高等数学8-8多元函数的极值及其求法课件

1、高等数学8-8多元函数的极值及其求法1第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法高等数学8-8多元函数的极值及其求法2xyz一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).例如例如 :在点在点 (0,0) 有极小值有极小值;在点在点 (0,0) 有极大值有极大值;在点在点 (0,0) 无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值, 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.

2、),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22zxy yxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有的某邻域内有xyzxyz高等数学8-8多元函数的极值及其求法3定理定理1 (必要条件必要条件) 函数函数偏导数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值取得极值 ,取得极值取得极值取得极值取得极值且在该点取得极值且在该点取得极值 , 则有则有),(),(00yxyxfz在点存在存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故故在),(0

3、yxfz 0yy 高等数学8-8多元函数的极值及其求法4推推广广 如如果果三三元元函函数数),(zyxfu 在在点点),(000zyxP具具有有偏偏导导数数，则则它它在在),(000zyxP有有极极值值的的必必要要条条件件为为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.高等数学8-8多元函数的极值及其求法5例例如如, 点点)0 , 0(是是函函数数xyz 的的驻驻点点，但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判

4、定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：高等数学8-8多元函数的极值及其求法6时时, 具有极值具有极值定理定理2 (充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且且令令则则: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC高等数学8-8

5、多元函数的极值及其求法7求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：第一步第一步 解方程组解方程组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C.第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符号号，再再判判定定是是否否是是极极值值.高等数学8-8多元函数的极值及其求法8例例1.1. 求函数求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点在点

6、(1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233高等数学8-8多元函数的极值及其求法9在点在点( 3,0) 处处不是极值不是极值; ;在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CB

7、A31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC高等数学8-8多元函数的极值及其求法10将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解高等数学8-8多元函数的极值及其求法11 0422204222yyxxzzzyzzzx04222 xxxxzzzzzxx,21|zzAPxx 0422 xyxy

8、xyzzzzz, 0| PxyzB04222 yyyyyyzzzzz,21|zzCPyy 高等数学8-8多元函数的极值及其求法12,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx )2(0)2(122 zzBAC, 函函数数在在P有有极极值值.将将)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所所以以6)1, 1( fz为为极极大大值值.yxzyx22222 0104 z 高等数学8-8多元函数的极值及其求法13二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数 f 在闭域

9、上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时, )(Pf为极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值( (大大) )( (大大) )依据依据高等数学8-8多元函数的极值及其求法14例例 3 3 求求二二元元函函数数)4(),(2yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x轴轴和和y轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域D上上的的最最大大值值与与最最小小值值. 解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxDD如图如图

10、,高等数学8-8多元函数的极值及其求法15解解方方程程组组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf,)4(),(2yxyxyxfz 高等数学8-8多元函数的极值及其求法16在在边边界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比较较后后可可知知4)1 ,

11、2( f为为最最大大值值,64)2 , 4( f为为最最小小值值.xyo6 yxD)4(),(2yxyxyxfz 高等数学8-8多元函数的极值及其求法17例例 4 4 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值. , 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,解解 由由高等数学8-8多元函数的极值及其求法18即即边边界界上上的的值值为为零零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxy

12、xyx高等数学8-8多元函数的极值及其求法19 对于实际问题可根据实际问题的意义判断最大值和最小对于实际问题可根据实际问题的意义判断最大值和最小值的存在性。值的存在性。例例5 5某公司在生产中使用甲、两种原料某公司在生产中使用甲、两种原料, ,已知甲和乙两种已知甲和乙两种原料分别使用原料分别使用x x单位和单位和y y单位可生产单位可生产Q Q单位的产品，且单位的产品，且22( , )1020.230.3105QQ x yxyxyxy已知甲原料单价为已知甲原料单价为2020元元/ /单位，乙原料单价为单位，乙原料单价为3030元元/ /单位，单位，产品每单位售价为产品每单位售价为100100元

13、，产品固定成本为元，产品固定成本为10001000元，求该元，求该公司的最大利润。公司的最大利润。解解 利润函数利润函数为为( , )100(20301000)LL x yQxy2210002000300010005001000 xyxyxy高等数学8-8多元函数的极值及其求法202210002000300010005001000 xyxyxy( , )L x y（利润函数）（利润函数）解方程组解方程组100020002000010003000 10000 xyLyxLxy 求得唯一驻点（求得唯一驻点（5 5，8 8）26(5,8)2000,(5,8)1000,(5,8)1000,100,20

14、000 xxxyyyALBLCLACBA 所以所以 在（在（5 5，8 8）取得极大值）取得极大值( , )L x y(5,8)16000L高等数学8-8多元函数的极值及其求法21无条件极值：无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. .高等数学8-8多元函数的极值及其求法22三、条件极值三、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对

15、自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如 ,转化转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz高等数学8-8多元函数的极值及其求法23,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法 1 所述所述 ,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有高等数学8-8多元

16、函数的极值及其求法24引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日( Lagrange )函数函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格利用拉格极值点必满足极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.),(),(),(yxyxfyxFF高等数学8-8多元函数的极值及其求法25推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形个约束条件的情形. 设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 . 例如例如,

17、 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(),(2121zyxzyxzyxfzyxFF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F20F高等数学8-8多元函数的极值及其求法26例例6 6抛物面抛物面 被平面被平面x+y+z=1x+y+z=1截成一个椭圆，求这个截成一个椭圆，求这个22xyz椭圆到坐标原点的最长与最短距离椭圆到坐标原点的最长与最短距离。解解 该问题即求函数该问题即求函数222( , , )f x y zxyz在条件在条件 及及x+y+z=1x+y+z=1下的最大值与最小值。下的最大值与最小值。22

