )

12、(|2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a )cos1()sin(tayttax高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用21例例 4 4 求由曲线求由曲线24xy 及及0 y所围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM高等

13、数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用22-2 -1 0 +1 +2 +3dx例例 4 4 求由曲线求由曲线24xy 及及0 y所围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.,.22 xx为为积积分分变变量量取取又又解解体积元素体积元素dxxfxdv| )(| )( 32 .)(dxxx2432 64432222 dxxxv)(高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用232. 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积xoabxdxx )(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数

14、的已知连续函数,)(xdxAdV .)(baxdxAV但但却却知知道道该该立立体体如如果果一一个个立立体体不不是是旋旋转转,这个这个那么那么个截面面积个截面面积体上垂直于一数轴的各体上垂直于一数轴的各,.分来计算分来计算立体的体积也可用定积立体的体积也可用定积立体体积立体体积高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用24RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)()( 2221xRxA立体体积立体体积xdxRVRR tan)(2221.tan323 R ,的圆柱体的底圆中心的圆

15、柱体的底圆中心一平面经过半径为一平面经过半径为例例R5计算这平面截圆柱体所计算这平面截圆柱体所并与底面交成角并与底面交成角, .得立体的体积得立体的体积高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用25解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于 x 轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形 截面面积截面面积 2222221)(xRhxRhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR tRxsin: 变换平平行行且且等等于于底底圆圆直直的的圆圆为为底底求求以以半半径径为为例例,R6.,的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积高为高为径的线段为顶径的线

16、段为顶h高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用26旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用27xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段都都缩缩向向一一点点时时，此此折折线

17、线的的长长|11 niiiMM的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为曲曲线线弧弧AB的的弧弧长长.三、三、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用281. 在直角坐标系下：在直角坐标系下：)(xfy 曲曲线线弧弧方方程程22dydxds 弧微分弧微分dxy21 badxys21弧长弧长a dx bds高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用29解解,21xy ,xdx1所求弧长为所求弧长为baxdxs1ab的的一一到到从从上上相相应应于于计计算算曲曲线线例例baxxy23321.段弧的长度段弧的长度xdsd2121x.32232311)()(ab高

18、等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用30曲线弧为曲线弧为,)()(tytx )( t22)()(ydxdsdtdtt)()(22 弧长弧长.)()(tdtts 222. 参数方程情形参数方程情形高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用31解解星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss 20224 tdyxs2034 tdttacossin.a6P 345 图图(7).)(.的全长的全长求星形线求星形线例例02323232aayx高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用32.)(sincos的周长的周长等于椭圆等于椭圆 2012ttaytx的的弧弧长长证证明明正正弦弦曲曲线线例例)(sin. 203xxay1s设正弦曲线的弧长等于设正弦曲线的弧长等于xdys 021122s设椭圆的周长为设椭圆的周长为 02212,cosxdxa.证证高等数学(第一节)第二节定积分在几何上的应用33 , tdyxs 20222 0222212tdtatscossin,1s;cos 022112dxxast