线代——行列式定义ppt课件

1、任课教师：杨坤一任课教师：杨坤一联系方式：联系方式：办公室：四教西办公室：四教西3051、基因间、基因间“间隔的表示间隔的表示 线性代数的应用举例线性代数的应用举例2、Euler的四面体问题的四面体问题3、动物数量的按年龄预测问题、动物数量的按年龄预测问题4、企业投入产出分析模型、企业投入产出分析模型2019年考研数学大纲数学一、二、三数学一、二、三 数学数学 : : 线性代数线性代数 (22% ) (22% )； 高等数学、概率论与数理统高等数学、概率论与数理统计计 ；4学习方法：学习方法：（1预习预习（2听课、记笔记听课、记笔记（3复习、完成作业复习、完成

2、作业（4答疑答疑考研：建议自学典型例题考研：建议自学典型例题u第一章第一章 行列式行列式u第二章第二章 矩阵矩阵u第三章第三章 向量组的线性相关性与线性方程向量组的线性相关性与线性方程组组u第四章第四章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型u第五章第五章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换目 录第一章 行列式 1.1 行列式的定义 1.2 行列式的性质 1.3 行列式按行列展开 1.4 克莱姆法则 1.5 典型例题一、二阶行列式给定 a、b、c、d 四个复数，称dcba为一个二阶行列式。其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为列指标。即 aij 位于行列式的第 i 行第

3、j 列。22211211aaaaD 为方便记11a12a22a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算 对角线法则对角线法则例如131 7( 2) 31327 21a二、三阶行列式同理，称333231232221131211aaaaaaaaa为一个三阶行列式。使用对角线法则计算：332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa2-43-122-4-21D 计计算算三三阶阶行行列列式式按对角线法则，有按对角线法则，有

4、 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa中，6项的行下标全为123，而列下标分别为在三阶行列式123，231，312 此三项均为正号132，213，321 此三项均为负号 为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。三、排列及其逆序数定义1.1 由1，2， ，n 组成的有序数组称为一个n级排列。记为 j1 j2 jn. 例如 32541 是一个5级排列

5、 83251467是一个8级排列定义1.2 在一个排列 中，若数 即较大的数码排在较小的数码之前则称这两个数组成此排列的一个逆序。一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为 （ j1 j2 jn ） nstiiiii21stii 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序。排列的逆序数排列的逆序数例如 陈列 32514 中3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的逆序数为 ( 32514)=3+1+0+1+0=5.分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和

6、，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列.逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为奇数的排列称为奇排列;排列的奇偶性排列的奇偶性例例1 1 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性. . 2179863541解解45368971254431001018 此排列为偶排列此排列为偶排列.54 0100134 321212 nnn解解12 ,21 nn当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,

7、4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列.34 , 24 kkn1 n 2 n 32121 nnn1 n 2 n312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa中，6项的行下标全为123，而列下标分别为在三阶行列式123，231，312 此三项均为正号，逆序数：0，2，2132，213，321 此三项均为负号，逆序数：1，1，3留意：符号与列标排序的逆序数之间的关系留意：符号与列标排序的逆序数之间的关系定义定义1.4在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元

8、素不动，这种作出新排列的手续叫做元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. .定理定理1.11.1一个排列中的任意两个元素对换，排一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性列改变奇偶性四、n阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式333231232221131211aa

9、aaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 阐明阐明(1) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积（2 2每项的正负号都取决于位于不同行不同列每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列.)1()1()1( )1()1()1(332112)213(322311)132(312213)321(322113)312(312312)231(332211)123(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaa

10、aaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa .)1(3,2, 1321)(321321321 pppppppppaaa 3级排列的全体共有6种，分别为 123，231，312，321，132，213 npppnppppppnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDn, 2 , 1,21)(212222111211212121) 1( 阶阶行行列列式式定义定义1.5 npppnppppppnnnaaaD,2, 1,21)(2121211 ! :21排排列列的的行行标标nppp 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义

11、为n :注注 n, 2, 1,n, 2, 1,)()(2121221121211nnnnnnqqqpppqpqpqpqqqpppaaaD 更一般的，更一般的，阐明：阐明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的;2、 阶行列式计算结果的每项都是位于不同阶行列式计算结果的每项都是位于不同行、不同列行、不同列 个元素的乘积个元素的乘积;nn3、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 4、 的符号为的符号为nnpppaaa212

12、1.1)(21nppp例例1 1计算对角行列式计算对角行列式0004003002001000分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例例2 2 计算上三角行列式计算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解例例3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得下三角行列式同理可得下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 证明对角行列式证明对角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa