拉氏变换与反变换

1、机电控制工程所涉及的数学问题较多， 经常要解算一些 线性微分方程 。按照一般方法解算比较麻 烦，如果用 拉普拉斯变换 求解线性微分方程， 可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算， 又 能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普拉斯变换定义为式中， 是复变数， （b、3均为实数）， 称为拉普拉斯积分；是函数 的拉普拉斯变换，它 是一个复变函数，通常也称 为 的象函数，而称 为 的原函数； L 是表示进行拉普拉斯变换的符 号。式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条

2、件下，它能把一实数域中的实变函数变换为 一个在复数域内与之等价的复变函数 。几种典型函数的拉氏变换1. 单位阶跃函数 的拉氏变换单位阶跃函数 是机电控制中最常用的典型输入信号之一， 常以它作为评价系统性 能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数 如图所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为 1 的不变量 单位阶跃函数 的 拉氏变换式 为当 ，则 。所以（）图 单位阶跃函数2. 指数函数的拉氏变换指数函数 也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。则与求单位阶跃函数同理，就可求得()3. 正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设，则由 欧拉公式 ，有)其幅值和作用时间的乘积所以同理4. 单位脉冲函

3、数 S (t)的拉氏变换单位脉冲函数 是在持续时间期间幅值为的矩形波。 等于 1，即。如图所示。图 单位脉冲函数单位脉冲函数 的数学表达式为 其拉氏变换式为 此处因为时，故积分限变为5. 单位速度函数的拉氏变换单位速度函数 ，又称 单位斜坡函数 ，其数学表达式为 见图所示。图 单位速度函数 单位速度函数 的 拉氏变换式 为 利用分部积分法令所以当时，,则（）6. 单位加速度函数的拉氏变换 单位加速度函数 的数学表达式为如图所示图 单位加速度函数其 拉氏变换式 为（）根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理， 则对（）（）拉氏变换的主要定理一般的函数可以使运

4、算简化1. 叠加定理拉氏变换 也服从线性函数的 齐次性 和叠加性（ 1）齐次性 设，则 式中常数。（2）叠加性 设, ，则两者结合起来，就有 这说明拉氏变换 是线性变换2. 微分定理设则式中函数在 时刻的值，即 初始值 。 同样，可得的各阶导数的 拉氏变换 是（）式中， 原函数各阶导数在时刻的值。如果函数及其各阶导数的初始值均为零 （称为零初始条件 ），则各阶导数的 拉氏 变换为（）3. 复微分定理若 可以进行 拉氏变换 ，则除了在 的极点 以外，式中，同样有一般地，有（）4. 积分定理 设 ，则（） 式中积分 在 时刻的值。当 初始条件为零 时，（） 对多重积分是（） 当 初始条件为零 时，

5、则（）5. 延迟定理设 ，且 时， ，则（） 函数为 原函数沿时间轴延迟了，如图所示。图 函数6. 位移定理在控制理论中，经常遇到 一类的函数，它的 象函数 只需把 用代替即可，这相 当于在复数坐标中，有一位移。设，则（） 例如 的象函数 ，则的 象函数为7. 初值定理 它表明 原函数在 时的数值。（） 即原函数 的初值等于 乘以象函数 的终值。8. 终值定理设，并且 存在，则（） 即原函数的终值等于乘以 象函数的初值。 这一定理对于求 瞬态响应 的稳态值是 很有用的。9. 卷积定理 设，则有（） 即两个原函数的卷积分的拉氏变换等于它们 象函数的乘积。式（）中， 为卷积分 的数学表示，定义为1

6、0. 时间比例尺的改变 式中 比例系数 例如,的象函数 , 则 的象函数为11. 拉氏变换的积分下限 在某些情况下 ,在 处有一个脉冲函数。这时必须明确 拉普拉斯积分 的下限是 还 是 ，因为对于这两种下限， 的拉氏变换 是不同的。为此，可采用如下符号予以 区分： 若在 处 包含一个 脉冲函数 ，则因为在这种情况下显然，如果 在处 没有脉冲函数 ，则有拉普拉斯反变换 拉普拉斯反变换的公式为（） 式中 表示拉普拉斯反变换的符号 通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和， 然后由拉氏变换表一一查出对应的 反变换函数，即得所求的原函数 。1. 部分分式展开法 在控制理论中，常遇到的 象函