18、xyz令令 222221212( , , ,)()(1)F x y zxyzxyzxyz , 求偏导得到可能的极值点：求偏导得到可能的极值点：13,232xyz 高等数学8-8多元函数的极值及其求法27由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值，由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值，其最大值与最小值为其最大值与最小值为1313(,23)22f maxmin95 3,95 3.ff高等数学8-8多元函数的极值及其求法28解解 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故故最最大大

19、值值为为高等数学8-8多元函数的极值及其求法29例例8 8 某公司通过电台和报纸两种方式做销售其某公司通过电台和报纸两种方式做销售其产品的广告，根据统计资料分析可知，销售收产品的广告，根据统计资料分析可知，销售收入入R R（万元）与电台广告费（万元）与电台广告费x x（万元）、报纸广（万元）、报纸广告费告费y y（万元）有如下经验公式：（万元）有如下经验公式：R=15+14x+32y-8xy-2xR=15+14x+32y-8xy-2x2 2-10y-10y2 2（1 1） 在广告费用不限的情况下，求使销售净在广告费用不限的情况下，求使销售净收入最大的广告策略；收入最大的广告策略；（2 2）若提

20、供的广告费用为）若提供的广告费用为1. 51. 5万元万元, ,求相应的求相应的最优广告策略最优广告策略. .高等数学8-8多元函数的极值及其求法30解解(1)(1)销售净收入为销售净收入为L=R-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2xL=R-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2 2-10y-10y2 2由极值必要条件由极值必要条件L Lx x=13-8y-4x=0 , L=13-8y-4x=0 , Ly y=31-8x-20y=0=31-8x-20y=0 得驻点得驻点(x(x0 0,y,y0 0)=(0.75,1.25)=(0.75,1.25)由于由于 L Lxxxx=-

21、40,L=-40,Lxyxy=-8,L=-8,Lyyyy=-20 =-20 得得B B2 2-AC= -160-AC= -160 (x (x0 0,y,y0 0)=(0.75,1.25)=(0.75,1.25)为极大值点为极大值点, ,亦最大值点亦最大值点于是于是, ,电台广告费为电台广告费为0.750.75万元万元, ,报纸广告费为报纸广告费为1.251.25万元时万元时, ,销售净收入最大销售净收入最大, ,最大值为最大值为39.2539.25万元万元. . 高等数学8-8多元函数的极值及其求法31万万元元。值值为为销销售售净净收收入入最最大大，最最大大纸纸广广告告，万万元元广广告告费费全

22、全部部用用于于报报即即时时，销销售售净净收收入入最最大大。当当知知，由由问问题题的的实实际际含含义义可可得得驻驻点点则则由由极极值值必必要要条条件件令令）由由题题设设有有（395 . 15 . 1, 0)5 . 1,0(),(05 . 102083104813)5 . 1(),(5 . 12 yxyxyxFyxFxyFyxLyxFyxyx 高等数学8-8多元函数的极值及其求法32例例9某企业在两个互相分割的市场上出售同一种某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是产品，两个市场的需求函数分别是 P P1 1=18-=18-2Q2Q1 1,P,P2 2=12-Q=12-

23、Q2 2总成本为总成本为C=2Q+5,Q=QC=2Q+5,Q=Q1 1+Q+Q2 2（1 1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；得最大利润；（2 2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和其统一的价格，两个市场上该产品的销售量和其统一的价格，使该企业的总利润最大化；使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。并比较两种价格策略下的总利润大小。 高等数学8-8多元函数的极值及其求法33解（解

24、（1）（万元）润为在驻点处达到，最大利大值，故最大值一定且实际问题一定存在最）唯一，（因驻点52551041654254. 7,105,401020164. 510162)52(22212121212221221121LppQQQLQLQQQQQQpQpCRLQQ高等数学8-8多元函数的极值及其求法34总总利利润润。利利润润要要大大于于统统一一价价格格的的价价格格差差别别策策略略所所得得由由上上述述结结果果知知企企业业实实行行（万万元元）最最大大利利润润构构造造拉拉格格朗朗日日函函数数，于于是是有有约约束束条条件件则则实实行行价价格格无无差差别别策策略略，495410516452. 82,4,

25、5062010202164)62(510162),(6222212121212121222121212121 LppQQQQFQFQFQQQQQQQQFQQppQQ （2）高等数学8-8多元函数的极值及其求法35例例10： 某公司准备用某公司准备用2百万元的资金，通过两种方式做广告，一百万元的资金，通过两种方式做广告，一种是电台广播，一种是在日报上登广告，根据以王经验，销售收种是电台广播，一种是在日报上登广告，根据以王经验，销售收入与广告费用之间有如下关系入与广告费用之间有如下关系2212121221081834yxxx xxx 12yxx其其中中 、分分别别表表示示总总销销售售收收入入、电电台台广广告告费和日报广告费，单位均为百万元费和日报广告费，单位均为百万元.试确定广告费使用的最佳方案，试确定广告费使用的最佳方案，使销售金额最大。使销售金额最大。 解解221212121212(, )21081834(2)L xxxxx xxxxx 高等数学8-8多元函数的极值及其求法36121212124818020834020LxxxLxxxLxx 221212121212(, )21081834(2)L xxxxx