7、数 是的有理分式为了将 写成部分分式，首先将 的分母因式分解 ，则有式中， 是的根的负值，称为的 极点，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研 究。2. 的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换（） 式中， 是待定系数，它是 处的留数，其求法如下（） 再根据拉氏变换 的迭加定理，求原函数例 求的原函数。解: 首先将 的分母因式分解，则有即得3. 含有共轭复数极点时的拉氏反变换如果 有一对共轭复数极点 , ，其余极点均为各不相同的 实数极点 。将 展成 式中 , 和 可按下式求解即（） 因为 （或 ）是复数，故式（）两边都应是复数，令等号两边的实部、虚部分别相 等，得两个方程式，联立求解，即得，

8、两个常数。例 已知,试求其部分分式。 解: 因为 （） 含有一对共轭复数极点 , 和一个极点 ，故可将式（ ）因式分解成 （） 以下求系数 、 和 。由式（）和式（）相等，有 （） 用乘以上式两边，并令 ，得到 上式可进一步写成由上式两边实部和虚部分别相等，可得联立以上两式，可求得 为了求出系数 , 用乘方程（）两边，并令 , 将 代入，得 <!endif> 将所求得的 , 值代入（），并整理后得的部分分式 查拉氏变换表便得， 结果见式（） 例 已知求。解 : 将的分母因式分解，得利用方程两边实部、虚部分别相等得解得，所以这种形式再作适当变换：查拉氏变换表得4. 中含有重极点的拉氏

9、反变换 设有 r 个 重根 ，则将上式展开成部分分式 （）式中，的求法与单实数极点情况下相同。的求法如下：则）例 设 ，试求的部分分式。解 : 已知（） 含有 2 个重极点，可将式（）的分母因式分解得（） 以下求系数、 和。将所求得的、值代入式（），即得的部分分式查拉氏变换表可得 。例 求的拉氏反变换。解 : 将展开为部分分式上式中各项系数为查拉氏变换表，得5.用MATLA展开部分分式(1) 概述MATLA是美国Math Works公司的软件产品，是一个高级的数值分析、处理与计 算的软件，其强大的矩阵运算能力和完美的图形可视化功能， 使得它成为国际控 制界应用最广的首选计算机工具。SIMULI

10、NK是基于模型化图形的动态系统仿真软件，是MATLA的一个工具箱，它使 系统分析进入一个崭新的阶段， 它不需要过多地了解数值问题， 而是侧重于系统 的建模、分析与设计。 其良好的人机界面及周到的帮助功能使得它广为科技界和 工程界所采用。用MATLAB进行部分分式展开MATLAB有一个命令用于求 B(s)/ A( s)的部分分式展开式。设S的有理分式为 式中(i=)和。=)的某些值可能为零。在 MATLAB勺行向量中，num和den分别 表示 F(s) 分子和分母的系数，即num=den=1 命令r,p,k=residue(num,den)MATLAB将按下式给岀 F(s)部分分式展开式中的 留

11、数、极点和余项：上式与式()比较，显然有p(1)=-p1，p(2)=-p2，p( n)=-pn；r(1)=A,r(2)= A，r(n)=A;k (s )是余项。 例 试求下列函数的部分分式展开式 解：对此函数有 num=1 11 39 52 26 den= 1 10 35 50 24 命令 r,p,k=residue(num,den) 于是得到下列结果 r,p,k=residue(num,den) r= p= k= 1则得如果 F(s) 中含重极点，则部分分式展开式将包括下列诸项 式中， p(j) 为一个 q 重极点。 例 试将下列函数展开成部分分式解：对于该函数有num=0 1 4 6den =1 3 3 1命令r,p,k=residue(num,den)将得到如下结果：r,p,k=residue(num,den)r= p= k= 所以可得注意，本例的余项 k 为零。应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：的代数方程；(1) 对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为(2) 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；(3)